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2013年咸阳市高考模拟考试试题(一)理科数学


2013 年咸阳市高考模拟考试试题(一)

理科数学答案及评分参考
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解 法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部

分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解 答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。

第 I 卷(选择题
题目要求的。

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

1.D

2.C

3. C

4..C

5.A

6.A

7.C

8.A

9.A

10.B

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. (??, ? 3] 12.

35 6 x 8

13.

4 3

14.10.

15. A.

5 2

B. (1, ??)

C.

48 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为 b2+c2-a2=bc, 由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得 cosA=

1 .-------------------------------------3 分 2

∵ 0<A<π , (或写成 A 是三角形内角) ∴A?

? . 3

????????6 分

(Ⅱ) f ( x) ?

x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2
理科数学第 1 页 共 5 页

? 1 ? sin( x ? ) ? , ??9 分 6 2 ? 2? ? ? 5? ) ∵A? ∴ B ? (0, ∴ ? B? ? (没讨论,扣 1 分) 3 3 6 6 6 ? ? ? 3 ∴当 B ? ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 . 2 6 2 3 ? ? 又∵ A ? , ∴C ? 3 3
∴△ABC 为等边三角形. 17(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55
w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

????12 分

① ②
2

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9 d ? 220

? d 2 ?4 ,又 d ? 0 ,?d ? 代入①得a1 2, ? an ?1 ?(n ?1 ) ? 2 ? n ? 1 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? 2n -1

?1
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

--------------6 分

bn ?

4 a
2 n ?1

4 1 1 1 ? ? ? 2 ) ? 1 (2n ? 1 ? 1 n?n ? 1? n n ? 1
=

1 1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) =1<1 n ?1 2 2 3 n n ?1 m m Tn ? ? 1 ? m ? 100 . 恒成立 ? 100 100

C1

? m 的最小值为 100.-------------------------12 分
18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连结 BC1,交 B1C 于 E,连结 DE. ∵ 直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点, ∴侧面 B B1C1C 为矩形,DE 为△ABC1 的中位线, ∴ DE// AC1. ∵DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1C D, ∴AC1∥平面 B1CD. -------------6 分 B C D B1

A1

A

(Ⅱ) ∵ AC⊥BC,∴如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz, 则 理科数学第 2 页 共 5 页

B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 4, 4),B1 (3, 0, 4), 设 D (a, b, 0)( a ? 0 , b ? 0 ) ,
]

∵点 D 在线段 AB 上,且 ∴a ?

??? 1 ??? ? ? BD 1 ? , 即 BD ? BA . AB 5 5

12 4 ,b ? . 5 5 ???? ??? ? ∴ B1C ? (?3,0, ?4) , BA ? (?3, 4,0) ,
??? ? 12 4 CD ? ( , , 0) . 5 5
平面 BCD 的法向量为 n ? ?0,0,1?
?

设平面 B1 CD 的法向量为

n2

=(x,y,z)

? ?3x ? 4 z ? 0 ???? ?? ? ??? ?? ? ? ? 由 B1C ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ?12 4 ? 5 x? 5 y ?0 ? ?? ? 4 4 令 z=1,得 x ? ? , y ? 4 , n2 ? ( ? , 4,1) . 3 3
? ?

设面 ABC 和面 B1CD 夹角为 ? , 则 cos? ?

n . n2
? ?

= 3

n n1
所以面 ABC 和面 B1CD 夹角的余弦值为

13

3 . ----------------------------12 分 13

1 2 , 去参加乙项目联欢的概率为 . 3 3 i 1 i 2 4 ?i 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲项目联欢”为事件 Ai , (i ? 0,1, 2,3, 4) ,则 P ( Ai ) ? C4 ( ) ( ) . 3 3 8 2 1 2 2 2 (Ⅰ)这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率 P( A2 ) ? C4 ( ) ( ) ? -------------------4 分 3 3 27
19. 解: 依题意, 4 个人中, 这 每个人去参加甲项目联欢的概率为 (Ⅱ) “这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数” 设 为事件 B ,B ? A3 ? A4 , 故 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ?
3 3 4 4

1 3

2 3

1 3

1 . 9
1 .-------------------8 分 9

∴这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为 ( III) ? 的所有可能取值为 0,2,4.

理科数学第 3 页 共 5 页

8 40 17 P(? ? 0 )? P (A ) , P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? , ? 2 27 81 81
所以 ? 的分布列是

?

0

2

4

P
E? ?

8 27

40 81

17 81

148 .-----------------------------------------------------------------------------------------------12 分 81

20.(本题满分 13 分) x2 y2 解: (I)设椭圆的标准方程是 2+ 2=1(a>b>0), a b 由于椭圆的一个顶点是 A(0, 2),故 b2=2. a2-b2 3 3 根据离心率是 得,e= = ,解得 a2=8. 2 a2 2 x2 y2 所以椭圆的标准方程是 + =1. 8 2 (II )设 P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0). ①若直线 l 与 y 轴重合,则 ..........6 分

| MP | PN

?

| MQ | NQ |

???

2- 2 2+ 2 = = ? ,解得 y0=1,得 λ= 2....7 2-y0 2+y0

分 ② 若直线 l 与 y 轴不重合,设直线 l 的方程为 y=kx+2, 与椭圆方程联立消去 y,得(1+4k2)x2+16kx+8=0, 16k 8 根据韦达定理得 x1+x2=- ,x x = .----------------------------------------------8 分 1+4k2 1 2 1+4k2
? ?



| MP |
?

?

| MQ |
?

| PN |

| NQ |

? ? ,得x -x =x -x ,
1 0 0 2

0-x1

0-x2

1 整理得 2x1x2=x0(x1+x2),把上面的等式代入得 x0=- . k

( 又点 N 在直线 y=kx+2 上,所以 y0=k - ) +2=1,于是有 1<y1< 2...........10 分
2-y1 1 1 λ= = -1,由 1<y1< 2,得 > 2+1, 所以 λ> 2. y1-1 y1-1 y1-1 综上所述 λ≥ 2. 21.(本题满分 14 分) 解 : (I)∵a=1, f ( x) ? ( x ? 2 x ? 1)e
2 x

1 k

......................................................... 13 分

理科数学第 4 页 共 5 页

∴ f ' ( x) ? (2 x ? 2)e x ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x =( x ? 1 ) e
2
x

????? 2 分

于是 f(0)=1, f ?(0) ? ?1 .所以曲线 y = f(x)在点 A(0,f(0) )处的切线方程为 y-1=-x, 即 x+y-1=0 -------------------------------4分

2 2 1 2 a ? 2 ax (II ) f ?( x) ? (2x ? )e ax ? ( x 2 ? x ? ) ? a ? e ax ? (2x ? ? ax2 ? 2x ? 1)eax ? (ax2 ? )e a a a a a
∵ a>0,e >0,∴ 只需讨论 ax2 ? ⅰ)当 a>2 时, ax2 ?
ax

a?2 >0,这时 f ′(x)>0,所以函数 f(x)在(-∞,+∞)上为增函 a

a?2 的符号. a

数. 2 2x ⅱ)当 a = 2 时,f ′(x)= 2x e ≥0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. ?????? 6 分
2?a , x2 ? a 当 x 变化时, f '(x)和 f(x)的变化情况如下表:

ⅲ)当 0<a<2 时,令 f ′(x)= 0,解得 x1 ? ?
2?a ) a 2?a a

2?a . a

x f ' (x) f(x)

(??,?

?

(?

2?a 2?a , ) a a

2?a a

(

2?a ,?? ) a

+ ↗

0 极大值

- ↘

0 极小值

+ ↗

∴ f(x)在 (??,?

2?a 2?a 2?a 2?a ) ,( ,?? ) 为增函数,f(x)在 (? , ) 为减函数. a a a a

------------------------------------( III) 当 a∈(1,2) 时,

9分

2?a 2?a 2?a ) 上是减函数,在 ( ,1) ∈(0,1) (2) f x)在 (0, .由 知 ( a a a

上是增函数,故当 x∈(0,1)时, f ( x) min ? f (

. 2 所以 f ( x) ? 2 当 x∈(0,1)时恒成立,等价于 (1 ? 2 ? a )e 2?a ? 1 恒成立. a 当 a∈(1,2)时, 2 ? a ? (0,1) ,设 g (t ) ? (1 ? t )et , t ? (0,1) ,则 g ?(t ) ? et ? et ? tet ? ?tet ? 0 ,
2?a

2?a 2 ) ? 2 (1 ? 2 ? a )e a a

2? a

表明 g(t) 在(0,1)上单调递减,于是可得 g (t ) ? (0,1) ,即 a∈(1,2)时 (1 ? 2 ? a )e 因此,符合条件的实数 a 不存在. --- ----- 14 分

? 1 恒成立,

理科数学第 5 页 共 5 页


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