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高中数学竞赛辅导讲义第十六章 平面几何


第十六章

平面几何

一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长 线上的点,若 A' , B' , C ' 三点共线,则
BA' CB ' AC ' ? ?

? 1. A' C B' A C ' B

梅涅劳斯定理的逆定理 点共线。

条件同上,若

BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 A' , B' , C ' 三 A' C B' A C ' B

塞瓦定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上 的点,若 AA' , BB' , CC ' 三线平行或共点,则 塞瓦定理的逆定理 延长线上的点,若 行。 角元形式的塞瓦定理
A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 所在
BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. A' C B' A C ' B

设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其
BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 AA' , BB' , CC ' 三线共点或互相平 A' C B' A C ' B

直 线 上 的 点 , 则 AA' , BB' , CC ' 平 行 或 共 点 的 充 要 条 件 是
sin ?BAA ' sin ?ACC ' sin ?CBB ' ? ? ? 1. sin ?A' AC sin ?C ' CB sin ?B' BA

广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形, AB?CD+BC?AD≥AC?BD, 则 当且仅当 A,B,C,D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设 P 为Δ ABC 的边 BC 上任意一点,P 不同于 B,C, 则有

AP2=AB2?

PC BP +AC2? -BP?PC. BC BC

西姆松定理

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边

的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,

则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、 三边的中点以及垂心与顶点的三

条连线段的中点,这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。 (到两圆的幂(即切线长) 相等的点构成集合为一条直线,这条直线称根轴) 欧拉定理 Δ ABC 的外心 O,垂心 H,重心 G 三点共线,且 OG ? GH . 二、方法与例题 1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后 证明它与已知图形或点重合。 例1 在Δ ABC 中,∠ABC=700,∠ACB=300,P,Q 为Δ ABC 内部两点,
1 2

∠QBC=∠QCB=100,∠PBQ=∠PCB=200,求证:A,P,Q 三点共线。 [证明] 设直线 CP 交 AQ 于 P1,直线 BP 交 AQ 于 P2,因为∠ACP=∠ PCQ=100,所以 有
AP2 QP2 AB AC AB BQ ? .④ ,② ,③ ? ? 0 0 sin 30 sin 70 0 sin ?AP2 B sin ?ABP sin 20 sin ?BP2 Q 2
AP AC ? ,①在Δ ABP,Δ BPQ,Δ ABC 中由正弦定理 CQ QP 1

由②,③,④得

AP AP 1 ? 2 。又因为 P1,P2 同在线段 AQ 上,所以 P1, QP QP2 1

P2 重合,又 BP 与 CP 仅有一个交点,所以 P1,P2 即为 P,所以 A,P, Q 共线。 2.面积法。 例2 见图 16-1,◇ABCD 中,E,F 分别是 CD,BC 上的点,且 BE=DF,

BE 交 DF 于 P,求证:AP 为∠BPD 的平分线。 [证明]
S ?ABE ?

设 A 点到 BE,DF 距离分别为 h1,h2,则

1 1 BE ? h1 , S ?ADF ? DF ? h2 , 2 2 1 2

又因为 S ?ABE ? S◇ABCD=SΔ ADF,又 BE=DF。 所以 h1=h2,所以 PA 为∠BPD 的平分线。 3.几何变换。 例 3 (蝴蝶定理)见图 16-2,AB 是⊙O 的一条弦,M 为 AB 中点, CD,EF 为过 M 的任意弦,CF,DE 分别交 AB 于 P,Q。求证:PM=MQ。 [证明] 由题设 OM ? AB。不妨设 AF ? BD 。作 D 关于直线 OM 的对称 点 D' 。 连结 PD' , D' M , DD' , D' F ,则 D' M ? DM .?PMD ' ? ?DMQ . 要证 PM=MQ,只需 证 ?PD' M ? ?MDQ ,又∠MDQ=∠PFM,所以只需证 F,P,M, D ' 共圆。 因 为 ∠ PFD ' =1800- MDD ' =1800- ∠ MD ' D =1800- ∠ PMD ' 。 因 为 (
DD ' ? OM。AB// DD ' )

所以 F,P,M, D ' 四点共圆。所以Δ PD ' M ≌Δ MDQ。所以 MP=MQ。 例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样的两

个相似三角形,它们的相似比为 1995,而且每个三角形三个顶点同 色。 [证明] 在平面上作两个同心圆,半径分别为 1 和 1995,因为小圆 上每一点都染以红、蓝两色之一,所以小圆上必有五个点同色,设此 五点为 A,B,C,D,E,过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于 A1,B1,C1,D1,E1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色,不妨设为 A1,B1,C1,则Δ ABC 与Δ A1B1C1 都是顶点同色的三角形,且相似比为 1995。 4.三角法。 例5 设 AD,BE 与 CF 为Δ ABC 的内角平分线,D,E,F 在Δ ABC 的边

上,如果∠EDF=900,求∠BAC 的所有可能的值。 [解] 见图 16-3,记∠ADE=α ,∠EDC=β ,
? 2 ? 2

由题设∠FDA= -α ,∠BDF= -β , 由正弦定理:
AE DE CE DE , ? , ? A sin ? sin C sin ? sin 2



AE sin ? sin C , ? ? A CE sin ? sin 2
AE AB AB BC sin ? sin C sin C ? ? , 又 , 所以 , ? ? A sin A EC BC sin C sin A sin ? sin 2

又由角平分线定理有

化简得 所以

sin ? A sin ?BDF A cos ? A ? 2 cos ,同理 ? 2 cos ,即 ? 2 cos . sin ? 2 sin ?ADF 2 cos ? 2

sin ? cos ? ? ,所以 sinβ cosα -cosβ sinα =sin(β -α )=0. sin ? cos ? A 1 2 ? ,所以 A= π 。 2 2 3

又-π <β -α <π ,所以β =α 。所以 cos 5.向量法。 例6

设 P 是Δ ABC 所在平面上的一点,G 是Δ ABC 的重心,求证:

PA+PB+PC>3PG. [证明] 因为
PA ? PB ? PC ? PG ? GA ? PG ? GB ? PG ? GC ? 3PG ? GA ? GB ? GC ,又 G 为

Δ ABC 重心,所以 GA ? GB ? GC ? 0. (事实上设 AG 交 BC 于 E, AG ? 2GE ? GB ? GC , 则 所以 GA ? GB ? GC ? 0 ) 所以 PA ? PB ? PC ? 3PG ,所以 | PA | ? | PB | ? | PC |?| PA ? PB ? PC |? 3 | PG | . 又因为 PA, PB, PC 不全共线, 上式“=”不能成立,所以 PA+PB+PC>3PG。 6.解析法。 例 7 H 是Δ ABC 的垂心,P 是任意一点,HL ? PA,交 PA 于 L,交 BC 于 X,HM ? PB,交 PB 于 M,交 CA 于 Y,HN ? PC 交 PC 于 N,交 AB 于 Z, 求证:X,Y,Z 三点共线。 [解] 以 H 为原点, 取不与条件中任何直线垂直的两条直线为 x 轴和

y 轴,建立直角坐标系,用(xk,yk)表示点 k 对应的坐标,则直线 PA 的斜率为
yP ? y A x ?x , 直 线 HL 斜 率 为 P A , 直 线 HL 的 方 程 为 xP ? x A y A ? yP

x(xP-xA)+y(yP-yA)=0. 又直线 HA 的斜率为
yA x ,所以直线 BC 的斜率为 ? A ,直线 BC 的方程 xA yA

为 xxA+yyA=xAxB+yAyB,②又点 C 在直线 BC 上,所以 xCxA+yCyA=xAxB+yAyB. 同理可得 xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC. 又因为 X 是 BC 与 HL 的交点,所以点 X 坐标满足①式和②式,所以点 X 坐标满足 xxP+yyP=xAxB+yAyB.④同理点 Y 坐标满足 xxP+yyP=xBxC+yByC. ⑤点 Z 坐标满足 xxP+yyP=xCxA+yCyA. 由③知④,⑤,⑥表示同一直线方程,故 X,Y,Z 三点共线。 7.四点共圆。 例8 见图 16-5,直线 l 与⊙O 相离,P 为 l 上任意一点,PA,PB 为

圆的两条切线,A,B 为切点,求证:直线 AB 过定点。 [证明] 过 O 作 OC ? l 于 C,连结 OA,OB,BC,OP,设 OP 交 AB 于 M,

则 OP ? AB,又因为 OA ? PA,OB ? PB,OC ? PC。 所以 A,B,C 都在以 OP 为直径的圆上,即 O,A,P,C,B 五点共圆。 AB 与 OC 是此圆两条相交弦,设交点为 Q, 又因为 OP ? AB,OC ? CP, 所以 P,M,Q,C 四点共圆,所以 OM?OP=OQ?OC。 由射影定理 OA2=OM?OP,所以 OA2=OQ?OC,所以 OQ=
OA 2 (定值) 。 OC

所以 Q 为定点,即直线 AB 过定点。 三、习题精选 1.⊙O1 和⊙O2 分别是Δ ABC 的边 AB,AC 上的旁切圆,⊙O1 与 CB,CA 的延长线切于 E,G,⊙O2 与 BC,BA 的延长线切于 F,H,直线 EG 与 FH 交于点 P,求证:PA ? BC。 2.设⊙O 的外切四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 的中点分别为 E,F, 求证:E,O,F 三点共线。 3.已知两小圆⊙O1 与⊙O2 相外切且都与大圆⊙O 相内切,AB 是⊙O1 与⊙O2 的一条外公切线, B 在⊙O 上, 是⊙O1 与⊙O2 的内公切线, A, CD ⊙O1 与⊙O2 相切于点 P,且 P,C 在直线 AB 的同一侧,求证:P 是Δ ABC 的内心。 4.Δ ABC 内有两点 M,N,使得∠MAB=∠NAC 且∠MBA=∠NBC,求证:
AM ? AN BM ? BN CM ? CN ? ? ? 1. AB ? AC BC ? BA CA ? CB

5.Δ ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 相交于点 H,直线 ED 和 AB 相交于点 M, 直线 FD 和 AC 相交于点 N, 求证: OB ? DF, ? DE; (1) OC (2)OH ? MN。 6.设点 I,H 分别是锐角Δ ABC 的内心和垂心,点 B1,C1 分别是边 AC, AB 的中点,已知射线 B1I 交边 AB 于点 B2(B2≠B),射线 C1I 交 AC 的延 长线于点 C2,B2C2 与 BC 相交于点 K,A1 为Δ BHC 的外心。试证:A,I, A1 三点共线的充要条件是Δ BKB2 和Δ CKC2 的面积相等。

7.已知点 A1,B1,C1,点 A2,B2,C2,分别在直线 l1,l2 上 ,B2C1 交 B1C2 于点 M,C1A2 交 A1C2 于点 N,B1A2 交 B2A1 于 L。求证:M,N,L 三点 共线。 8.Δ ABC 中,∠C=900,∠A=300,BC=1,求Δ ABC 的内接三角形(三 个顶点分别在三条边上的三角形)的最长边的最小值。 9.Δ ABC 的垂心为 H,外心为 O,外接圆半径为 R,顶点 A,B,C 关 于对边 BC,CA,AB 的对称点分别为 A' , B' , C ' ,求证: A' , B' , C ' 三点共线 的充要条件是 OH=2R。


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