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2008-2009-1计算方法试题(二本毕)


2008/2009 学年第 一 学期末考试试题
计算方法 使 用 班 级 : 06010341-2, 06010441-3 , 06010541-3 , 06010641-3 , 06010741-2,
06020441-4, 06040241-2, 06040541-3,07060541-2, 06060641-2, 06070641-2 总分 得分 一、填

空题(每空 3 分,共 30 分) 1、近似数 0.030 的绝对误差限为 ,有效数字为 位.

2、用对分法求解方程 f ( x) ? 0 在区间 [ a, b] 内的实根,已知使用对分法 n 次,用最后一 次所得区间的中点作为根的近似解,则产生的绝对误差不超过 3、方程 x ? cos x 的根为 (结果准确到小数点后第三位) . .

? 5.32 x1 ? 1.25 x2 ? 1.06 x3 ? 7.63 ? 4、用迭代法求解方程组 ? 2.08 x1 ? 6.53 x2 ? 1.89 x3 ? 10.50 ,应将方程组变形为 ? 1.56 x ? 2.51x ? 5.67 x ? 9.74 1 2 3 ?

,所构成的迭代公式一定收敛. 5、 f ( x ) 在 [ a, b] 内 n ? 1 阶可导,在 [ a, b] 内选取 n ? 1 个节点 x0 , x1 ,L , xn 构造均差插值 多项式 Nn ( x) ,则此公式的余项为 Rn ( x) ? 6、求解积分 为 7、柯特斯系数之和 . ,余项

?

b

a

f ( x) d x 的辛卜生公式为


?

n

Ck( n ) =

. ,则称这种方法是 k 阶方法.

k= 0

8、若某种微分方程数值解公式的截断误差为
第1页 共 6 页

得分

0.17 ?0.25 0.54 ? ? 1 ? ? 0.47 1 0.67 ?0.32 ? ? 二、 (本题满分 15 分)将矩阵 A ? 做 LU 分解,并由此 ? ?0.11 0.35 1 ?0.74 ? ? ? 1 ? ? 0.55 0.43 0.36
求 A.

第2页 共 6 页

得分
三、 (本题满分 12 分)已知数据如下

x
y

0 0.3346

1 0.3213

3 0.2978

5 0.2774

(1)按此数据构造均差表; (2)构造拉格朗日插值多项式 ?3 ( x) .

第3页 共 6 页

得分
四、 (本题满分 12 分)对于下列数据

x
y

1 2.7229

2 3.0204

3 3.3105

4 3.6000

5 3.8939

6 4.1836

7 4.4751

8 4.7673

用最小二乘法将以上数据拟合为一条直线.

第4页 共 6 页

得分
五、 (本题满分 12 分)将区间 [0,1] 平均分为 8 份,用复合梯形和复合辛卜生公式计算

? 1? x
0

1

1

2

dx.

得分
六、 (本题满分 12 分) 取步长 0.1, 在 [0, 0.4] 内用预报校正公式求解初值问题 ?

? y? ? x ? y . ? y(0) ? 1

第5页 共 6 页

得分
七、 (本题满分 7 分)设 l0 ( x), l1 ( x),L , ln ( x) 是以 x0 , x1 ,L , xn 为节点的拉格朗日基本插 值多项式,试证:

? x l ( x) ? x
i ?0 k i i

n

k

( k ? 0 , 1 ,L 2 ,n . , )

第6页 共 6 页

2008/2009 学年第一学期期末考试试题答案及评分标准
计算方法 使用班级:
06010341-2, 06010441-3 , 06010541-3 , 06010641-3 , 06010741-2, 06020441-4, 06040241-2, 06040541-3,07060541-2, 06060641-2, 06070641-2 一、填空题(每空 3 分,共 30 分) 1、0.0005 2、 2

b?a 2 n ?1

3、0.739

1.25 1.06 7.63 ? ? x1 ? ? 5.32 x2 ? 5.32 x3 ? 5.32 ? 2.08 1.89 10.50 ? x1 ? x3 ? 4、 ? x2 ? ? 或 6.53 6.53 6.53 ? 1.56 2.51 9.74 ? ? x3 ? ? 5.67 x1 ? 5.67 x2 ? 5.67 ?
5、

f ( n?1) (? ) f ( n?1) (? ) 或 ?n ( x) ( x ? x0 )( x ? x1 )?( x ? xn ) (n ? 1)! (n ? 1)!
b?a? a ?b ? ) ? f (b) ? ? f (a ) ? 4 f ( 6 ? 2 ?
? h5 ( 4 ) (b ? a)5 (4) f (? ) f (? ) 或 ? 2880 90

6、

7、1 8、 O(hk ?1 )

0.17 ?0.25 0.54 ? ? 1 ? ? 0.47 1 0.67 ?0.32 ? 二、 (本题满分 15 分)将矩阵 A ? ? 做 LU 分解,并由此 ? ?0.11 0.35 1 ?0.74 ? ? ? 1 ? ? 0.55 0.43 0.36
求 A.

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0.17 ?0.25 0.54 ? ? 1 0.17 ?0.25 0.54 ? ? 1 ? ? ? ? 0.47 1 0.67 ?0.32 ? ? 0.47 0.9201 0.7875 ?0.5738 ? 解: A ? ? ? ? ?0.11 0.35 1 ?0.74 ? ? ?0.11 0.4007 0.6569 ?0.4507 ? ? ? ? ? 1 ? ? 0.55 0.3657 0.3189 1.0566 ? ? 0.55 0.43 0.36
右边矩阵中除第一行元素外,其余元素每个元素 1 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

0 0 ? 1 ? 0.47 1 0 因此 L ? ? ? ?0.11 0.4007 1 ? ? 0.55 0.3657 0.3189

0? ?0.25 0.54 ? ? 1 0.17 ? ? ? 0? 0 0.9201 0.7875 ?0.5738 ? ? ,U ? ?0 0? 0 0.6569 ?0.4507 ? ? ? ? 1? 0 0 1.0566 ? ?0

可得 A ? 1? 0.9201? 0.6569 ?1.0566 ? 0.6386 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·15 分 三、 (本题满分 12 分)已知数据如下

x
y

0 0.3346

1 0.3213

3 0.2978

5 0.2774

(1)按此数据构造均差表; (2)构造拉格朗日插值多项式 ?3 ( x) . 解: (1)

x 0 1 3 5

y 0.3346

一阶 -0.0133

二阶

三阶

0.3213 -0.01175 0.2978 -0.0102 0.2774

0.0005167 -0.00002584 0.0003875

一阶、二阶、三阶均差每个数字 1 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (2) ?3 ( x) ?

( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) ( x ? x0 )( x ? x2 )( x ? x3 ) y0 ? y1 ( x0 ? x1 )( x0 ? x2 )( x0 ? x3 ) ( x1 ? x0 )( x1 ? x2 )( x1 ? x3 ) ( x ? x0 )( x ? x1 )( x ? x3 ) ( x ? x0 )( x ? x1 )( x ? x2 ) y2 ? ? y3 ( x2 ? x0 )( x2 ? x1 )( x2 ? x3 ) ( x3 ? x0 )( x3 ? x1 )( x3 ? x2 )
第2页 共 4 页

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

?

( x ? 1)( x ? 3)( x ? 5) ( x ? 0)( x ? 3)( x ? 5) ? 0.3346 ? ? 0.3213 ?15 8 ( x ? 0)( x ? 1)( x ? 5) ( x ? 0)( x ? 1)( x ? 3) ? ? 0.2978 ? ? 0.2774 · · · · · · 4分 ?12 40

? ?0.00002583x3 ? 0.00062 x2 ? 0.01389 x ? 0.3346 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
四、 (本题满分 12 分)对于下列数据

x
y

1 2.7229

2 3.0204

3 3.3105

4 3.6000

5 3.8939

6 4.1836

7 4.4751

8 4.7673

用最小二乘法将以上数据拟合为一条直线. 解: · · · · · · · 8分 ? xi ? 36, ? yi ? 29.9787, ? xi2 ? 204, ? xi yi ? 8.4437 ·
i ?0 i ?0 i ?0
i ?0

n

n

n

8

则正规方程组为: ?

? 8a0 ? 36a1 ? 29.9787 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ?36a0 ? 204a1 ? 147.1354

解得 a0 ? 2.4369, a1 ? 0.2913· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分

x· 则拟合直线为 y ? 2.4369? 0.2913 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·15 分
五、 (本题满分 12 分)将区间 [0,1] 平均分为 8 份,用复合梯形和复合辛卜生公式计算

? 1? x
0

1

1

2

dx.
h轾 y0 + 2 ( y1 + y2 + ? + y7 ) + y8 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2臌

解: T8 =

h · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 [y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 + ? + 4 y7 + y8 ]· 3 1 2 3 4 f (0) = 1 、 f ( ) = 0.9846 、 f ( ) = 0.9412 、 f ( ) = 0.8767 、 f ( ) = 0.8 、 8 8 8 8 5 6 7 f ( ) = 0.7191 、 f ( ) = 0.64 、 f ( ) = 0.5664 、 f (1) = 0.5 8 8 8 h轾 1 T8 = 臌 y0 + 2 ( y1 + y2 + ? + y7 ) + y8 = ? 12.556 0.78475 · · · · · · · · · · · ·10 分 2 16 S4 =
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S4 =

h 1 [y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 + ? + 4 y7 + y8 ]= ? 18.8496 3 24

0.7854

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 六、 (本题满分 12 分) 取步长 0.1, 在0 4 , [ ] 0 . 内用预报校正公式求解初值问题 ?

? y? ? x ? y . ? y(0) ? 1

(0) ì ? yn + 1 = yn + hf ( xn , yn ) ? ? 解:预报校正公式为 í · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 h (0) ? yn+ 1 = yn + 轾 f ( x , y ) + f ( x , y ) ? n n n + 1 n + 1 犏 ? 2臌 ?

y0 = 1
· · · · · · · · · · · · ·12 分 y1 = 1.11、 y2 = 1.24205 、 y3 = 1.39847 、 y4 = 1.58181 · (每个结果 2 分) 七、 (本题满分 7 分)设 l0 ( x), l1 ( x),L , ln ( x) 是以 x0 , x1 ,L , xn 为节点的拉格朗日基本插 值多项式,试证:

? x l ( x) ? x
i ?0 k i i

n

k

( k ? 0 , 1 ,L 2 ,n . , )

证:由于 f ( x) ?
k

? li ( x) yi ?
i ?0

n

f ( n?1) (? ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ?n ( x) · (n ? 1)!

取 f ( x) ? x ,则 yi ? xik , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 由于 k ? n ,则 f ( n?1) (? ) ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 因此, x ?
k

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? x l ( x) ·
i ?0 k i i

n

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