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立体几何之向量解法

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立体几何之向量解法 1.空间中垂直的向量求法 1.1.直线与直线平行的问题 用向量的方法证明直线与直线的平行就是转化为证明直线的方向向量之间的平行,设向量

a, b 分别为直线 a, b 的一个方向向量,则 a // b ? a ? ?b, 。
1.2 直线与平面平行的问题 证明直线与平面的平行可用向量的方法转化为证明直线

的一个方向向量与平面的一个法向 量垂直。设向量 a 为直线 a 的一个方向向量, n 是平面 ? 的一个法向量,则

a // ? ? a ? n ? a ? n ? 0
1.3.平面与平面平行的问题 用向量的方法证明平面与平面的垂直就是证明平面的法向量之间的垂直。 n1 ,n2 分别是平面 设

? , ? 的法向量则 ? // ? ? n1 // n2 ? n1 ? ? n2 。
例 1 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ BAC=90° ,AB=AC=AA1=1, 延长 A1C1 至点 P,使 C1P=A1C1,连接 AP 交棱 CC1 于 D. (Ⅰ )求证:PB1∥ 平面 BDA1; 2.空间中垂直的向量求法 2.1 直线与直线垂直的问题 用向量的方法证明直线与直线的垂直就是转化为证明直线的方向向量之间的垂直,设向量

a, b 分别为直线 a, b 的一个方向向量,则 a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 。
例 2、 (2006 年高考题)如图 1,l1 、l 2 是互相垂直的异面直线,M N 是它们的公垂线,点 A 、
B 在 l1 上, C 在 l 2 上, AM ? MB ? MN 。证明: AC ? NB 。
l2 C l1 A N

2.2 直线与平面垂直的问题 证明直线与平面的垂直可用向量的方法转化为证明直线的一个方向 向量与平面的一个法向量平行。设向量 a 为直线 a 的一个方向向量,

M

n 是平面 ? 的一个法向量,则 a ? ? ? a // n ? a ? ? n, n 是平面 ? 的法向量。
例 3、 如图 2,在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别是 CC1 、
A1

B D1 B1

c1

E

BD 的中点,求证: A1 F ? 平面 BDE 。
2.3.平面与平面垂直的问题
D A F B C

y

用向量的方法证明平面与平面的垂直就是证明平面的法向量之间的垂直。设 n1 ,n2 分别是平 面 ? , ? 的法向量则 ? ? ? ? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0 。 例 4 、 三 棱 锥 被 平 行 于 底 面 ABC 的 平 面 所 截 得 的 几 何 体 如 图 3 所 示 , 截 面 为

A1 B1C1 , ?BAC ? 90?, AA1 ? 面 ABC , AA1 ? 3, AB ? 2, AC ? 2, A1C1 ? 1,
BD 1 ? 。求证:平面 A1 AD ⊥平面 BCC1 B1 DC 2. 3. 空间中距离的向量求法 3.1 异面直线的距离

A _1 B _1 C _1

A _ B _ D _ C _

异面直线间的距离用向量的方法求解只需记住一个公式即可:设 a, b 为异面直线,则 a, b 间 的距离为: d ?

| BA ? n | n

,其中 n 与 a, b 均垂直, A, B 分别为两异面直线上的任意两点。

D _1

C _1 B _1

例 5、如图 4,在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 P 在棱 CC1 上,且 CC1 ? 4CP 。求异面直线 AP 与 D1 B 的距离。 3.2.点到平面的距离 点到平面的距离用向量的方法求解同样也只需记住一个公式即可: 已知点 A 是平面 ? 外的一个点,点 B 是平面 ? 内的一个点,

A _1

P _ D _ C _ A _ B _ C _1

n 为平面 ? 的法向量,则 A 到平面 ?

d? 的距离:

| BA ? n | n
A _1 B _1

例6、如上图4,在棱长为4的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 P 在棱 CC1 上,且 CC1 ? 4CP 。求 P 到平面 ABD 的距离。 1 4.空间中夹角的向量求法 4.1. 异面直线夹角的向量求法
A _ B _ D _ C _

P _

异面直线之间夹角的计算可以转化为异面直线间方向向量的夹角的计算,设异面直线 m, n 所 成的角为 ? ,则 ? 等于 m, n 的方向向量 a, b 所成的角或其补角的大小,则 cos ? ? 4.2. 直线与平面所成的角 直线 l 与平面 ? 成角 ? , a 是直线 l 的方向向量, b 是平面 ? 的一个法向量,则
sin ? ?| cos ? a, b ?|?| a?b |a|?|b| |。 | a?b | |a|?|b|



4.3.平面与平面所成的角 平面与平面间夹角的计算可以转化平面法向量间夹角的计算,设平面 ? 与平面 ? 所成的角 为 ? ,则 ? 等于平面 ? 与平面 ? 的法向量 a, b 所成的角或其补角的大小,则 cos ? a,b ??
| a?b | |a|?|b|


F _ C _1

? = ? a,b ? 或 ? = ? - ? a,b ? 。
例 7、如图 5,在棱长为 a 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,
E, F 分别是 BC 、 A1 D1 的中点,
B _1

A _1

D _1

A _

(Ⅰ)求直线 A1C 与 DE 所成角;
B _

D _

Ⅱ)求直线 AD 与平面 B1 EDF 成的角, Ⅲ)求平面 EDF 与平面 ABCD 所成的角。

E _

C _

1

例 1 以 A1 为原点,A1B1,A1C1,A1A 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 A1- B1C1A,则 A1 (0,0,0) , B1 (1,0,0) , C1 (0,1,0) , B (1, 0,1) , P(0, 2,0) .
???? ???? ? ???? 1 . A1B ? 1 ∴ ,A1D ? (0,1, x) ,B1P ? (?1,2,0) . 0 ,( ) 2 ???? ? n1 ? A1 B ? a ? c ? 0, 1 ? 设平面 BA1D 的一个法向量为 n1 ? (a, b, c) , ? ???? 则 令 c ? ?1 , n1 ?1() ? . 则 , ,1 ? 1 2 ? n1 ? A1 D ? b ? c ? 0. ? 2 ???? 1 ∵ n1 ? B1P ? 1? (?1) ? ? 2 ? (?1) ? 0 ? 0 ,∴PB1∥ 平面 BA1D, 2

(Ⅰ 在△PAA1 中有 C1D ? AA1 , D0 ) ) 即 1 ( ,

1 2

例 2 证 明 : 建 立 如 图 1 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 M ? xyz , 令 MN ? 1 , 则 有

A?? 1,0,0?, B?1,0,0?, N ?0,1,0? 。
∵ MN 是 l1 与 l 2 的公垂线, l1 ? l 2 ,∴ l 2 ⊥平面 ABN , ∴ l 2 ∥ z 轴。故可设 C ?0,1, m? ,于是 AC ? ?1,1, m?, NB ? ?1,?1,0? 。 ∵ AC ? NB ? 1 ? ?? 1? ? 0 ? 0 , ∴ AC ? NB 。

z l2 C l1 A N M B y

例 3、证明: (方法一)如图 2,取 DA, DC, DD1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立 直角坐标系,设正方体的棱长为 2 ,则 A?2,0,0?, B?2,2,0?, A1 ?2,0,2?, E?0,2,1?, F ?1,1,0?,

x

A1F ? ??1,1,?2?, DB ? ?2,2,0?, DE ? ?0,2,1? 设 n ? ?x, y, z ? 为平面 BDE 的法向量,则
?n ? DB ? 0 ?2 x ? 2 y ? 0 ? , ?? ? ?n ? DE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?
取 x ? 1 则 y ? ?1, z ? 2 , ∴ A1 F ? 平面 BDE 。 例 4 证明:如图建立空间直角坐标系,则 A?0,0,0?, B 2 ,0,0 , ∴ n ? ?1,?1,2? ,∴ A1 F ? ?n ,
D

z

D1 A1 B1

B1

E y

C F B

?

?

x

A

C?0,2,0?, A1 0,0, 3 , C1 0,1, 3


?

? ?

?
∴ BD ?
2 2 2 1 BC ,∴ D 点的坐标为( 。 , ,0 ) 3 3 3
B _1 z _ A _1 C _1

BD 1 ? , BC ? (? 2,2,0) DC 2

2 2 2 ∴ AD ? ( , ,0 ), AA1 ? 0,0, 3 , CC1 ? (0,?1, 3) 。 3 3

?

?

设 n1 ? ?x, y, z ?是平面 AA1 D 的法向量,则
2 ?n1 ? AD ? 0 ? 2 2 ? x? y?0 ? ?? 3 ? ,取 x ? 1, 则 y ? ? 2, z ? 0 ,∴ n1 ? ? ,? 2 ,0?。 1 3 ?n1 ? AA1 ? 0 ? ? ? 3z ? 0
x _ B _

A _ C _ D _ y _

设 n2 ? ?x, y, z ? 是平面 BCC1 B1 的法向量,则:

?n2 ? BC ? 0 ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? 3 ? ?? ,取 y ? 1 则 x ? 2 , z ? , ? 3 ?n2 ? CC1 ? 0 ?? y ? 3z ? 0 ? ?
∴ n2 ? ( 2 ,1,
3 )。∴ n1 ? n2 ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ n1 ? n2 ,∴平面 A1 AD ⊥平面 BCC1 B1 。 3

2

例5、解:如图建立空间坐标系,依题意有 A?4,0,0?, B?4,4,0?, P?0,4,1?, D1 ?0,0,4? 。 设 n ? ?x, y, z ? 为 AP 与 BD1 的公垂线的一个方向向量, AP ? (?4,4,1), D1 B ? (4,4,?4) , AB ? (0,4,0) 。 则

?n ? AP ? 0 ?? 4 x ? 4 y ? z ? 0 ? ?? ? 取 y ? 3 ,则 x ? 5, z ? 8 , ?n ? D1B ? 0 ?4 x ? 4 y ? 4 z ? 0 ?
∴ n ? ?5,3,8? 。则异面直线 AP 与 D1 B 的距离为 d ?
| AB ? n | n ? 6 2 。 7
A _1

z _ D _1 B _1 C _1

例6、解:如图建立空间坐标系,依题意有

P _ D _ C _ A _ x _ B _ y _

A?4,0,0?, B?4,4,0?, P?0,4,1?, D1 ?0,0,4? 。

AB ? (0,4,0) , AD1 ? (?4,0,4) , AP ? (?4,4,1) 设平面 ABD1 的一个法向量为 m ? ?1, y, z ?, 则

?m ? AB ? 0 ?4 y ? 0 ?y ? 0 ? ?? ?? ? m ? ?1,0,1? 。则点 P 到平面 ABD1 的距离为 ? ? 4x ? 4z ? 0 ?z ? 1 ?m ? AD1 ? 0 ? ?
d? | AP ? m | |m| ? 3 2 2

? a ? 例 7、解: (1)如图建立坐标系,则 A1 ?0,0, a ?, C ?a, a,0?, D?0, a,0?, E? a, ,0 ? , B1 (a,0, a) 。 ? 2 ?
z _

| A1C ? DE | 15 a ? ? ? ∴ A1C ? ?a, a,?a ?, DE ? ? a,? ,0 ? ,∴ cos ? A1C , DE ?? , 2 ? ? | A1C | ? | DE | 15

A _1

F _ C _1

D _1

15 故 A1C 与 DE 所成的角为 arccos 。 15

B _1

图5

(2)先求平面 B1 EDF 的法向量。设 n ? ?1, y, z ? ,

A _ B _ x _ E _ C _

D _

y _

?n ? ED ? 0 ?y ? 2 ? a ? a ? ? ? ?? 由 ED ? ? ? a, ,0 ?, EB1 ? ? 0,? , a ? ,∴ ? , 2 ? 2 ? ? ? ?n ? EB1 ? 0 ? z ? 1 ?
i o s ∴ n ? ?1,2,1? 。 DA ? ?0,?a,0? , n ? ?| c 又 ∴s ? n, DA ?|?| n ? DA

| n | ? | DA |

|?

3 。 AD 与平面 B1 EDF 故 3

所成角为 arcsin

3 。 3

? a ? (3) ∵ A?0,0,0?, D?0, a,0?, A1 ?0,0, a ?, B1 ?a,0, a ?, E? a, ,0 ? ? 2 ?

, ∴ 平 面 ABCD 的 法 向 量 为
| n ? A1 A | | n | ? | A1 A | 6 。 6

A1 A ? (0,0, a) 。又(2)知平面 B1 EDF 的法向量 n ? ?1,2,1? ,∴ cos ? n, A1 A ??
6 。 6

?

所以平面 B1 EDF 与平面 ABCD 所成的角为 arccos

3


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