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2016届高三数学一轮总复习:专题8-数列(含解析)


专题八、数



抓住 5 个高考重点
重点 1 数列的概念与通项公式 1.数列的定义 2.通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系: S n ? a1 ? a2 ? ... ? an , an ? ?

n ?1 ? S1 , , an ?1 ? S n ?1 ? S n ? S n ? S n ?1 ,

n ? 2

3.数列的一般性质: (1)单调性; (2)周期性-若 an?k ? an (n, k ? N * ) ,则 {an } 为周期数列, k 为 {an } 的一个周期. 4.数列通项公式的求法:观察、归纳与猜想

[高考常考角度] 角度 1 已知数列 {an } 满足 a4n?3 ? 1, a4n?1 ? 0, a2n ? an , n ? N * ,则 a2009 ? ____, a2014 ? ____, 解析:主要考查对数列中项数的分析处理能力, a2009 ? a503?4?3 ? 1, a2014 ? a1007?2 ? a1007 ? a250?4?1 ? 0

角度 2 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 9n, 第 k 项满足 5 ? ak ? 8, 则 k ? (



A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

解析:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?8 ;当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 10 ,故 an ? 2n ?10, n ? N * 由 5 ? ak ? 8 ?? 5 ? 2n ?10 ? 8 ?? 7.5 ? n ? 9,? n ? 8 ,故选 B 重点 2 等差数列及其前 n 项和 1.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d , an ? am ? (n ? m)d ,(m ? N * , m ? n) 2.等差数列的前 n 项和公式: Sn ?

n(a1 ? an ) 1 ? na1 ? n(n ? 1)d ? an 2 ? bn , a , b 为常数 2 2

3.等差数列的性质与应用: p ? q ? s ? t ?? a p ? aq ? as ? at , S2n ? Sn , S3n ? S2n , S4n ? S3n ,... 也成等 差数列 4.等差数列前 n 项和的最值: (1)若 d ? 0 ,数列的前几项为负数,则所有负数项或零项之和为最小; (2)若 d ? 0 ,数列的前几项为正数,则所有正数项或零项之和为最大; (3)通过 Sn ? an2 ? bn 用配方法或导数求解. 5 等差数列的判定与证明: (1)利用定 义 an?1 ? an ? d , (2)利用等差中项 2an?1 ? an ? an?2 , (3)利用通项公式 an ? pn ? q, p, q 为常数, (4)利用前 n 项和 Sn ? an ? bn , a , b 为常数
2

[高考常考角度] 角度 1 在等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? __________ 解析:由等差数列的性 质知 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 2(a4 ? a6 ) ? 2(a3 ? a7 ) ? 74 .

角度 2 已知 {an } 为等差数列,其公差为 ?2 ,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,n ? N ,则 S10 的
*

值为( A. ?110



B. ?90
2 7

C. 90
2

D. 110

解析:∵ a ? a3 ? a9 , d ? ?2 ,∴ (a1 ? 12) ? (a1 ? 4)(a1 ? 16) ,解之得 a1 ? 20 , ∴ S10 ? 10 ? 20 ?

10 ? 9 (?2) ? 110 . 故选 D. 2


角度 3 设等差数 列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时 n 等于(

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

解析:设该数列的公差为 d ,则 a4 ? a6 ? 2a1 ? 8d ? 2 ? (?11) ? 8d ? ?6 ,解得 d ? 2 , 所以 S n ? ?11n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 ,所以当 n ? 6 时, Sn 取最小值.选 A 2
2

3 3 3 * 角度 4 已知数列 ?an ? 满足对任意的 n ? N ,都有 an ? 0 ,且 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? .

(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (3)设数列 {

1 1 } 的前 n 项和为 Sn ,不等式 S n ? log a ?1 ? a ? 对任意的正整数 n 恒成立,求 实数 a 的取值范围. 3 an an ? 2

3 解: (1)当 n ? 1 时,有 a1 ? a12 ,由于 an ? 0 ,所以 a1 ? 1 .
3 3 当 n ? 2 时,有 a1 ? a2 ? ? a1 ? a2 ? ,将 a1 ? 1 代入上式,由于 an ? 0 ,所以 a2 ? 2 . 2 3 3 3 (2)由于 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? , 2 3 3 3 3 则有 a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 ? . 2 3 ②-①,得 an ?1 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? , 2 2

① ②

由于 an ? 0 ,所以 an?1 ? 2 ? a1 ? a2 ??? an ? ? an?1 .
2

③ ④

同样有 an ? 2 ? a1 ? a2 ? ?? an?1 ? ? an
2
2 2



n ? 2,

③-④,得 an?1 ? an ? an?1 ? an . 所以 an?1 ? an ? 1 . 由于 a2 ? a1 ? 1 ,即当 n ? 1 时都有 an?1 ? an ? 1 ,所以数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. 故 an ? n .

(3)? an ? n,?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an? 2 n(n ? 2) 2 n n ? 2

Sn ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? a1a3 a2 a4 a3a5 an?1an?1 an an ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 1 1 1 1 3 1 1 1 ? (1 ? ? ? )? ? ( ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 n ?1 n ? 2

3 1 1 1 3 1 1 1 1 Sn?1 ? Sn ? [ ? ( ? )] ? [ ? ( ? )] ? ?0 4 2 n?2 n?3 4 2 n ?1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 3)
数列 {Sn } 是递增数列,故 S n |min ? S1 ? 要使不等式 S n ? 只须

1 3

1 log a ?1 ? a ? 对任意的正整数 n 恒成立 3 ?0 ? a ? 1 2

1 1 1 ? log a (1 ? a) ,又?1 ? a ? 0,? 0 ? a ? 1 故 1 ? a ? a ?? a ? , 3 3 2 1 所以 实数 a 的取值范围是 (0, ) 2
角度 5 (2011.福建)已知等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a3 ? ?3 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {an } 的前 k 项和 Sk ? ?35 ,求 k 的值. 解析: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d ,则 an ? a1 ? (n ?1)d ,

由题设, a3 ? ?3 ? a1 ? 2d ? 1 ? 2d ,所以 d ? ?2 . an ? 1 ? (n ?1)(?2) ? 3 ? 2n . (Ⅱ)因为 S k ?

k (a1 ? ak ) k (1 ? 3 ? 2k ) ? ? k (2 ? k ) ? ?35 , 2 2

2 * 所以 k ? 2k ? 35 ? 0 ,解得 k ? 7 或 k ? ?5 .因为 k ? N ,所以 k ? 7 .

重点 3 等比数列及其前 n 项和 1.等比数列的通项公式: an ? a1qn?1 , an ? amqn?m , m ? N * , m ? n

q ?1 ?na1 , ? 2.等比数列的前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , q ? 1 ?
3.等比数列的性质与应用: p ? q ? s ? t ?? a p ? aq ? as ? at , S 2n ? S n ,S 3n ? S 2n ,S 4n ? S 3n ,... 也成等比数列

4.等比数列的判定与证明: (1)利用定义

an ?1 2 ? q, q 为常数(2)利用等比中项 an ?1 ? an ? an ? 2 , an

[高考常考角度] 角度 1 若等比数列 {an } 满足 an an?1 ? 16n ,则公比为( )

A. 2

C. 8 D. 16 a 2 2 解析:由题有 a1a2 ? 16, a2 a3 ? 16 ? 3 ? 16 ? q ? q ? 4 ,故选择 B. a1
角度 2 在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ?

B. 4

1 , a4 ? 4, 则公比 q ? 2

; a1 ? a2 ??? an ?

.

1 n (2 ? 1) a 1 3 解析:由已知得 q ? 4 ? 8 ? q ? 2 ;所以 a1 ? a2 ? ? an ? 2 ? (2n ? 1) . a1 2 ?1 2
角度 3 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (Ⅰ)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明 数列 {bn } 是等比数列 (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式。 解析: (Ⅰ)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,?????????① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 ???.② ②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 , ? an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) , 又? bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1

?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为 2 的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,

an ?1 an 3 ? ? (如果不这样,就要用到累差法了) 2n ?1 2n 4 a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. ? 数列 { n n 2 4 2 a 1 3 3 1 ? ? (n ? 1 ) ? n ? , ? n n 2 2 4 4 4 ?
故 an ? (3n ?1) ? 2
n ?2

, n ? N*

角度 4 等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表 的同一列. 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)n ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 S 2 n . 解析: (Ⅰ)当 a1 ? 3 时,不合题意;当 a1 ? 10 时,不合题意. 当 a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意;因 此 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18, ? q ? 3 故 an ? 2 ? 3n?1, n ? N * (Ⅱ)因为 bn ? an ? (?1)n ln an ? 2 ? 3n?1 ? (?1)n ln(2 ? 3n?1 ) 第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

? 2 ? 3n?1 ? (?1)n [ln 2 ? (n ?1)ln 3] ? 2 ? 3n?1 ? (?1)n (ln 2 ? ln 3) ? (?1)n n ln 3, ? S2n ? b1 ? b2 ? ? ? b2n ? 2(1 ? 3 ? ? ? 32n?1 ) ? [?1 ? 1 ?1 ? ?? (?1)2n ](ln 2 ? ln 3) ?[?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (?1)2n 2n]ln 3
? 2? 1 ? 32 n ? n ln 3 ? 32 n ? n ln 3 ? 1. 1? 3

重点 4 数列的求和 1.数列求和的注意事项: (1)首项:从哪项开始相加; (2)有多少项求和; (3)通项的特征决定求和的方法 2.常见的求和技巧: (1)公式法,利用等差数列、等比数列的求和公式; (2)倒序相加法; (3)错位相减法; (4)分组求和法; (5)裂项法; (6)并项法 [高考常考角度] 角度 1 若数列 an ? 的 通项公式是 an ? (?1) (3n ? 2) ,则 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? (
n

?



A. 15

B. 12

C. ???

D. ???

解析:方法一:分别求出前 10 项相加即可得出结论; 方法二: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 3 ,故 a? ? a? ? L a?? ? ??? ??? .故选 A.

角度 2 已知数列 1,1 ? 2,1 ? 2 ? 22 ,...,1 ? 2 ? 22 ? ... ? 2n?1 ,求此数列的前 n 项和 解析:由 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2
2 n ?1

?

1 ? 2n ? 2n ? 1 1? 2

?Sn ? 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 22 ) ? ... ? (1 ? 2 ? 22 ? ... ? 2n?1)
? (2 ?1) ? (22 ?1) ? (23 ?1) ? ... ? (2n ?1) ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ? n ?
2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? 2 ? n 1? 2

角度 3 数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为等比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 , 数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 . (1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 1 3 ? ??? ? . S1 S2 Sn 4
则 { an } 通 项 an ? 3 ? (n ? 1) d, 前 n 项 和

* 解 : 设 { an } 公 差 为 d , 由 题 意 易 知 d ? 0 , 且 d ? N

S n ? 3n ?

n(n ? 1) d 2

再设{ bn }公比为 q ,则{ bn }通项 bn ? q n?1 又{ ban }为公比为 64 的等比 数列,∴

(6 ? d ) ? 64 由 b2 S 2 ? 64 可得 q·



ban ?1 ban

?

q an ?1 ?1 ? q an ?1 ?an ? q d ,∴ q d ? 64 an ?1 q



* 联立①、②及 d ? 0 ,且 d ? N 可解得 q ? 8, d ? 2

∴{ an }通项 an ? 2n ? 1, n ? N

*

?{bn } 的通项 bn ? 8n?1 , n ? N *
(2)由(1)知 Sn ? 3n ? ∴

n(n ? 1) ? 2 ? n(n ? 2) , n ? N * 2

1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? Sn n(n ? 2) 2 n n ? 2

?
?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ??? 3 2 2 4 2 n n?2 S1 S 2 Sn 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? [(1 ? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? )] 2 3 2 4 n n?2 2 2 3 n 3 4 5 n?2

1 1 1 1 3 1 1 1 3 ? [(1 ? ) ? ( ? )] ? ? ( ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 n ?1 n ? 2 4 1 2 2013 4x )? f ( ) ? ... ? f ( ) ,则 S ? ________ , 若S ? f ( x 2014 2014 2014 4 ?2

角度 4 设 f ( x) ?

解析:? f ( x) ?

4x 41? x 2 , ? f (1 ? x ) ? ? x x 1? x 4 ?2 4 ?2 4 ?2

4x 2 ? f ( x) ? f (1 ? x) ? x ? x ?1 4 ?2 4 ?2
1 2 2013 2013 2012 1 )? f ( ) ? ... ? f ( )得 S ? f( )? f ( ) ? ... ? f ( ) 2014 2014 2014 2014 2014 2014 1 2013 2 2012 2013 1 2S ? [ f ( )? f ( )] ? [ f ( )? f ( ) ? ... ? [ f ( )? f ( )] ? 2013 , 2014 2014 2014 2014 2014 2012 2013 ?S ? 2
由S ? f ( 角度 5 设数列 {an } 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ? ? 3
2 n ?1

an ?

n ,n? N* 3

(1)求数列 {an } 的通项公式 (2)设 bn ?

n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn an
2 n ?1

解析: (1)由已知 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ? ? 3
2

an ?

n 3 n ?1 3

① ② 所以 an ?

当 n ? 2 时, a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ? ? 3 两式相减得 3 (2)? bn ?
n ?1

n?2

an ?1 ?

an ?

1 1 1 ?? an ? n , 在①中,令 n ? 1 ,得 a1 ? 3 3 3

1 ,n? N* n 3

n ,? bn ? n ? 3n an
③ ④

? Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ... ? n ? 3n

?3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ? ... ? (n ?1) ? 3n ? n ? 3n?1
相减得 ?2Sn ? 3 ? 3 ? 3 ? ... ? 3 ? n ? 3
2 3 n n ?1

3(1 ? 3n ) 3 1 ? 2n n ?1 ? ? n ? 3n ?1 ? ? ? ?3 1? 3 2 2

? Sn ?

3 2n ? 1 n ?1 ? ?3 4 4

重点 5 数列的综合应用

1.等差数列与等比数列的综合 2.数列的实际应用 [高考常考角度] 角度 1 设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 , 其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列,a 2 , a 4 , a6 成公差为 1 的等差数列, 则q 的 最小值是________ 解析:由题意: 1 ? a1 ? a2 ? a1q ? a2 ? 1 ? a1q2 ? a2 ? 2 ? a1q3 , ?a2 ? q ? a2 ? 1, a2 ? 1 ? q2 ? a2 ? 2

q3 ? a2 ? 2 ? 3 ,而? a2 ? 1, a1 ? 1,? a2 , a2 ? 1, a2 ? 2 的最小值分别为 1, 2,3 ?qmin ? 3 3 .
角度 2 已知 {an } 是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, Sn 为它的前 n 项和. (Ⅰ)当 S1 、 S 3 、 S4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ)当 Sm 、 Sn 、 S l 成等差数列时,求证:对任意自然数 k, am ? k 、 an ? k 、 al ? k 也成等差数列. 解析: (Ⅰ)由已知, an ? aqn?1 ,因此 S1 ? a , S3 ? a(1 ? q ? q2 ) , S4 ? a(1 ? q ? q2 ? q3 ) . 当 S1 、 S 3 、 S4 成等差数列时, S1 ? S4 ? 2S3 ,可得 aq3 ? aq ? aq2 .
1? 5 . 2 (Ⅱ)若 q ? 1 q ? 1 ,则 {an } 的每项 an ? a ,此时 am ? k 、 an ? k 、 al ? k 显然成等差数列.

化简得 q2 ? q ? 1 ? 0 .解得 q ?

若 q ? 1 ,由 Sm 、 Sn 、 S l 成等差数列可得 Sm ? Sl ? 2Sn ,即

a(q m ? 1) a(q l ? 1) 2a(q n ? 1) ? ? . q ?1 q ?1 q ?1

m l n k ?1 m l n ? k ?1 ? 2an?k . 整理得 q ? q ? 2q .因此, am? k ? al ? k ? aq (q ? q ) ? 2aq

所以, am ? k 、 an ? k 、 al ? k 也成等差数列. 突破 3 个高考难点 难点 1 数列的递推公式 及应用 1.求 an?1 ? pan ? q ( p, q 为常数)型的通项 公式 (1)当 p ? 1 时, {an } 为等差数列 (2)当 p ? 1 时, {an } 为等差数列 (3)当 p ? 0 且 p ? 1, q ? 0 时,方法是累差法或待定系数法,具体做法是:

an?1 ? pan ? q ?? an ?1 ?
2.求 an ?1 ?

q q q ? p(an ? ) ?? 数列 {an ? } 为等比数列 p ?1 p ?1 p ?1

ban ( ab ? 0 且 a , b 为常数)型的通项公式,具体做法是:“倒代换” aan ? b

由 an ?1 ?

a ban 1 1 a 1 1 变形为 ? ? ,故 { } 是以 为首项, 为公差的等差数列 ,进而求解 b aan ? b an?1 an b an a1

3. 求 an?1 ? pan ? qn ( p, q 为常数)型的通项公式 ,具体做法是:

由 an ?1 ? pan ? q ??
n

an ?1 p an 1 a p 1 ? ? n ? ,令 bn ? n ,则 bn ?1 ? bn ? ,再行求解. n ?1 n q q q q q q q

典例 根据下列条件,求数列 {an } 的通项公式 an (1) a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 1 (待定系数法) 解析:由 an?1 ? 2an ? 1 ?? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , {an ? 1} 是以 2 为 公比, 4 为首项的等比数列

?an ?1 ? 4 ? 2n?1 ?? an ? 2n?1 ?1,(n ? N * )
(2) a1 ? 1, an ?1 ?

3an (n ? N * ) (换元法) 2an ? 3

解析:由 an ?1 ?

2 1 3an 1 1 2 ?? ? ? ,?{ } 是以 公差,1 为首项的等差数列 3 an 2an ? 3 an ?1 an 3

1 2 2n ? 1 3 ? 1 ? (n ? 1) ? ? ?? an ? , n? N* an 3 3 2n ? 1
(3) a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n (累差法、换元法、待定系数法)

an ?1 1 an 1 a 1 1 1 ? ? n ? , ,令 bn ? n ,则 bn ?1 ? ? bn ? ?? bn ?1 ? 1 ? (bn ? 1) n n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ?{bn ? 1} 是以 为公比, ? 为首项的等比数列, 2 2 a 1 1 1 1 1 bn ? 1 ? ? ? ( ) n ?1 ? ? n ,? bn ? 1 ? n ?? n ? 1 ? n ?? an ? 2n ?1,(n ? N * ) n 2 2 2 2 2 2
解析:两边除以 2
n ?1



(4) an ?1 ?

n ?1 an , a1 ? 4 (累积法) n

解析:由 已知得

an ?1 n ? 1 a a n an?1 n ? 1 an?2 n ? 2 4 a 3 a 2 ? ,? n ? , ? , ? ,..., 4 ? , 3 ? , 2 ? an n an?1 n ? 1 an?2 n ? 2 an?3 n ? 3 a3 3 a2 2 a1 1 an an?1 an?2 a a a a n n ?1 n ? 2 4 3 2 ? ? ? ... ? 4 ? 3 ? 2 ? ? ? ? ... ? ? ? ?? n ? n,? an ? 4n an?1 an?2 an?3 a3 a2 a1 n ? 1 n ? 2 n ? 3 3 2 1 a1
2

以上各式相乘,得?

(5) a1 ? 3, an?1 ? 3an

(换元法)

解析:由已知 an?1 ? 3an 2 ?? log3 an?1 ? 1 ? 2log3 an ?? log3 an?1 ? 1 ? 2(log3 an ? 1)

?{log3 an ? 1}是以 2 为公比, 2 为首项的等比数列,
n ?1 n n 2 所以 log 3 an ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ,? log 3 an ? 2 ? 1,? an ? 3
n

?1

(n ? N * )

难点 2

数列与不等式的交汇

典例设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n

1 ? an?1 n

, 记 S n ? ? bk , 证明: Sn ? 1.
k ?1

n

解析: (Ⅰ)由已知, {

n ?1 1 1 1 (n ? N * ) } 是公差为 1 的等差数列,? ? ? (n ? 1) ?1 ? n ,? an ? n 1? a n 1? a n 1? a1

(Ⅱ) bn ?

1 ? an?1 n
n

1? ?

n n ?1 ? 1 ? 1 n n n ?1

Sn ? ? bk ? (
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ??? ( ? ) ? 1? ? 1. 1 2 2 3 n n ?1 n ?1

难点 3

数列与函数、方程的交汇

典例 1 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 3 ,前 3 项和 S3 ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

13 。 3

(Ⅱ)若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ?

?
6

处取得最大值,且最大值为 a3 ,求 f ( x ) 的解析式。

点评:本题考察等比数列的通项公式、三角函数的图象性质,考查运算求解能力,考查函数与方程思想。基础题。 解: (Ⅰ)由题有 a1 ? 3a1 ? 9a1 ? 13a1 ?

13 1 1 ?? a1 ? ?? an ? ? 3n ?1 ? 3n ? 2 ; 3 3 3

(Ⅱ)由(Ⅰ) a3 ? 3 ,故 A ? 3 ,又 2 ? 所以

?

f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 6
规避 4 个易失分点

?

6

?? ?

?

2

?? ?

?

6



易失分点 1 忽略 an ? Sn ? Sn ?1 成立的条件 典例 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , 2an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) (1)证明 {

1 } 是等差数列,并求出公差 Sn

(2)求数列 {an } 的通项公式

解析: (1)由已知, 2( Sn ? Sn ?1 ) ? Sn ? Sn ?1 ??

1 1 1 1 1 ? ? ? ,所以 { } 是等差数列,且公差为 ? 2 Sn Sn Sn?1 2

(2)

1 1 1 5 ? 3n 6 ? ? (n ? 1) ? (? ) ? ?? Sn ? Sn 3 2 6 5 ? 3n
18 18 9 ? 与 a1 ? 3 不符 ,验证 a1 ? (3n ? 5)(3n ? 8) (3 ? 5)(3 ? 8) 5

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

n ?1 ?3, ? 故 an ? ? 18 ? (3n ? 5)(3n ? 8) , n ? 2 ?
易失分点 2 数列求和中包含的项数不清 典例 设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ... ? 23n?10 , n ? N ,则 f ( n) 等于( )

2 n ?3 (8 ? 1) 7 解析:容易错选 A,其实仔细观察会发现 n ? N ,有 n ? 4 项,故选 D
A. B. C.
易失分点 3 数列中的最值求解不当 典例 已知数列 {an } 满足 a1 ? 33, an?1 ? an ? 2n, 则

2 n (8 ? 1) 7

2 n ?1 (8 ? 1) 7

D.

2 n?4 (8 ? 1) 7

an 的最小值为___ ________ n

解析:由已知得 an ? an?1 ? 2(n ?1), an?1 ? an?2 ? 2(n ? 2),..., a3 ? a2 ? 2 ? 2, a2 ? a1 ? 2 ?1, 以上各式相加得

an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? 3 ? ... ? (n ? 1)] ? 2 ?
令 f ( x) ? x ?

a (n ? 1)(1 ? n ? 1) 33 ? n(n ? 1),? an ? n 2 ? n ? 33 ,? n ? n ? ? 1 2 n n

33 ? 1, x ? 0 ,由对钩函数或者求导可以知道 f ( x) 在 (0, 33) 上递减,在 ( 33, ??) 上递增 x a 53 21 21 * ? f (6) ? 又 n ? N ,所以 n ? 5, n ? 6 时可能取到最小值,而 f (5) ? ,故 n 的最小值为 5 2 n 2
易失分点 4 使用错位相减法求和时对项数处理不当 典例 数列 {an } 是等差数列,a1 ? f ( x ? 1), a2 ? 0, a3 ? f ( x ?1) ,其中 f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 , 数列 {an } 前 n 项和存在 最小值. (1)求通项公式 an ; (2)若 bn ? ( 2) n ,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Sn
a

解: (1)∵ f ( x) ? x ? 4x ? 2
2

∴ a1 ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 2 ? x2 ? 2x ?1

a3 ? f ( x ?1) ? ( x ?1)2 ? 4( x ?1) ? 2 ? x2 ? 6x ? 7 ????????????2 分
又数列 {an } 是等差数列, a2 ? 0 ∴ a1 ? a3 ? 2a2 ? 0 ∴( x ? 2 x ? 1 )+( x ? 6 x ? 7 )= 2 x ? 4 x ? 6 ? 0
2 2 2

解之得: x ? 1 或 x ? 3

???????4 分

当 x ? 1 时, a1 ? ?2 ,此时公差 d ? 2 , 当 x ? 3 时, a1 ? 2 ,公差 d ? ?2 ,此时数列 {an } 前 n 项和不存在最小值,故舍去。 ∴ an ? ?2 ? 2(n ?1) ? 2n ? 4 (2)由(1)知 bn ? ( 2)
an

?????6 分 ????? ???8 分

? 2n?2 , an ? bn ? (2n ? 4) ? 2n?2 ? (n ? 2) ? 2n?1

∴ Sn ? ?1 ? 0 ? 2 ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ? 2) ? 2n?1 (点评:此处有一项为 0,但是必须写上,否则会引起混乱)

2Sn ? ?2 ? 0 ? 22 ?1? 23 ? 2 ? 24 ? ?? (n ? 3) ? 2n?1 ? (n ? 2) ? 2n?1
?? Sn ? ?1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ? (n ? 2) ? 2n ? ?1 ? 2(1 ? 2n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2n ? ?3 ? (3 ? n) ? 2n 1? 2

???10 分(点评:不能打乱原有的结构)

2(1 ? 2n?1 ) ? (n ? 2) ? 2n 1? 2

? ?1 ?

?Sn ? 3 ? (n ? 3) ? 2n ????12 分


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