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高中数学必修五2.2等差数列

时间:2014-03-10


第23届到第28届奥运会举行的年份依次为: 1984 1988 1992 1996 2000 2004 得到数列:1984,1988,1992 1996,2000,2004

姚明刚进NBA一周训练罚球的个数:
第一天:6000, 第二天:6500, 第三天:7000, 第四天:7500, 第五天:8000, 第六天:8500, 第七天:9000

.

得到数列: 6000,6500,7000,7500, 8000,8500,9000

耐克运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是cm)

1 22 ,23, 2 1 24 ,25, 2

1 ,24, 23 2

1 ,26 25 2

观察归纳
奥运会举行年份的数列: 1884,1988,1992,1996,2000,2004 姚明罚球个数的数列: 6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000 运动鞋尺码的数列:

观察:以上数列有什么共同特点?

1 1 1 1 , 23 , , 24 , 22 23 24 ,25,25 ,26 2 2 2 2

从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。

一、等差数列定义
第2项起,每一项与它 项起 一般地,如果一个数列从第 同一个常数 的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常 用字母d表示。

an?1 ? an ? d 或an ? an ?1 ? d
? n ? 2?

an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2)

练一练 判断下列数列是否为等差数列;如果是,求出公差

1、数列4,7,10,13,16,…. 公差是3
2、数列6,4,2,0,-2,-4; 3、数列 1,1,1,1,1; 公差是-2 公差是0

4、数列 -3,-2,-1,1,2,3 ; 不是

公差d是每一项(第2项起)与它的前一 项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且 公差可以是正数,负数,也可以为0.

思考:数列的公差与该数列的类型有关系吗?

设等差数列{an}的公差为d,当d>0, d<0,d=0时,数列{an}的特点: d>0时,{an}是递增数列; d<0时,{an}是递减数列; d=0时,{an}是常数列.

二、等差数列通项公式
如果一个数列

a1 , a2 , a3 , …,an , …,

是等差数列,它的公差是d,那么

a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d a5 ? a4 ? d ? (a1 ? 3d ) ? d ? a1 ? 4d
由此可知,等差数列

? ? ?? ?a ?
n

的通项公式为

an ? a1 ? (n ?1)d

当d≠0时,这是 关于n的一个一 次函数。

分析2:根据等差数列的定义:

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d

( 1 )
(2)

(3 )
(n ? 1 )
*

an ? an?1 ? d

将上面 n ? 1 个等式相加得:

an ? a1 ? (n ? 1)d ,n ? N
由此得到:

叠加法

an ? a1 ? (n ?1)d.

(通项公式)

结论:若一个等差数列{an},它的首项为 公差是 1 d,那么这个数列的通项公式是:



a

an ? a1 ? (n ?1)d
a 1、d 、n 、a n中

知三求一

在等差数列{an}中, 1)已知a1=2,d=3,n=10,求an 解:a10=a1+9d=2+9×3=29 2)已知a1=3,an=21,d=2,求n 解:21=3+(n-1)×2 3)已知a1=12,a6=27,求d 解:a6=a1+5d,即27=12+5d d=3 n=10

练 一 练

例题 例1 (1)求等差数列8,5,2,?的第20项; (2)判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13?的项? 如果是,是第几项,如果不是,说明理由。 分析(1)由给出的等 解:(1)由题意得: 差数列前三项,先找 a1=8,d=5-8=-3,n=20 到首项a1,求出公差d, ∴这个数列的通项公式是: an=a1+(n-1)d=-3n+11 写出通项公式,就可 以求出第20项a20. ∴a20=11-3×20=-49

分析(2)要想判断 -401是否为这个数列 中的项,关键是要求 出通项公式,看是否 存在正整数n,使得 an=-401。

(2)由题意得: a1=-5,d=-9-(-5)=-4 ∴这个数列的通项公式是: an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100 ∴-401是这个数列的第100项。

练习 (1)求等差数列3,7,11?的第4项与第10项; (2)判断100是不是等差数列`2,9,16,?的项? 如果是,是第几项,如果不是,说明理由。
(2)由题意得: a1=2,d=9-2=16-9=7 a1=3,d=7-3=11-7=4, ∴这个数列的通项公式是: an=2+ (n-1) × 7 ∴这个数列的通项公式是: an=a1+(n-1)d=4n-1 =7n-5(n≥1) ∴a4=4×4-1=15, 令100=7n-5,得 n=15 a10=4×10-1=39. ∴100是这个数列的第15项。 解:(1)根据题意得:

例2:在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1 与公差d。 an ? a1 ? (n ?1)d

解:由题意可知

?

a1 ? 4 d ?10 a1 ?11d ? 31

这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组, 解这个方程组,得

?

a1 ? ? 2 d ?3

即这个等差数列的首项是-2,公差是3。 例2有没有另一种解法?

二、等差数列通项公式

知识延伸:

am ? a1 ? (m ? 1)d a1 ? am ? (m ? 1)d

an ?

a1 ? (n ? 1)d
d

= am ? (m ?1)d ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 即得第二通项公式

an ? am ? (n ? m)d
例.a10=a5+ d, a32=a99+

∴ d=
d.

am ? an m?n

例3 某市出租车计价标准为1.2元/km,起步价为10 元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某 人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路 畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?

实际问题

数学模型
等差数列: a1=11.2 d=1.2 n=?

11.2

12.4 13.6

0

4

5

6

7

课堂小结:
一个 定义

an ? an?1 ? d , (n ? 2)
累加法

一个 方法
一个 公式 一个 思想

an ? a1 ? (n ?1)d
知三求一的方程思想

课堂小结:
? . ? ? 等差数列 ?公差 — d =an+1-an ?通项 — an=a1+(n-1)d ? ? ?几何意义 — 等差数列各项对应的点都
在同一条直线上. 【说明】 AAA①数列{ an }为等差数列? an+1-an=d 或an+1=an+d AAAAAAAAAAAAA 如果一个数列从第2项起,每一项与 ?定义 — 它前一项的差 等于同一个常数 . . . . ..

②公差是 唯一 的常数。

三、等差中项

提问:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A b成等差数列,那么A应满足什么条件? 因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由 定义可以知道: A – a = b - A
a?b 即 A? 例如 (1) 2, 5 ,8 2
(2) 3 ? 1, 3 , 3 ? 1

等差中项
如果a,A,b组成了一个等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项

例3 求一下各题中两数的等差中项: (1)32与66 ; (2)(a+b)2与(a-b)2

解: (1)

32与66的等差中项为 (32+66)?2=49

(2) (a+b)2与(a-b)2的等差中项为 [(a+b)2+(a-b)2] ?2=a2+b2

例4. 已知三角形ABC的三个角A、B、C成等差 数列,求角B.

解:根据三角形内角和定理知 A+B+C=π 又A、B、C成等差数列 A+C=2B 所以 A+B+C=A+C+B=2B+B=3B 3B=π 即 B=π/3 (或600)

四、证明一个数列为等差数列
例5.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p、q为常数且 p≠0,判断这个数列是不是等差数列,并证明你的判断. 解:数列{an} 是一个等差数列 证:取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1 (n≥2) ,则

an ? an?1 ? ( pn ? q ) ? [ p(n ? 1) ? q ] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q )

?p

∵p是一个与n无关的常数 ∴{an}是一个等差数列 1.证明数列{an}是等差数列的方法: 证明:an+1-an= 常数. 2.数列{an}是等差数列 an=p n + q (p、q是常数)

如何判断一个数列为等差数列
(1)定义法:a n ? a n ?1 ? d(常数)(n ? 1) ? {a n }为等差数列 (2)递推法: 2a n ?1 ? a n ? a n ?2 (常数)(n ? 1) ? {a n }为等差数列 (3)通项法:a n为n的一次函数 ? {a n }为等差数列
练习: (1) 已知数列{an}是等差数列, 求证:数列{an+an+1} 也是等差数列.

(2)证明:若数列 ?an ? 与 ?bn ? 是等差数列,

?an ? bn ? 是等差数列.

五、等差数列的通项与一次函数关系

(1)在直角坐标系中,画出通项公式为an=2n4的数列的图象.这个图象有什么特点? (2)在同一直角坐标系中,画出函数y=2x-4 的图象.你发现了什么?据此说一说等差数列 an=pn+q的图象与一次函数y=px+q的图象之间有 什么关系.

等差数列的通项与一次函数关系
(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…

y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0

an




an=2n-4的图象是一 系列孤立的点 y=2x-4的图象是一 条连续的直线 an=2n-4的图象在函数 y=2x-4的图象上







1 2 3 4




5 6 7 8 9

10

n x

-2

结论:

1) 如果一个数列的通项公式是关于正整数n的 一次函数,那么这个数列一定是等差数列.

2) an=pn+q的图象其实就是一次函数y=px+q当 x在正整数范围内取值时相应的点的集合,斜率p 是等差数列的公差.

六、求公差范围

1.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果 前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是 多少? 解:由题意得, a6=a1+5d>0 a7=a1+6d<0 ∴-23/5<d<-23/6 ∵d∈Z ∴d=-4 2.已知等差数列{an}的首项为30,这个数列从 第12项起为负数,求公差d的范围。 解:a12=30+11d<0 a11=30+10d≥0 ∴ -3≤d<-30/11 即公差d的范围为:-3≤d<-30/11

七、等差数列的性质 1. {an}为等差数列 ? an+1- an=d ? ? an= a1+(n-1) d an+1=an+d

? an= kn + b (k、b为常数)

2. a、b、c成等差数列 ? b为a、c 的等差中项AA ?
a?c b? 2

?

2b= a+c

【说明】 3.更一般的情形,an=

an ? am am+(n - m) d ,d= n?m

七、等差数列的性质

4.在等差数列?an ?中,m , n, p, q ? N ? , 若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq

特别地,若m ? n ? 2 p,则am ? an ? 2a p

推论:a1 + an = a2 + an-1 =a3 + an-2 =

?

例 6 在等差数列{an}中:
1 (1)已知 a3 ? a9 ? 2 ,求

a6
1 ∴ a6 ? 4

解:∵

1 a3 ? a9 ? 2a6 ? 2

(2) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20 解:由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12

及 a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10

七、等差数列的性质 5.等差数列{an}每隔一定距离抽取一项所组成的数列 仍成等差数列. 例如: a1、 a3 、 a5 、 a7 、 …仍成 等差数列, a7 、 a14 、 a21 、…. 、 a7m 、…仍成等 差数列

b 为常数)仍成等差数列 6.数列 ??an ? b? ( ? ,
7.

?an ? 和 ?bn? 均为等差数列,则 ?an ? bn ?也成等差数列

八、等差数列通项的设法 (1)通项法:设数列的通项公式, 即设an=a1+(n-1)d

例7

已知四个数成等差数列,它们的和为26,

中间两项的积为40,求这四个数.

法一:设此等差数列的首项为 a1,公差为 d,根据题 ? ?a1+?a1+d?+?a1+2d?+?a1+3d?=26, 意,得? ? ??a1+d??a1+2d?=40,
? ?4a1+6d=26, 化简,得? 2 2 ? a + 3 a d + 2 d =40, ? 1 1 ? ?a1=2, 解得? ? ?d=3, ? ?a1=11, 或? ? ?d=-3,

∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

法二:设这四个数分别为 a-3d,a-d,a+d,a+3d, 根据题意, ? ??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, 得? ? ??a-d??a+d?=40, ? 13 ? ?a= 2 , ?4a=26, 化简,得? 2 2 解得? 3 ? a - d = 40 , ? ? d=± . 2 ? ∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

八、等差数列通项的设法 (2)“对称设项”法 对于项数有限的等差数列,用“对称设项”的方法来设 项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时),

三个数的“对称设项”是a-d, a , a +d;
四个数则是a -3d, a -d, a +d,a +3d ; 五个数是a -2d, a -d, a , a +d, a +2d等等.

练习.三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数的积 也为12,求此三数. 解:设这三个数分别为a-d,a,a+d 则 (a-d)+a+(a+d)=12,即3a=12

∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12,即(4-d)(4+d)=12 解得 d=±2 ∴当d=2时,这三个数分别为2,4,6 当d=-2时,这三个数分别为6,4,2

小结
1. 等差中项
2. 证明等差数列的方法 3. 等差数列的通项与一次函数关系 4. 等差数列的通项公式及相关计算 5. 等差数列的性质 6. “对称设项”法


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