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1.3.2函数的奇偶性(2)

时间:2014-09-01


1.3.2 函数的奇偶性(2)
【学习导航】

2. 定义在 ? ?1,1? 上的奇函数 f ? x ? ? 数m? ,n ? ;

x?m , 则常 x ? nx ? 1
2

学习要求
1.熟练掌握判断函数奇偶性的方法; 2.熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质; 3.能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问 题.

3.函数 f ( x ) 是定义在 ( ?1,1) 上的奇函数,且为增函 数,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,求实数 a 的范围。

【精典范例】
例 1:已知 y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是 增函数,且 f(x)<0,试问:F(x)=

1 在(-∞, f ( x)

0)上是增函数还是减函数?证明你的结论

追踪训练
1.已知 y ? f ( x) 是偶函数,其图象与 x 轴共有四个交 点,则方程 f ( x) ? 0 的所有实数解的和是( A.4 B.2 C.0 D.不能确定 )

例 2. 已知 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数, 当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 x<0 时,f(x)的解析式.

2. 定义在(-∞, +∞)上的函数满足 f(-x)=f(x)且 f(x)在(0, +∞)上,则不等式 f(a)<f(b)等价于( ) A.a<b B.a>b C.|a|<|b| D.0≤a<b 或 a>b≥0 3. f ( x ) 是奇函数, 它在区间 [m,n](其中 m ? n ? 0 )

? m] 上( 上为增函数,则它在区间 [?n,
A.是减函数且有最大值 ? f ( m) B.是减函数且有最小值 ? f ( m) 例 3.定义在(-2,2)上的奇函数 f ( x) 在整 个定义域上是减函数,若 f(m-1)+f(2m-1)>0, 求实数 m 的取值范围. C.是增函数且有最小值 ? f ( m) D.是增函数且有最大值 ? f ( m)



4 已知函数 ax7+6x5+cx3+dx+8 ,且 f( - 5)= - 15 ,则 f(5)= . 5.定义在实数集上的函数 f(x),对任意 x,y ? R ,有

f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) 且 f (0) ? 0 。 (1)求证 f (0) ? 1 ; (2)求证: y ? f ( x) 是偶函数。

追踪训练一 1.设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)
上是减函数,则 f(- 的大小关系是( A.f(-

3 )与 f(a2-a+1)( a ? R ) 4


3 3 )<f(a2-a+1) B.f(- )≥f(a2-a+1) 4 4 3 C.f(- )>f(a2-a+1) D.与 a 的取值无关 4
1.3.2 函数的奇偶性(2) 1

1.3.2 函数的奇偶性(2)
1.已知定义域为 R 的偶函数 y=f(x)的一个单调 区间是(2,6),则函数 y=f(2-x)的( )

x∈ [-6,-2] 时,f(x) 的表达式.

A.对称轴为 x=-2,且一个单调区间是(4,8) B.对称轴为 x=-2,且一个单调区间是(0,4) C.对称轴为 x = 2, 且一个单调区间是(4,8) D.对称轴为 x = 2, 且一个单调区间是(0,4) 2.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞) 上是减函数,若 x1<0 且 x1+x2>0,则( A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2) C.f(-x1)<f(-x2) D.f(-x1)与 f(-x2)大小不确定 3.函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的定义域相同, 且对定义域中任何 x 有 f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0 , 9.已知函数 f(x)=x+ ⑴求 m; ⑵判断 f(x)的奇偶性; ⑶函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数? 并证明. ) 8.设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,且对任何 x1, x2∈ R 满足 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) ,求证 f(0)=0, 且 f(x)是奇函数.

m ,且 f(1)=2. x

g ? ?x ? g ? x ? ? 1 ,若 g ? x ? ? 1 的解集是 ?0? ,
则函数 F ? x ? ? A.奇函数 C.既奇又偶函数

2 f ? x? ? f ? x ? 是( g ? x ? ?1
D.偶函数



B.非奇非偶函数

4.奇函数 f(x)在区间[-b,-a]上单调递减且 f(x)>0(0<a<b),那么|f(x)|在区间[a,b]上是( A.单调递减 C.不增不减 B.单调递增 D.无法判断单调性 )

5.构造一个满足下面三个条件的函数实例, ① 函数在 (??,?1) 上递减;② 函数具有奇偶性; ③ 函数有最小值; .

6. 若( f x) 是偶函数, 其定义域为 R 且在 [0, ??) 上是减函数,则 f(-

3 2 )与 f (a ?a ?1) 的大 4

小关系是_____________. 7.设 f(x) 是定义在 R 上的偶函数, 且图象关于 x=2 对称, 己知 x∈ [-2,2] 时, f(x) =-x2+1, 求
1.3.2 函数的奇偶性(2) 2


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