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2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷I)(数学理)word版有答案


2010 年全国高考数学试题(黑、吉、海、宁卷) (理科数学)
参考公式:样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

V ?

1 Sh 3

中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式
[来源:Z。xx。k.Com]

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4? R 2

4 V ? ? R3 3

其中 R 为球的半径

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x | x | ? 2, x ? R} }, B ? {x |

x ? 4, x ? Z} ,则 A ? B ? ( )

A.(0,2) B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2} 答案:D 解析:考查绝对值、无理不等式的解法、集合的求交集运算,考查运算求解的能

1 3, ? 1516} , 力.由已知得 A ? {x ?2 ? x ? 2} , B ? {0,2,4, ,, ,所以 A ? B ? {0,1, 2} .
2.已知复数 z ?

3 ?i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z = ( ) (1 ? 3i)2
B.

A.

1 4

1 2

C.1

D.2

【答案】A 解析:考查共轭复数的概念,考查复数的加、减、乘、除、乘方运算,考查运 算求解能力. (方法一) z ?

3 ?i 3 ?i 3 ?i ( 3 ? i)(?2 ? 2 3i) 3 1 ? ? ? ?? ? i, 2 4 4 (1 ? 3i) 1 ? 2 3i ? 3 ?2 ? 2 3i (?2 ? 2 3i)(?2 ? 2 3i)
3 2 1 2 1 ) ?( ) ? . 4 4 4

所以 z ? z ? (?

(方法二) z ?

3 ?i ( 3 ? i)i 3i ?1 1 1 3 1 ? ? ? ? ?? ? i, 4 4 (1 ? 3i)2 ( 3i ?1)2 i ( 3i ?1)2 i ( 3i ?1)i ? 3 ? i
3 2 1 2 1 ) ?( ) ? . 4 4 4
1

所以 z ? z ? (?

3.曲线 y ? A.y=2x+1

x 在点( ?1 , ?1 )处的切线方程为( ) x?2
B. y ? 2 x ? 1 C. y ? ?2 x ? 3 D. y ? ?2 x ? 2

【答案】A 解析:考查函数的导数的几何意义、曲线切线的求法,考查函数的性质,考查 运算变形的能力.. (方法一) y ? ?

2 ,所以 k ? y? ( x ? 2) 2

x ??1

? 2 ,故切线方程为 y ? 2 x ? 1 .

( 方 法 二 ) 点 (?1, ?1) 在 曲 线 上 , 为 切 点 代 入 四 个 选 项 验 证 , 可 排 除 B 、 D , 而

x x?2? 2 2 2 ? ? 1? ,由反比例函数 y ? ? 的图象,向左平移两个单位,再 x?2 x? 2 x? 2 x x 向上平移一个单位得到函数 y ? 的图象, 再根据曲线在点 (?1, ?1) 处的切线斜率为正, x?2 y?
排除 C,从而得 A. 4.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2 , ? 2 ) ,角速 度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

【答案】C 解析:考查角的概念、三角函数的图象和性质,考查运算求解能力,考查选择 题的解法——特殊值验证法. (方法一)显然,当 t ? 0 时,由已知得 d ? 2 ,故排除 A、D,又因为质点是按逆时针方 向转动,随时间 t 的变化质点 P 到 x 轴的距离 d 先减小,再排除 B,即得 C. (方法二) :根据已知条件得 A ? 2, ? ? 1, ? ? ? 关于时间 t 的函数为 d ? 2sin(t ?
x

?

4

,再结合已知,得质点 P 到 x 轴的距离 d

?
4

) ,画图得 C.
x ?x

(5)已知命题 p1 :函数 y ? 2 ? 2 在 R 为增函数, p2 :函数 y ? 2 ? 2 在 R 为减函数, 则在命题 q1 : p1 ? p2 ; q2 : p1 ? p2 ; q3 : ? ?p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ?p2 ? 中, 真命题是( )

?x

2

A. q1 , q3

B. q2 , q3

C. q1 , q4

D. q2 , q4

【答案】C 解析:考查指数函数的性质、复合函数单调性的判断,考查命题的逻辑连接词, 考查利用导数判读函数的单调性的方法. (方法一) y ? 2 ?2
x

1 x = 2x ? ( ), 易 知 p1 是 真 命 题 , 而 对 命 题 p2 : 方 法 1 ) ( 2 1 1 1 y? ? 2 x ln 2 ? x ln 2 ? ln 2(2 x ? x ) , x ? 0 ?) 时, x ? x , n 0? , 2 [ ? , 当 又 l2 所以 y? ? 0 , 2 2 2
?x

函数单调递增;同理得当 x ? (??,0) 时,函数单调递减,故 p2 是假命题; (方法 2)基本不
x 等式法:因为 2 ? 0 ,所以 y ? 2x ? 2? x ? 2 2x ? 2? x =2 (当且仅当 2 =2 ,即 x ? 0 时,
x ?x

等号成立) ,所以当 x ? 0 或 x ? 0 时都有 y ? 2x ? 2? x ? 2 ,在 R 上不是单调函数的.由此 可知, q1 真, q2 假, q3 假, q4 真. (方法二) :对 p2 的真假可以取特殊值来判断,如取 x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,得 y1 ? 取 x3 ? ?1 ? x4 ? ?2 ,得 y3 ?

5 17 ? y2 ? ; 2 4

5 17 ? y4 ? 即可得到 p2 是假命题,下略. 2 4

6.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再 补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400

【答案】B 解析:考查二项分布、独立重复试验、期望值,考查运算求解的能力.

? 根 据 题 意 知 , 不 发 芽 的 种 子 数 ? ~ (0.1,1000) , 所 以 E? ? 1000? 0.1 100 又 因 为 ,

X ? 2? ,所以 EX ? E (2? ) ? 2E? ? 200 ;
(方法二)补种的种子数为 X ,则不发芽的种子数是

X X ? (0.1,1000) ,所以 ,且有 2 2

E(

X ) ? 0.1? 1000? 100 ,故 EX ? 200 . 2

7.如果执行右面的框图,输入 N ? 5 ,则输出的数等于( )

A.

5 4

B.

4 5

C.

6 5

D.

5 6

【答案】D 解析:考查程序框图的循环结构的基础知识,考查识图能 力和运算求解能力. 根据题意满足条件得: S ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 5?6 1 1 1 1 1 5 ? (1 ? ) ? ( ? ) ?? ?( ? ) ? . 2 2 3 5 6 6
3

8.设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} ? ( ) A. {x | x ? ?2或x ? 4} C. {x | x ? 0或x ? 6} B. {x | x ? 0或x ? 4} D. {x | x ? ?2或x ? 2}

【答案】B 解析:考查函数的基本概念、奇偶性、单调性,考查集合的基本概念、简单不 等式的解法,考查数形结合的思想方法. (方法一)当 x ? 0 时, f ( x) ? x 3 ?8 ? 0 ? x ? 2 ,又由于函数是偶函数,所以 x ? R 时,

f ( x) ? 0 的解集为 {x x ? ?2 或 x ? 2} ,故 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 {x x ? 0 或 x ? 4} .
(方法二)把幂函数 y ? x3 的图象向下平移 8 个单位得到函数的图象 f ( x) ? x3 ? 8 ,因为

x ? 0 ,所以函数 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) 的图象与 x 轴的交点是(2,0) ,如图所示,所以
函数 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) 的图象向右平移 f ( x) ? x3 ? 8 ? 0 的解集为 {x x ? ?2 或 x ? 2} , 2 个单位,得到函数 y ? f ( x ? 2) 的图象,所以故 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 {x x ? 0 或 x ? 4} .

4 9.若 cos ? ? ? , ? 是第三象限的角,则 5
(A) ?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 ?( )

2

1 2

(B)

1 2

(C) 2

(D) -2

【答案】A 解析:考查三角函数中同角三角函数关系、倍角公式、弦切互化公式,考查化 归与转化的思想,考查函数与方程的思想,考查运算求解的能力. (方法一)方程思想,由已知得 sin ? ? ?

3 3 ? ,所以 tan ? ? ,又 属于第二或第四象限, 5 4 2

故由 tan ? ?

2 tan

?
2 解得: tan

1 ? tan 2

?

?
2

? ?3 ,从而

1 ? tan

?

2

2 ??1 . ? 2 1 ? tan 2

4

1 ? tan cos cos ? sin 3 2 ? 2 ? 2 2 (方法二)切化弦:由已知得 sin ? ? ? ,所以 ? ? ? ? 5 1 ? tan sin cos ? sin 2 1? 2 2 2 ? cos 2

?

1?

sin

? ?
2

?

?

? sin ) 2 1 ? sin ? 1 2 2 ? ?? . ? ? ? cos ? 2 cos 2 ? sin 2 2 2 (cos
10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为( ) A. ? a C.
2

?

?

B. ? a

7 3

2

11 2 ?a 3

D. 5? a

2

【答案】B 解析:考查三棱柱、球的有关性质、球的表面积公式,考查空 间想象能力,考查运算求解的能力. 如图,P 为三棱柱底面中心,O 为球心,易知 AP ?

2 3 3 1 ? a? a, OP ? a ,所以球的 3 2 3 2
7 ? 4? R 2 ? ? a 2 . 3

半径 R 满足: R ? (
2

3 2 1 2 7 2 a) ? ( a) ? a ,故 S 3 2 12



?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? b f c, 11. 已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等, f ( ) ?f ( ) ?( ) 且 a ? x ? 6, x ? 10. ? 2 ?
的取值范围是( ) A. (1,10) B. (5, 6) C. (10,12) D. (20, 24)

则 abc

【答案】C 解析:考查函数(分段函数、对数函数)的图象、性质,考查画图能力,考查 化归与转化的思想方法, 考查数形结合的思想方法,考查运算(指数运算、 对数运算、估算) 求解的能力. (方法一)特殊值法:不妨设 a ? b ? c ,取特例,如取 f (a) ? f (b) ? f (c) ?

1 ,则易得 2

a ? 10 , b ? 10 , c ? 11 ,从而 abc ? 11 ,选 C.
( 方 法 二 ) 数 形 结 合 法 : 不 妨 设 a ? b ? c , 则 f ( a) ? f ( b), 即 lga ? lg , 所 以 b

?

1 2

1 2

lg a ? ? lg b , lg a ? lg b ? 0 ,所以 ab ? 1 ,再根据图象易得 10 ? c ? 12 ,故选 C.
5

12.已知双曲线 E 的中心为原点, F (3, 0) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两 点,且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程为( )

A.

x2 y 2 ? ?1 3 6

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 6 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

【答案】B 解析:考查双曲线的标准方程的求法,考查直线方程、直线与双曲线的位置关 系、中点坐标公式等基础知识,考查待定系数法,考查数形结合的思想方法(本题的图形要 靠想象) ,考查方程的思想,考查运算求解能力. (方法一)运算变形,整体思想:由已知条件易得直线 l 的斜率为 k ? kFN ? 1 ,设双曲线方

? x1 2 y12 ? 2 ? 2 ?1 x 2 y2 ?a b 程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 ? ,两式相减并结 2 2 a b ? x2 ? y2 ? 1 ? a 2 b2 ?
合 x1 ? x2 ? ?24, y1 ? y2 ? ?30 得 ,

4b2 y1 ? y2 4b2 ? 2 , 从 而 2 ? 1 , 即 4b2 ? 5a 2 , 又 5a x 1 ? x2 5a

a 2 ? b 2 ? 9 ,解得 a2 ? 4, b2 ? 5 ,故选 B.
(方法二)直线 AB 过点 FN,所以斜率为

?15 ? 0 ? 1 ,直线 AB 的方程是 y ? x ? 3 , ?12 ? 3

设双曲线方程为

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , a 2 b2

? x 2 y2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 解方程组 ? a 2 b2 得: (b ? a ) x ? 6a x ? 9a ? a b ? 0 ?y ? x ?3 ?
所以 x1 ? x2 ?

4 6a 2 ? ?24 ,即 a 2 ? b 2 ,又因为 a 2 ? b 2 ? 9 , 2 2 5 a ?b

6

解得 a ? 4 , b ? 5 .
2

2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须 做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.设 y ? f ( x) 为区间 [0,1] 上的连续函数,且恒有 0 ? f ( x) ? 1 ,可以用随机模拟方法近 似计算积分

?

1

0

f ( x)dx ,先产生两组(每组 N 个)区间 [0,1] 上的均匀随机数 x1 , x2 ,…xN 和

y1, y2 ,…yN , 由 此 得 到 N 个 点 ( xi ,yi i) ? (

1 , N , , 再 )数 出 其 中 满 足 …,2
1

yi ? f ( xi )(i ? 1, 2,…,N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方法可得积分 ? f ( x)dx 的近似值
0



. 解析:考查随机数、随机模拟方法,考查积分的概念等基础知识,考查几何

N 【答案】 1 N

概型的意义,考查数形结合的思想方法,考查分析问题、解决综合问题的能力.

?

1

0

f ( x)dx 的几何意义是函数 f ( x)(其中0 ? f ( x) ? 1) 的图像与 x 轴、直线 x ? 0 和直线

x ? 1 所围成图形的面积(如图所示) ,用 N 近似表示边长为 1 的正方形的面积, N1 近似表
示 积 分 值

?

1

0

f ( x)dx



























7

?

1

0

f ( x)dx ?

N1 . N

14.正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种) 【答案】三棱锥、三棱柱、圆锥 解析:考查几何体的正视图等基础知识,考查空间形象能 力. 因为正视图是三角形,所以考虑几何体有一个公共顶点,即锥体,联想到圆锥、三棱锥、四 棱锥等即可. 15.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为____. 【答案】 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 2 解析:考查直线、圆的方程、直线与圆相切等基础知识、性质,

圆的性质,考查两点间的距离、点到直线的距离公式及其应用,考查方程的思想、待定系数 法,考查运算求解的能力. (方法一)设圆 C 的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,则根据已知条件得:

? ?(4 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ?a?3 ? ? ? 2 2 2 ?(2 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ? b ? 0 . ? ?r 2 ? 2 a ? b ?1 ? ? ?r ? 2 ?
(方法二)因为点 A,B 在圆 C 上,所以线段 AN 的垂直平分线 x ? 3 过圆心,如图所示, 又 圆 C 与 直 线 y ? x ? 1 相 切 于 点 B(2,1) , 所 以 kBC ? ?1 , 所 以 直 线 BC 的 方 程 为

y ? 1 ? ?( x ? 2) ,即 y ? ? x ? 3 ,圆心 C 的坐标是 C(3,0) ,
所以 r ? BC ?

(3 ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2 ? 2 ,
2 2

所以圆 C 的方程是 ( x ? 3) ? y ? 2 .

8

16.在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= 积为 3 ? 3 ,则 ? BAC=_______

1 DC, ? ADB=120°,AD=2,若△ADC 的面 2

A 【答案】 60
?

解析:考查三角形的有关性质,考查

三角形的面积公式、余弦定理及其应用,考查化归与 转化能力,考查方程的思想,考查运算求解能力. 设 BD ? a ,则 DC ? 2a ,由已知条件有:

S?ADC ?

1 1 AD ? DC ? sin ?ADC ? ? 2 ? 2a sin 600 2 2

B D

C

? 3a ? 3 ? 3 ? a ? 3 ?1,再由余弦定理分别得
到 AB2 ? 6, AC 2 ? 24 ?12 3 ,再由余弦定理得 cos ?BAC ? 三,解答题:解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3? 22n?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn (17)考查数列的递推公式,考查错位相减法、累加法,考查运算求解的能力. 解: (方法一)由已知,当 n≥1 时, (1)

1 ? ,所以 ?BAC ? 60 . 2

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ?? (a2 ? a1 )] ? a1 ? 3(22n?1 ? 22n?3 ? ? ? 2) ? 2 ? 22( n?1) ?1 ,而 a1 ? 2, 也符合此式,
所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 ; (方法二)因为 an?1 ? an ? 3? 22n?1 , 所以 an ? an?1 ? 3? 22n?3 , an?1 ? an?2 ? 3? 22n?5 ,……, a2 ? a1 ? 3 ? 2 , 所以 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? 3? 2 即 an ? a1 ? 3? 2 所以 an ? 3? (2
2n?3 2n?3

? 3? 22n?5 ? ?? 3? 2

? 3? 22n?5 ? ?? 3? 2 ,又因为 a1 ? 2 ,

2n?3

? 22n?5 ? ?? 2) ? 2 ? 22 n?1 (其中 n ? 2 )
2n?1

当 n ? 1 时, 22n?1 ? 2 ? a1 ,所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2 (2)由 bn ? nan ? n ? 2
2 n?1



得:
9

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? n ? 22n?1
所以 22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ?? n ? 22n?1

① ②

①-②得: (1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ?? 22n?1 ? n ? 22n?1 , 所以 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] .
18. 本小题满分 12 分) ( 如图, 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形, AB∥CD, ? BD, AC 垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 中点. (1)证明:PE ? BC; (2)若 ? APB= ? ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成 角的正弦值.

1 9

(18)解: 以 H 为原点, HA, HB, HP 分别为 x, y, z 轴,线段 HA 的长 为单位长, 建立空间直角坐标系如图, 则 A(1,0,0), B(0,1,0) (Ⅰ)设 C (m,0,0), P(0,0, n)(m ? 0, n ? 0)

1 m D( 0 m , 0E , ( , , 0 ) . , ) 2 2 1 m , BC 可得 PE ? ( , ?n ) , ? m( ? , 1 , 0 ) . 2 2 m m 因为 PE ? BC ? ? ? 0 ? 0 2 2 所以 P E ? B C


(Ⅱ)由已知条件可得 m ? ?

3 3 , n ? 1, 故 C( ? ,0,0) 3 3

10

D( 0 ? ,

3 1 3 , 0E, ? , ) ( 3 2 6

,P0 ) ,

( 0 , 0 , 1)

设 n ? ( x, y, x) 为平面 PEH 的法向量



?n ? H E? ,o ? ? ?n ? H P? ,o ?

? 1 x ? 3 y ?0 ?2 6 即? ? z?0 ?

因此可以取 n ? (1, 3,0) , 由 PA ? (1,0, ?1) ,

??? ?

可得

? ? ?? 2 c o sP A n ? , 4 2 4

所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为

19.(本小题 12 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从 该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(1) 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2) 能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3) 根据(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿 者提供帮助的老年人的比例?说明理由. 附:

(19)解: (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要 帮助的老年人的比例的估算值为 (2) K ?
2

70 ? 14% 500

500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160)2 ? 9.967 。 200 ? 300 ? 70 ? 430
11

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该 地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异, 因此在调查时, 先确定该地区 老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽 样方法更好.

20. (本小题满分 12 分) F1 , F2 分别是椭圆 E : 设

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, F 过 1 a 2 b2

斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A 、 B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2) 设点 P(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程. (20.)解: (I)由椭圆定义知 AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ,又 2 AB ? AF2 ? BF2 , 得 AB ?

4 a 3

l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a2 ? b2 。
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2 ?x y2 ? 2 ?1 ? 2 ?a b
2 2 2 2 2 2 2 化简的 a ? b x ? 2a cx ? a c ? b ? 0

?

?

?

?

a 2 ? c 2 ? b2 ? ?2a 2c 则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? a ? b2 a 2 ? b2
因为直线 AB 斜率为 1,所以 AB ?
2 2 x2 ? x1 ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?



4 4ab 2 a? 2 , 故 a 2 ? 2b2 3 a ? b2

所以 E 的离心率 e ?

c a 2 ? b2 2 ? ? a a 2

(II)设 AB 的中点为 N ? x0 , y0 ? ,由(I)知

x0 ?

c x1 ? x2 ?a 2 c 2 ? 2 ? ? c , y0 ? x0 ? c ? 。 2 3 2 a ?b 3
12

由 PA ? PB ,得 kPN ? ?1 , 即

y0 ? 1 ? ?1 x0

得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2, b ? 3

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 18 9

21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ex ?1 ? x ? ax2 。 (1) 若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围 (21)解: (1) a ? 0 时, f ( x) ? e x ? 1 ? x , f '( x) ? e x ?1 . 当 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x ) 在 (??, 0) 单调减 少,在 (0, ??) 单调增加 (II) f '( x) ? e ?1 ? 2ax
x

由(I)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故
x

f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2

于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由 e ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e
x ?x

? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (e x ?1)(e x ? 2a) ,
故当 x ? (0, ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 (??, ] . 请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图:已知圆上的弧 ? ? BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: AC ?
13

1 2

(1) ?ACE = ?BCD ; (2) BC =BE ? CD .
2

22、分析:考查圆内接四边形、圆的切线、圆周角、 弦切角、三角形相似、弧弦之间的关系等知识点,考 查平面几何的基本知识. 证明:(Ⅰ)因为 ? ? BD , AC ? 所以 ?BCD ? ?ABC . 又因为 EC 与圆相切于点 C ,故 ?ACE ? ?ABC 所以 ?ACE ? ?BCD . (Ⅱ)因为 ?ECB ? ?CDB , ?EBC ? ?BCD , 所以 ? BDC ?? ECB ,故 即

BC CD ? . BE BC

BC 2 ? BE ? CD .

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ? (1)当 ? ?

? x ? 1 ? t ? cos ? ? x ? cos ? ( t 为参数) ,圆 C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? t ? sin ? ? y ? sin ?
时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

?
3

(2)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线. 23、分析:考查圆的参数方程,考查圆的参数方程与一般方程的互化, 考查解方程组的运算求解的能力. 解: (I)当 ?

?

?
3

时,C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) ,

C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1.

联立方程组

?

y ? 3( x ?1), 1 3 ) , x ? x2 ? y 2 ?1, 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ( , ?

2

2

(II)C1 的普通方程为 x sin ? A 点坐标为 (sin
2

? y cos ? ? sin ? ? 0 .

? , ? cos ? ? sin ? ) ,故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为

? x ? 1 sin 2 ? 2 ? y ?? 1 sin ? ?cos ? ? 2

( ? 为参数),

14

P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 4

1 , 16

故 P 点是圆心为 ( , 0) ,半径为

1 4

1 的圆. 4

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x ) ? 2 x ? 4 ? 1 . (1)画出函数 y ? f ( x) 的图象; (2)若不等式 f ( x) ? ax 的解集非空,求 a 的取值范围. 24、分析:本题考查分段函数的性质,考查绝对值的意义及含参数绝对值不等式的解法,考 查数形结合思想,考查分类讨论思想. 解: (Ⅰ) 由于 f ( x) ? ? 的图象如图所示: (Ⅱ)由函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图象可知,当且 仅当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像有交 点。故不等式 f ( x) ? ax 的解集非空时, a 的取值范围为

x?2 ??2 x ? 5 则函数 y ? f ( x) x?2 ?2 x ? 3

? ??, ?2 ? ? (

1 , ??) . 2

15


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