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10.2011年全国高中数学联赛山东赛区预赛


21 0 2年第 2期 

2 1 年全 国高中数学联赛 山东赛区预赛  0  1
中 图 分 类号 : 4 4 7   G 2 .9 文献 标 识 码 :A   文 章 编 号 : 0 5— 41( 0 2 0 0 2 0   10 6 6 2 1 )2— 0 5— 6





择题 ( 每小 题 6分 , 6 共 0分 )  

条件 .   ( A)充分 不必 要  ( )必要不 充分  B   ’

1 已知集 合  .

M ={ ( 1( 3 ( 5 < , R}  l  一 ) 一 ) 一 ) 0 ∈ ,  
N={ ( 2 ( 4 ( 6 < , R}  I  一 ) 一 ) 一 ) 0 ∈ .  
则 MfN=( 3   ( A)( , ) 2 3  ) .   ( B)( , ) 34 

( )充分且 必要  C
( )既 不充 分也不 必要  D

4 函数  )=l 。 ( + 一 ) . o .     2 的单 调  g 
递增 区 间是 (   ) .   ( )( , ) B 一∞ 1  ( D)( ,   ) 1+   +   的  ( A)( , 2   一∞ 一 ) ( )( , ) C 一2 1 

( )( , ) C 45 

( D)( , ) 56  ) .  

2 已知 =( 一  ).若  为 实数 , .   3i   则 
最小 的正 整数 n的值 为 (   ( A)3   ( )4 B   ( )5 C   ( D)6  

3 已 知 条 件 P: 、 、 、 . Ⅱ b C d成 等 比 数 列 ;   条 件 ga :d=b.则 条件 P是条件 q的 ( c  
该 直 角 二 角 彤 的斜 边 为  

5 已知  、 ∈ R+ . ) , .则 

)  

最 大值 为 (  

) .  

, 、   \ , \     、 、   一    
、 、 、 、 、

8.  

.  

厢 √ 丁
R=  

=   。  
-2 c a
. 

如图 5 延长 C , D到点 E 使得 D D , , E= C  联结 B . E 

于是 , 直 角三 角形外 接 圆的半 径 为  该

故 该 直角 三角形 外接 圆 的面积 为 
C  

R2:  

二 

. 

图 5  

7 ,. .    ( )  
由 2 , 1   3 , 二次 函数 开 口   )< ( )< )知   向上 , 对称 轴在 [ , ] 间. 1 2之  

则 △ B E △ B C  D  D .
所 以 , E=B B C= , 6 
BED =   BCD =   BAD.  

从 而 , D、 E四点共 圆. A、  、  
因此 , E B= E B= 0 .   A   D 9。  

由( < 1知 称 在丢 )   ) (,对 轴 (,   2  ) 2 之 间即点 横标  2可  , 的坐  (,, 顶 n、 )得 ∈ , 寻  口(, . ∈1 )    
万方数据

故A   E=
所以,  

一  : 5  
:   .  

.  

( 李延 林

提供)  

2  6

中 等 数 学 

() A 2

( )了 B 2

() c 4

( )4 D 丁  

l. 1 已知 

)=CS x+ lO  l p   ∈ R) O  p CS + ( 2 .  

6 线, 与 = l 区 [4_ . ,5   一在 间0 ̄L 直 = .   ∞ 1
截 曲线 
Y=ms   i n +n  m、 o  n> )

记  ) 的最大值为 h P . h P 的表  ()则 ()
达式 为— — .  
1. 2 已知  

s( i  +s  )=cs 戈一CS , n i n o( O ) 

所得 的 弦长相 等且 不 为零 .则 下列 描 述 正 确 
的是 (   ) .  

其 中,  ∈【 ,】则  = 0丌. 一
1 . A、 抛物 线  3 设 曰为 = p ( 0  2  ̄ p> )

 

(m吾 寻 A ≤一   )
( m≤3 =   B) , 2

上相异两点. I + I一I l 的最小  则     :    
值 为— — .  
1 . △ A C中 , 4在 B 已知 G是 重心 , 内角  三 A、 B、 C的对边 分别 为 0 b C且      、 、,
5 a G +4 b G +3 cGC =0  6  A 0 B 5  .

( 丢 丢 c 一    
( m > ,,   D) 3 /=2 7

7 有 六 名 同学 咨询 成绩 . 师说 : . 老 甲不是  六 人 中成绩 最 好 的 , 乙不 是六 人 中成 绩 最 差 

则  B= 一

 

三 、 答题 ( 6 解 共 6分 )  

的, 而且六人的成绩各不相同. 则他们六人的 
成绩不 同的可 能排 序共有 (   ) . 种  
( 10 ( 2 6 ( )8 ( 54 A) 2 B) 1 C 3 4 D)0  

l.1 5 (2分) 不等式 

s 2协 n 詈一 i   n   2 ( ) ¨  
> 一3—2口  

8 若 点 尸在 曲线 Y=一 一1 , Q在  .   上 点

曲线  = 1+Y 上 , l QI 最 小 值 是    则     P 的
(   )  .

对 6o ]成 .实 n 取 范 .   [詈恒 立求 数 的 值 围 ,  
(   B)


( A)3   ( )3 , c     9 已知 函数  .

1 . 1 ) 图 1 已知 在 正 方 体 A C   6 (2分 如 , BD A l l   , E、 G分 另 为 B B 。        中 0、 F、 CD 0 D、 B 、

( )丁 Y D 3/  ,

AD 、 ll的 中点 , A =1 求 四 面 体  。 。D  c 且 B .
OF E G的体 积.  
C  

f)( +)++  (= x   丢2 6 戈  ,
其 中 , 、 为 常数 , 口b 口>l且  ,
l l 8   0 )=8 g o   00  g 1 .  

则  l l 2 的值是( gg )     

) .  
C 

( A)8 ( )4 ( )一   (   B   C 4 D)一8  

1. 0 在等差数列 {  中, O'1   <一1 且  口 } 若 0 , 其前  项和 5有最大值.   则当 .取最小正值  s   时,   n=( ) .  
( A)1 ( )1  (   B 0 C)1  ( 9 D)2  0 二、 填空 题 ( 每小题 6分 , 2 共 4分 )  
图 l  

1 . 1 )在 平 面直 角坐标 系中 , 7 (2分 已知 

oc与oc交于点 P Q P的坐标 为( , )  。 : 、, 32 ,

万方数据

2 1 年第 2期  02

2  7

两圆半径的乘积为  . 若oc和oC 均与直     
二 

当  >1时 , ( 为减 函数 . , )  
5 .B.  

线 z Y:k : x及  轴 相切 , 直线 z 求 的方程 。  
1. 1 8 ( 5分 )甲 乙两 人 进 行 某 种 游 戏 比 

令 5 2 ) t  + y 则  = x十, : 2 . ,


赛, 规定 : 每一次胜者得 1 , 分 负者得 0分 ;   当 其中一人的得分 比另一人的得分多 2分时即   赢得这场游戏 , 比赛随之结束. 同时规定 :   比 赛次数最多不超过 2 0次 , 即经 2 0次 比赛 , 得  分多 者赢得 这场 游戏 , 得分 相等 为和 局. 已知 
每次 比赛 甲获胜 的概 率为 P 0< ( P<1 , ) 乙获 

÷ (s £ , 2 一 ) 

Y ÷( —) = 2 s. t  

故 + =一(+)   南   了÷÷÷≤ 4  .
6.   D.

胜的概率为 q= 一 . 1 P 假定各次 比赛 的结果  是相 互独 立 的 , 比赛 经  次 结束 . 求  的期 望 
蟛 的变化 范 围.  

注意到 , 函数 

Ymn ( 【 】 。 s警  0 ) =i ∈ ,    
的图像 被 Y=口及 Y=一a 0 ( ≤0<m) 截得  所 的弦长 相等 且不 为零.  
所以, 题设 两直线 应为  Y=n+ , n— ( ≤口< , 口 Y= a 0 m) 
即  几十 5, 口= n一口= 一1 .  

1. 1 分 ) 9 (5 集合  { , , 20 1 . 12 …,  1 }   如果 M 满 足: 其任意三个元 素 口 b c 均有  、、, a ≠c则称  具有“ b , 性质 P .为方便起见 , ”   简记  ∈ P 具有 性质 P 的所 含 元 素 最多 的  .
集合称 为 “ 大 集 ” 试 问 : 有 性 质 P 的最  最 . 具
大集共 有 多少个 ?并 给 出证 明.  

解 得 n= , 3  2 口= .
进而 , > . m 3 
7.   D.

参 考 答 案 




1.   B.

以 A记 甲成 绩排 名第 一 的所 有可 能 的排  序 之集 , 以  记 乙 成绩 排 名 为最 后 的所 有 可  能 的排序之 集 . 则 

注意 到 ,   M =( 一∞ , ) 3 5 , 1 u( ,)  N=( , ) 6 +。 ) 2 4 u( , 。 .   所 以 , nJ =( , )    , 3 4 . 7 、  
2.   A.

I    f 5 ,A 曰I 4. AI =I =  I  =   1  n 1  
甲排名 第一 或 乙排 名最 后 的所有 可能 的 

排 序数 为 

注意 到 ,  


1 BI Al   l A  l 26 A I   +l —l  = 1. L =l n  
按 照老 师所 述 , 六 名 同学 成 绩 可 能 的  这 排 序数 为 
+   .  
61 1  —2 6=5 4. 0  
8.   C.

( 一  )   3i  

_- ( 

故  = 3是 使 z 实数 的最小 的正 整数 . 为  
3.   A.

由两抛 物线关 于直 线 Y= 一  对 称 , 则所 

充 分性 显然 成立 , 必要 性不 成立 .   例如 , 口=1b 2,= d= 0 , = c 5, 1 .  
4.   A.

求 lQI     P 的最小值为点 P ,   一 ) ( 一 1 到直线 
Y=一  距 离 的最小 值 的两 倍 . 故 
I —X   2—1l     2一 +1    

由对 数 函数 的性 质知 
戈 + 一 0= >l     2>   或  <一2 .  

—    妲
:  
.  

丁n ’   

当  < 一 2时 , ( 为增 函数 ; , )  

万方数据

2  8

中 等 数 学 

从而 ,P   = l Ql      
9.   B.

.  

或 c= 一 一s) z    — k(  i( ) o 2 詈 — j .② 8  x n| } ∈
由式①得 
2 x+sn 一c s =2 i  o   丌+— ,    

由已知 得  l l 8   0 )= l l 2 0   g o   00   g o   )  g 1  g 1
=   一

l    )= . gl 2 8 g  
+ =    
l+   +  

且 函数 
+  

又 

. (  )= x+s   一 O  2 i n CS 在 【 T 上 为增 函数 . 0,】 c 于是 ,  




1  0 = )<2 r 3-   , 1 + “ < c 丁+1 o - )=2c .  

l  

一  

1  
。。一  

由此 得  = . O  



口  一 1 2 ’    

令 F(  )= ( , )一 . 6 显然 ,  
F( _  )= 一  ) F(  

故XS —s=  = . 2 i c 詈    +n 。     4
由式②得 
Sn + C S = l    O  
‘  

A- = 2- )  ) 1 A  .   故  l    ):1 f-l l 2 4  gl 2 g 2一 ( g g )= .   
1 C. 0.  

+ 

= " - 2 孔


  -一2 兀c  丁  
一  

j    1<

一2 x< k  

,  

设 该等 差数 列 的公 差 为 d 显 然 , 0  . d< . 由  < 一1 知  ,
00>0, l <0, 口 l l l 口l 且 l +00<0  .

矛盾 .  

1 . p. 3 一4    设 a x , ) 8 x , ) 则  (    , (    .

贝 2 =1 ( l+ l)< , 0 0 0 00 口1 O  S
Sl 1 al 9= 9 0>0.  

l +     + 8 + ^ y ) , IA+ BI=(^   ) + Y + B‘       0 一 O ‘ ( (^   

I I=( 一 ) +( — B               Y), l + 1一l l: (  +   .           4x y)) , 
若 直线 A B的斜率 存在 ( 为 )则  设 ,
2 :  ( ^ y=  一口 . 日 ) 

又 S9 S = ( 1+ l)< , n=1. l一 1 9 口0 Ⅱ1 0 故 9 






1p : 1 . {  




1’  


令 IO = ( ≤M )则   S C  l u o ≤1 .
) u p p一1 ( ) =2  + u+ =F u 

将其 代入 抛 物线方 程得 
kx 2 a  p  +|口 0  Z2— ( k + ) I  = . c 2

f() 一   ; F 1 , 卫 2  4≤

则  8   =0 ,  
yy = ( ^  ) 口 )= 一 a . ^ 日     一 ( 一0 2 p 

=p1,叶    F  l. ‘i) 寺   一  ( _  0 > 。   二
{  三 21 二 。   ’ ,  
1  4 . 2.  

故 IA+ l—I I —   z     O 4 ( 一 ) P] 一 p. [ 口 p 一   ≥ 4   


① 

当直线 A B的斜率 不存 在 时 , 有  =戈 口  日= , 一, /印 , , B= ̄ 2  

原 方程 等 价于 
cos

式① 也成 立 .   当且仅当 口= p时 , 式①等号成立.  
1 6 . 4. 0。 

(-- 一s一s 詈  ̄s )o c i c  o n (  

因为  +一 一 o 所 以 , G G B+ C:  


则 - O 27   一 s ( ∈z , C  : k +  —ixk ) ①  S c n

加 6 G +4 b G +4 b G :0   A 0 B 0  C .

万方数据

21 0 2年第 2 期 

2  9

故 (6 4 b G 5 a一 0 ) A+( 5 一 0 ) C= . 3c 4 b G 0   因为  、 e G 不共线 , 以 , 所  
7 口一5 b=0. c一8 7 b=0.  

两 圆的方 程分别 为  ( mr)  — 1  +( r) r , Y— 1 = 2 1   ( ,r)  一n2 +( r) r  Y— 2  2 . 因为 P( , ) 3 2 是两 圆的公 共 点 , 以 , 所   ( 3一m 1 +( r) 2一r) 2  1  =r, l

设 a= k 则 b 7 , : k 5. = kc 8 .  

由余 弦定理 得 
2k 5  +6  一4 k 4k 9 
eo  —   一  

1  

( 3一m 2 +( r) 2 r) 2一 2 :r.  
由此知 r、 是 方程   r  
2 m  r


因此 , B= 0 .   6。  

三、5设 = i 0 CS ∈[ , ]则  1. s  + O 0 1 n     .
sn 20 = i    一 1.  

( m+ ) +l 0 6 4 r 3=  


的两个 根 , 即有 r 2  3 m l :1 r

: 

.  

sO )o 一)   i + =s 手= n 詈 c   . ( (
于 是 , 不等式 化 为  原
- 1一

从而, 线 Z 直 的方程 为 
) = tn 2 , a    2a  t tno
…   .  

譬  ) -2 ( +。一 3a 2    > -  
5x -  
x 2+ 4 2 
- —


1. 8 记比赛经 k 次结束的概率为p = ) (  .  
若 k为 奇数 , 甲乙得分 之差亦 为 奇数 , 则  

: 2一 0>2 = 》(  )  

比赛无法结束.   考虑 k为偶数 时 , 头两次 比赛 的结果 :  
() 1 甲连 胜 或 乙 连 胜 两 次 , 为 有 胜 负  称

:  

(  )+ 2 2一 2×



X 


的两次 , 此结果出现的概率为P +     g;  
2  

=  a >  + —— .  

() 2 甲乙各 胜一 次 , 为无 胜 负 的 两次 , 称   此结 果有 两种情 形 , 出现 的概 率为 2q 故 p.  
于是 , 、 1 2两 次 , 、 3 4两 次 , …… , k一3   、

令  )=    +2
. 

则函数 f ) ( 在  ∈【 , 】 1   上单 调递 
1 )=3 即 a的取值 范 围为 a> . , 3 
1 . 结  D 与 F 6联   G交于 点  显然 , F、 点 G关 于面 B 。   B D D对称 . 则 
vo


k一 两 次均未 分胜 负 。 2  

若 k 2, # 0 则第 k 1 k 一 、 两次为有胜负的 
p  =k ( )=(p )  ( + 。 . 2q  ̄ P g) -    

减. 于是, )   在  ∈【, 】 1   上的最大值为  两次 . 而 , 从  
若 k 2 , 比赛必须结束. = 0则 从而 ,  
p  = 0 ( 2 ):( p ) . 2q 9  


 

2vF o EH 


s E‘   H FH.  

综上 ,  


又 s E =s 彤 B  —s BH—s B    H 磷 oBH       E
s   3   s  

( +  2(q +02 ) p g ∑ i p) 2(q .   ) 2  p   

一 一     百
故 V -F "2 oE  ̄ G
3 ×   ×

’  

令 =q ( 】     2 ∈ ,  p、 J  二 则 o .  


譬者 =.  


(一 ) 2 +0  1 u∑ 扩  2 u

1. 7 由题意 知 0、 ,C 三 点共线 . C 、2  

设Oc 与 o 的半径分 别为 r、 , ,    r 直    线 C C 的斜 率为 t      a a#O  n .
令 m= o 0 贝  1, , )C (  , )  ct [ 0 (   . C Ⅳ1r ,  , r , 】 2

∑ 2   ∑ 2 2u 扩 一   +0  u

= + :    ( i 2 i   2u +2 。 2 2+ ) —  ‘ 一 i‘ M     

万方数据

中 等 数 学 


-z +2  

=  

.  

这 与  为最 大集 矛盾 .  

结论 3 若 肘 ∈ P是最 大集 , 则 

因为0  ≤ 所以, < ÷,  

  = ≤1 I l£ .  
假定 t . ≥2  
( ) q= . 1 P: 0 

2峰 4( < ≤一  
1 . A={ ,, 4 } 9令 23 …, , 4   B={54 , 2 1 } 1 . 4 , …, 0 1 U{ } 6    
一  

由结论 2的证 明知  4 a MB  1 2 … ,) 5  ( , , t.  

对 任意  ∈ P, 令 
MA=M C A, l M口=M N B.  

由 4 a 一 6  l 4 (   1 5   4 口一 = 5 0 一口一)一n一  l  
> 4 一口  l>0, 5  


显然 , 集合 8∈P .   设最大集元素的个数为 n. D则 
≥ l f  6 .   =1 9 8  

则 4 a. < 6 ll 4 a <  1. 5 I1 4 a- < 5   20 1  
由此 知 4 、6   中 至 少 有 一 个 不 属 于  64 a MB从而 . .  

设 

中 除 1之 外 的 最 小 元 为 4 5+P  

j l   1 6 ( + ) 1 6 凡.   ≤ +   8一 t 1 =   7< 0 9 9  
( ) ≤p= ≤3  21 g .

( ≤. 2 . 0 p ≤4 )  

将集 合 A 中与 4 P的乘 积 大 于 20 1 5+  1  的元 素个 数记 为 q则  .
q=   一

若  = ,   同理 ,  

I l 一( 6 - )一 ≤1 6 n.   ≤t 1 8 p t   7< 0 9 9  
若 有 b∈  , 4 则 4一q ≤4 . 必有  <6 4 故
口 b>4 +   1 5 p 口6 l  M口  .

L0j4  1.  + < 一0   41 52 1 2  51    

结论 1 当 P   ≥4时 , q< . 有 p 

则 I I   q 1 6 - ) £ 1    ≤ + +( 9 8 p 一( + ) M   


否则 ,  

1 9 7 <n0   6 .

p < 5一  1  ≤g 4 石0 1 2 
P  ≤ 4   一2 0l1= 1   5   4

综合( ) ( ) 1 、2 及结论 2 £ . 知 ≤1  
结论 4 若 M ∈ P是最大集 , 则 
l l .   ≤1  

P≤ 3.  

事实 上 , I I , 若   >1 任取其 中两 个 数 
a b 由 结 论 3知 , 中 必 有 一 数 ( 为  ,, 其 设
b∈  ) 从 而 , ,  

不 难验 证 , 0 ≤3时 , 当 ≤p 均有 P=q .  

令  ={ ∈M }≤4 q ,   A J 4一 } }  


{∈ j   l > 4一 } } | 4 q. j }  

a  gBa4 + ) b ,(5 p ∈M口 .   贝  l 1 g ( 98 p - =  7 n. 0 ≤ + + 16- ) 2 16 <o   I   9  
因此 , ^ ≤1 I l .    
由此知 , 若  ∈ 尸是最 大集 , 只有下述 
三种 可 能 :  
() = , i     M8=   B;

设  ={1 2…,I, 口 < <… < 1 口, , 口}且 1   n 口.   结论 2 若 M ∈ P是 最大 集 , P≤3  则 . 否则 , 由结论 1知 g p  <. 因为 口(5+ )<  1 , 以 , i4 p 20 1所  
o ( 5+ ) MB i , , , .  4 p   ( =1 2 … t   ) 容易 求得 

( ) ={4 , : {5 ; i  i 4 }MB  \4 }   ( iM^ 4 } i) ={4 , = \4  4 } i  口 B {4 5 . x  

l l tl l ,   =,   ≤q 
I 日 ≤( 9 8 p 一 .   I 16 -) t    

则I 』   f   I   l   =l 十f +I  
≤£ +q+(  6 P t   6 ≤n , 19 8一 )一 <1 8 0 9  

【 】 1 l = a     注 ()Al crA; d () \    EA 且  2A 8:{ J ,

日. }  
提供 )  

( 方祖耀

万方数据

2011年全国高中数学联赛山东赛区预赛
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 High-School Mathematics 2012(2)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201202010.aspx


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2011年全国高中数学联赛(山东赛区)一等奖名单 文档

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2011年全国高中数学联赛试题参考答案

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2011年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷及答案

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2011年全国高中数学联赛试题(一试A卷)

2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。把...

2011年全国高中数学联合竞赛试题(A卷)(一试)2011年10月16日

2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。把...

2011年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答

2011年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答 一、填空题(共 8 题,每题 10 分,计 80 分...

2011年全国高中数学联赛试题参考答案

2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案...