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集合与常用逻辑用语 (高三复习)


高考第一轮复习用书·数学(理科)

第一章

§1.1





1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述

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第一章

r />
法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合 的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单 集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给 定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合 的基本运算.

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第一章

一、集合的含义与表示 1.集合中元素的三个特征: (1)__确定性__,一个集合一旦确定,某一个元素属于 不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素,要么不 是,二者必居其一. (2)__互异性__,对于一个给定的集合,它的任何两个 元素都是不同的. (3)__无序性__,集合与其中元素的排列顺序无关. 2.集合中元素与集合的关系 元素与集合的关系:属于记为 a__∈__A;不属于记为 a__?__A. 3.常见集合的符号表示

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第一章

数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 * 符号 N N+、N Z Q R 4.集合的三种表示方法:(1)列举法,把集合的元 素__一一列举__出来,并用?{ }?括起来表示集合的方法 叫作列举法. (2)描述法,用集合所含元素的__共同特征__表示集合 的方法称为描述法. (3)韦恩图,在数学中,经常用平面上__一个封闭__曲 线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. 1.在解决集合中含字母的问题时,一定要返回代入验 证,防止与集合中元素的互异性相矛盾.

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第一章

2.以数为元素的集合叫作数集,如 A={y|y=x +1,x 2 ∈R};以点为元素的集合叫作点集,如 B={(x,y)|y=x +1,x∈R}.A 与 B 不相同,它们的代表元素是不同的. 3.注意区分?、{0}与{?}:?是空集,是不含任何元素 的集合; {0}不是空集, 它是以一个 0 为元素的单元素集合, 而非不含任何元素,所以?≠{0};{?}也不是空集. 二、集合的基本关系

2

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第一章

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第一章

在考查两个集合的关系时,不要忽视?.?是任何非空集 合的真子集. 三、集合的运算 1.集合的基本运算

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第一章

2.集合运算中的常用运算性质

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第一章

1.已知集合 A={x||x-1|<2},B={x|log2x<2},则 A ∩B=( ). A.(-1,3) B.(0,4) C.(0,3) D.(-1,4) 由 |x - 1|<2 可得- 1<x<3 ,即 A = ( - 1 , 3) .由 log2x<2 可得 0<x<4,即 B=(0,4).所以 A∩B=(0,3). C 2.已知集合 U=Z,S={1,2,3,4,5},T={1,3, 5,7,9},则图中阴影部分表示的集合是( ). A.{1,3,5} B.{1,2,3,4,5}

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第一章

C.{7,9} D.{2,4} 阴影部分用集合表示为 S∩? UT,经过计算 S∩? UT ={2,4}. D 3.已知 M={a||a|≥2},A={a|(a-2)(a2-3)=0,a ∈M},则集合 A 的子集共有( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ∵M={a||a|≥2}={a|a≤-2 或 a≥2},A={a|(a -2)(a2-3)=0,a∈M}={2},则集合 A 的子集有{2},?, 共 2 个. B 4.若 A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列 举法表示 B=________.

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第一章

因为集合 A={-2,2,3,4},而集合 B 中的元素 是将集合 A 中的元素一一代入,通过平方得到的集合,B= {x|x=t2,t∈A},当 t=±2 时,x=4;当 t=3 时,x=9; 当 t=4 时,x=16.即 B={4,9,16},那么用列举法表示 B ={4,9,16}. {4,9,16} 3 3 2 5. 已知集合 A={y|y=x - x+1, x∈[ , 2]}, B={x|x 2 4 +m2≥1},若 A?B,则实数 m 的取值范围是________. 3 2 7 3 7 由 y=(x- ) + ,x∈[ ,2],得 y∈[ ,2].又 4 16 4 16 7 3 3 2 因为 A?B,所以 1-m ≤ ,解得 m≥ 或 m≤- . 16 4 4 3 3 (-∞,- ]∪[ ,+∞) 4 4

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第一章

1.集合的含义与表示(5 年 1 考) 2.集合的基本关系(5 年 1 考) 3.集合的运算(5 年 3 考)

1.集合之间的关系 (2013 年新课标全国Ⅰ卷)已知集合 A={x|x2-2x>0}, B={x|- 5<x< 5},则( ).

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第一章

A.A∩B=? B.A∪B=R C.B?A D.A?B 依据已知得 A={x|x<0 或 x>2}, 又因为 B={x|- 5 <x< 5},所以 A∪B=R,答案为 B. B 2.集合的运算 (2013 年山东卷)已知集合 A, B 均为全集 U={1, 2, 3, 4}的子集, 且 U(A∪B)={4}, B={1, 2}, 则 A∩ UB=( ). A.{3} B.{4} C.{3,4} D.? 4},而 A∪B={1,2,3},故 A∩ UB={3}. UB={3,

A
(2013 年广东卷)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,…,

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第一章

n}. 令集合 S={(x, y, z)|x, y, z∈X, 且三条件 x<y<z, y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都 在 S 中,则下列选项正确的是( ). A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 取特殊值 x=1,y=2,z=3,w=4,可得(y,z, w)=(2,3,4)∈S,(x,y,w)=(1,2,4)∈S,故选 B.

B
解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的 实质,紧扣新定义进行推理论证,把其转化为我们熟知的问 题.

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第一章

题型一 集合的基本概念

(1)定义集合 A*B={x|x=ab,a∈A,b∈B}, 设 A={1,2},B={0,2},则集合 A*B 的所有元素之和为 ( ). A.0 B.2 C.3 D.6

b (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, ,b},则 b a
-a 等于( ).

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第一章

A.1 B.-1 C.2 D.-2 (1)按照新的定义,先确定集合 A*B 中的元素, 然后 求出该集合中所有元素之和.(2)要求出 b-a 的值,关键是 要根据两集合相等,确定元素之间的等量关系,构造方程求 解. (1)依据 A*B 的定义,当 A={1,2},B={0,2}时, A*B={0,2,4},因此 A*B 中所有元素之和为 6.

b (2)因为 a≠0,所以 a+b=0,所以 =-1,所以 a= a -1,b=1,故 b-a=2.
(1)D (2)C (1)新定义问题属信息迁移题, 解题的关键是紧扣给出的 新定义,按定义要求进行判断或运算,此类题目对能力

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第一章

要求较高. (2)集合中元素有三个特征 ?无序性、 互异性、 确定性? , 互异性常常容易被忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论 的思想方法常用于解决集合问题. (1)已知集合 A={x∈R|x2-3x+a>0},且 2?A, 则实数 a 的取值范围是( ). A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.(-∞,-2] D.[-2,+∞) 6 (2)集合{x| ∈N,x∈N}用列举法表示为________. 3-x (1)因为 2?A,所以 4-6+a≤0,即 a≤2. 6 6 (2)因为 x∈N,且 ∈N,当 x=0 时, =2 满足 3-x 3-x

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第一章

6 6 条件; 当 x=1 时, =3 满足条件; 当 x=2 时, 3-x 3-x 6 =6 满足条件;当 x=3 时, 没意义;当 x>3 且 x∈N 3-x 6 6 时, ?N.所以集合{x| ∈N , x∈N}用列举法表示为{0, 3-x 3-x 1,2}. (1)A (2){0,1,2} 题型二 集合的基本关系 已知集合 A={x|x=2n-1,n∈Z},B={y|y= 2n+1, n∈Z},C={s|s=2k±1,k∈Z},D={t|t=4k±1, k∈Z},则四者间的关系是( ).

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第一章

A.A=B?C=D B.A=B?C=D C.A?B?C?D D.A=B=C=D 根据集合中元素的特征进行判断. 集合 A 表示的是能被 2 除余数为 1 的整数,表示的 为奇数集;集合 B 表示的也是被 2 除余数为 1 的整数,也是 奇数集;集合 C 表示的也是被 2 除余 1 的整数,也是奇数集 合;集合 D 表示的是被 4 除余数为 1,3 的数组成的集合, 那么整数被 4 除,有四种情况,余数分别是 0,1,2,3, 其中余数为 1,3 的组成了奇数集合.故选 D. D 本试题主要是考查了集合描述法的运用.要注意本 题中的 2n+1,2n-1,2k±1,4k±1 指的是元素特征. (1)已知集合 P={4,5,6},Q={1,2,3},定

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第一章

义 P⊕Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},则集合 P⊕Q 的 所有真子集的个数为( ). A.32 B.31 C.30 D.以上都不对 (2)已知集合 P={(x, y)||x|+|y|=1}, Q={(x, y)|x2 +y2≤1},则( ). A.P?Q B.P=Q C.P?Q D.P∩Q=Q (1)由所定义的运算可知 P⊕Q={1,2,3,4,5}, 所以 P⊕Q 的所有真子集的个数为 25-1=31. (2)因为 P={(x,y)||x|+|y|=1},它所表示的图形 为一个中心在坐标原点,四个定点在坐标轴上的正方形,对 角线长为 2;Q={(x,y)|x2+y2≤1},它表示的图形为一个 以原点为圆心,1 为半径的圆,所以正方形内接于圆,所以 P?Q.

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第一章

(1)B (2)A 题型三 集合的基本运算 2 已知集合 P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|x -3x≤10}. (1)若 a=3,求( RP)∩Q. (2)若 P∪Q=Q,求实数 a 的取值范围. (1)先求出集合 P,Q,再利用交集的定义求解. (2)将 P∪Q=Q 化为 P?Q,再利用子集的定义求解. (1)因为 a=3,所以 P={x|4≤x≤7}, RP={x|x< 4 或 x>7}. 又 Q={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, 所以( RP)∩Q={x|x<4 或 x>7}∩{x|-2≤x≤5}

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第一章

={x|-2≤x<4}. (2)当 P≠?时,由 P∪Q=Q,得 P?Q, ?a+1≥-2, ? 所以?2a+1≤5, 解得 0≤a≤2; ? ?2a+1≥a+1, 当 P=?,即 2a+1<a+1 时,有 P?Q,得 a<0. 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,2]. 求集合的交、 并、 补集时, 要注意数形结合的运用; P∪Q=Q?P?Q,P∩Q=P?P?Q,当子集是待定的集合时, 要考虑空集的情况. 设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+ 1)x+(a2-5)=0}.

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第一章

(1)若 A∩B={2},求实数 a 的值. (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 由 x2-3x+2=0,得 x=1 或 x=2, 故集合 A={1,2}. (1)因为 A∩B={2},所以 2∈B,代入 B 中的方程, 得 a2+4a+3=0,所以 a=-1 或 a=-3. 当 a=-1 时, B={x|x2-4=0}={-2, 2}, 满足条件; 当 a=-3 时, B={x|x2-4x+4=0}={2}, 满足条件; 综上,a 的值为-1 或-3. (2)对于集合 B, Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3). 因为 A∪B=A,所以 B?A, ①当Δ<0,即 a<-3 时,B=?,满足条件;

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第一章

②当Δ=0,即 a=-3 时,B={2},满足条件; ③当Δ>0,即 a>-3 时,B=A={1,2}才能满足条件, 则由根与系数的关系得 5 ? ? ?1+2=-2(a+1), ?a=- , 2 无解. ? 即? 2 ? ?1?2=a -5, 2 ? ?a =7 综上,a 的取值范围为(-∞,-3].

一、选择题

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第一章

1.集合 A={x∈Z|-1<x<3}的元素个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 A={x∈Z|-1<x<3}={0,1,2},所以集合的元 素个数是 3. C 2. 已知 P={-1, 0, 2}, Q={y|y=sin θ, θ∈R}, 则 P∩Q=( ). A.? B.{0} C.{-1,0} D.{-1,0, 2} P={-1,0, 2},Q={y|y=sin θ,θ∈R}={y| -1≤y≤1},所以 P∩Q={-1,0}. C 3.下列四个集合中,表示空集的是( ).

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第一章

A.{0} 2 2 B.{(x,y)|y =-x ,x,y∈R} C.{x||x|=5,x∈Z,x?N} D.{x|2x2+3x-2=0,x∈N} 选项 A 中,{0}中有一个元素 0,所以不是空集;选 项 B 中,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)},是由一 个点构成的集合;选项 C 中,{x||x|=5,x∈Z,x?N}={- 5};选项 D 中,{x|2x2+3x-2=0,x∈N}表示方程 2x2+3x -2=0 的自然数解构成的集合,而方程无自然数解,因此 为空集. D 4.设 U=R,已知集合 A={x|x>1},B={x|x>a},且(? ). UA)∪B=R,则实数 a 的取值范围是(

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第一章

A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 因为 A={x|x>1},所以?UA={x|x≤1},要使(?UA) ∪B=R,只需 a≤1. B

b 5. 若{1, a,}={0, a2, a+b}, 则 a2013+b2012 的值为( a
A.-1 B.1 C.±1 D.0

).

b 因为{1,a, }={0,a2,a+b},则可以判定 a=- a 2013 2012 1,b=0,因此 a +b =-1.
A

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第一章

6.设集合 M={x|x= + ,k∈Z},N={x|x= + ,k 2 2 4 2 ∈Z},则( ). A.M=N B.M?N C.M?N D.M∩N=? 2n+1 对于集合 N, 当 k=2n+1 为奇数时, N={x|x= 4 1 n 3 2n 1 + = + ,n∈Z};当 k=2n 为偶数时,N={x|x= + = 2 2 4 4 2 n 1 + ,n∈Z}=M,故 M?N. 2 2 B

k 1

k 1

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第一章

二、填空题 1 7.设集合 A={x|- <x<2},B={x|x2≤1},则 A∪B= 2 ________. B={x|-1≤x≤1},所以 A∪B={x|-1≤x<2}. {x|-1≤x<2} 8.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱 乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动 但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 由已知得有 22 人喜爱乒乓球运动或喜爱篮球运动, 则有 3 人既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动, 故喜爱篮球运 动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12. 12

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第一章

9.设 A、B 是非空集合,定义 A?B={x|x∈A∪B,且 x 2 x?A∩B}. 已知 A={x|y= 2x-x2}, B={y|y= x (x>0)}, 2 -1 则 A?B 等于________. 集合 A 是函数的定义域[0,2],集合 B 是函数的值 域(1,+∞). A∪B=[0, 2]∪(1, +∞)=[0, +∞), A∩B=(1, 2], 所以 A?B=[0,1]∪(2,+∞). [0,1]∪(2,+∞) 三、解答题 10.已知集合 M={2,3,a2+1},N={a2+a-4,2a+ 1},且 M∩N={2},求 a 的值. 由 M∩N={2},得 2∈N,

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第一章

所以 a +a-4=2 或 2a+1=2, 1 ∴a=2 或 a=-3 或 a= , 2 经检验 a=2 不合题意舍去, 1 故 a=-3 或 a= . 2 11. 设集合 A={x|x2-8x+15=0}, B={x|ax-1=0}. 1 (1)若 a= ,试判定集合 A 与 B 的关系; 5 (2)若 B?A,求实数 a 的取值集合. 2 (1)由 x -8x+15=0,得 x=3 或 x=5,故 A={3, 5}.

2

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第一章

1 当 a= 时,由 ax-1=0,得 x=5,故 B={5},此时 B 5 真包含于 A. (2)当 B=?时,B?A,此时 a=0; 1 1 1 当 B≠?时,a≠0,集合 B={ },B?A,此时 =3 或 =

a

a

a

1 1 5,即 a= 或 a= . 3 5 1 1 综上,实数 a 的取值集合为{0, , }. 3 5 2 2 12.已知集合 A={x|x -2x-3>0},B={x|x -4x+a =0,a∈R}. (1)存在 x∈B,使得 A∩B≠?,求 a 的取值范围;

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第一章

(2)若 A∩B=B,求 a 的取值范围. (1)由题意得 B≠?,故Δ=16-4a≥0, 解得 a≤4, ① 令 f(x)=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,对称轴为 x=2, 因为 A∩B≠?,又 A=(-∞,-1)∪(3,+∞), 所以 f(3)<0,解得 a<3. ② 由①②得 a 的取值范围为(-∞,3). (2)因为 A∩B=B,所以 B?A. 当Δ=16-4a<0,即 a>4 时,B 是空集,这时满足 A∩B =B. 当Δ=16-4a≥0,即 a≤4. ③ 令 f(x)=x2-4x+a,对称轴为 x=2, 因为 A=(-∞,-1)∪(3,+∞)≠?,

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第一章

所以 f(-1)<0,解得 a<-5. ④ 由③④得 a<-5, 综上得 a 的取值范围为(-∞,-5)∪(4,+∞). §1.2 命题及充要条件

1.命题 (1)理解命题的概念. (2)了解?若 p,则 q?形式的命题的逆命题、否命题与

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第一章

逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 2.充要条件 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,__可以判断真假 __ 的陈述句叫作命题.其中 __ 正确 __的语句叫真命题, __ 错误__的语句叫假命题. 二、四种命题间的相互关系 1.四种命题的形式 一般地,用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和 q 的否定, 于是四种命题的形式如下: 原命题:__若 p,则 q(p?q)__;

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第一章

逆命题:__若 q,则 p(q?p)__; 否命题:__若綈 p,则綈 q(綈 p?綈 q)__; 逆否命题:__若綈 q,则綈 p(綈 q?綈 p)__. 2.四种命题间的相互关系

3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题, 它们有__相同__的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 __无关__. ?命题的前提?和?命题的条件? :当一个命题有大前

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第一章

提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提,也就是 大前提不动. 三、充要条件 1.如果__p?q__,则 p 是 q 的充分条件,__q 是 p__的 必要条件. 2.如果__p?q,q?p__,则 p 是 q 的充分必要条件, 记作__p?q__. 混淆?充分条件?与?必要条件? .充分必要条件的判 断应注意问题的设问方式,①A 是 B 的充分不必要条件是指 A?B 且 B?/ A; ②A 的充分不必要条件是 B 是指 B?A 且 A?/ B,在解题时一定要弄清它们的区别,以免出现错误.

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第一章

1.命题?若函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域 内是减函数,则 loga2<0?的逆否命题是( ). A.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其 定义域内不是减函数 B.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内不是减函数 C.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其 定义域内是减函数 D.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内是减函数 先对命题取逆,然后取否,可得?若 loga2≥0,则 函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数? .

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第一章

A 2 2.已知 a∈R,则?a>2?是?a >2a?成立的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 由 a2>2a 知 a(a-2)>0, 解得 a>2 或 a<0.因此 ?a>2? 是?a2>2a?成立的充分不必要条件. A 3.命题?若 a>-3,则 a>-6?以及它的逆命题、否命 题、逆否命题中,假命题的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 根据题意,由于命题?若 a>-3,则 a>-6?是真命题, 因此其逆否命题为真命题,而其逆命题?若 a>-6,则 a> -3?是假命题,因此其否命题也是假命题,故假命题的

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第一章

个数为 2. B 4.已知 a,b,c,d 是实数,原命题?若 a=b,c=d, 则 ab = cd ? , 它 的 否 命 题 是 ? _________________________________________________ _______________________? . 原命题 ?若 a=b, c=d, 则 ab=cd? 的否命题为 ?若 a≠b 或 c≠d,则 ab≠cd? . 若 a≠b 或 c≠d,则 ab≠cd 3 5.已知?x>k?是? <1?的充分不必要条件,则 k x+1 的取值范围是________.

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第一章

3 3 -x+2 由 <1,得 -1= <0,所以 x<-1 或 x+1 x+1 x+1 3 x>2,因为?x>k?是? <1?的充分不必要条件,所以 k x+1 ≥2. [2,+∞)

1.命题(5 年 2 考) 2.四种命题(5 年 1 考)

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3.充要条件(5 年 1 考)

1.命题 (2009 年江西卷)下列命题是真命题的为( ). 1 1 2 A.若 = ,则 x=y B.若 x =1,则 x=1

x y C.若 x=y,则 x= y D.若 x<y,则 x2<y2

x y B 错误;由 x=y, x, y不一定有意义,故 C 错误;由 x <y 得不到 x2<y2,故 D 错误.

1 1 由 = 得 x=y,故 A 正确;由 x2=1 得 x=±1,故

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第一章

A 2.充要条件 (2009 年浙江卷)已知 a,b 是实数,则?a>0 且 b>0? 是?a+b>0 且 ab>0?的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ?a>0, ? ?a+b>0, ? ?? ? ? ?b>0 ?ab>0. C (2011 年陕西卷)设 n∈N+, 一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数 根的充要条件是 n=________. ..

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第一章

由 x -4x+n=0 得(x-2) =4-n, 即 x=2± 4-n, ∵n∈N+, 方程要有整数根, ∴ 4-n要为整数, 故当 n=3, 4 时方程有整数根. 3或4 本题有以下两个创新的命题角度: (1)考查内容创新, 本题以一元二次方程为背景,探求方程有整数根的充要条 件.(2)此类题目的特点是给出结论,未给条件,由结论探 求条件.

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第一章

题型一 四种命题的关系及其真假判断 2 2 (1)命题?若 a +b =0,则 a=0 且 b=0?的逆 否命题是( ). A.若 a2+b2≠0,则 a≠0 且 b≠0 B.若 a2+b2≠0,则 a≠0 或 b≠0 2 2 C.若 a=0 且 b=0,则 a +b ≠0 2 2 D.若 a≠0 或 b≠0,则 a +b ≠0 (2)有下列命题:①?若 xy=1,则 x、y 互为倒数?的逆命 题;②?面积相等的两个三角形全等?的否命题;③?若 m 2 ≤1,则 x -2x+m=0 有实数根?的逆否命题;④?若 M

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第一章

∪N=N,则 N?M?的逆否命题.其中正确的是( ). A.①② B.②③ C.①②③ D.③④ (1)先分清原命题的条件和结论, 再根据四种命题的 概念,写出逆否命题. (2)①可由数的运算规则判断,②可写出它的否命题判 断, ③④均可通过判断它的原命题的真假来判断其逆否命题 的真假. (1)其逆否命题为 ?若 a≠0 或 b≠0, 则 a2+b2≠0? . (2)①命题?若 xy=1,则 x、y 互为倒数?的逆命题是真命 题,因为两数互为倒数,其乘积必为 1;②命题?面积相等 的三角形全等?的否命题是真命题,因为面积不相等的三角 形一定不全等; ③命题 ?若 m≤1, 则 x2-2x+m=0 有实根? 的逆否命题是真命题,因为原命题中,m≤1 可得出

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第一章

Δ≥0,故原命题为真命题,由此知,其逆否命题也是 真命题;④命题?若 M∪N=N,则 N?M?的逆否命题是假命 题,因为命题?若 M∪N=N,则 N?M?是假命题,故其逆否
命题也是假命题,综上①②③是真命题. (1)D (2)C (1)在根据原命题写出其逆命题、 否命题和逆否命题 时,首先要把条件和结论分清楚,其次要把其中的关键词搞 清楚. (2)对于四种命题真假的判断,关键是分清命题的条件 和结论,然后再结合相关的知识进行判断;因为互为逆否命 题的两个命题具有相同的真假性,可利用逆否命题的真假, 判断原命题的真假. (1) ?若 x2>1, 则 x>1 或 x<-1? 的否命题为( ).

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第一章

A.若 x >1,则 x≤1 或 x≥-1 B.若 x2>1,则-1≤x≤1 C.若 x2≤1,则 x≤1 或 x≥-1 2 D.若 x ≤1,则-1≤x≤1 (2)与命题?若 a∈M,则 b?M?等价的命题是( ). A.若 a?M,则 b?M B.若 b?M,则 a∈M C.若 a?M,则 b∈M D.若 b∈M,则 a?M (1)命题 ?若 x2>1, 则 x>1 或 x<-1? 的否命题为 ?若 x2≤1,则-1≤x≤1? . (2)与命题?若 a∈M,则 b?M?等价的命题是其逆否命 题?若 b∈M,则 a?M? . (1)D (2)D

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第一章

题型二 充分条件与必要条件的判断 在△ABC 中, ?sin(A-B)cos B+cos(A-B)? sin B≥1?是?△ABC 是直角三角形?的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 根据和差公式和三角形的特点来判断. 因为 sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B=sin[(A-B)+ B]=sin A≥1,又因为 sin A≤1,所以 sin A=1,因为 0<A< π π,所以 A= ,故△ABC 为直角三角形;若△ABC 为直角 2 三角形,则 A 不一定为直角,也可能为锐角,则 sin A 不一 定取到最大值 1 ,即不一定有 sin(A - B)cos B + cos(A -

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第一章

B)?sin B≥1?是?△ABC 是直角三角形?的充分不必
要条件. A 充要条件的三种判断方法:①定义法,根据 p?q, q?p 进行判断.②集合法,根据 p,q 成立的对象的集合之 间的包含关系进行判断.③等价转化法,根据一个命题与其 逆否命题的等价性, 把判断的充要条件转化为其逆否命题进 行判断. 已知数列{an},那么?对任意的 n∈N*,点 Pn(n, an)都在直线 y=2x+1 上? 是 ?{an}为等差数列? 的( ). A.必要不充分条件 B.既不充分也不必要条件 C.充要条件 D.充分不必要条件

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第一章

若?对任意的 n∈N ,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x +1 上? ,则{an}为等差数列.如果{an}为等差数列,不一定 有对任意的 n∈N*,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上,所 以?对任意的 n∈N*,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上? 是?{an}为等差数列?的充分不必要条件. D 题型三 充分条件、必要条件的应用 已知命题 p:x2-5x-6≤0,命题 q:x2-2x+1 2 -4a ≤0(a>0),若┐p 是┐q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

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第一章

本题有两个思路:(1)先求出┐p 和┐q,然后根据 ┐q?┐p 求得 a 的取值范围; (2)┐p 是┐q 的必要不充分条 件,等价为 p 是 q 的充分不必要条件,即 p?q. 因为 x2-5x-6≤0,所以(x-6)(x+1)≤0, 所以 p:-1≤x≤6, 所以┐p:A={x|x<-1 或 x>6}. 2 2 因为 x -2x+1-4a ≤0, 所以[x-(1+2a)][x-(1-2a)]≤0, 又 a>0,所以 q:1-2a≤x≤1+2a, 所以┐q:B={x|x<1-2a 或 x>1+2a}. 因为┐p 是┐q 的必要不充分条件,

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第一章

?1+2a≥6, ? 5 所以 B 是 A 的真子集,所以?1-2a≤-1,解得 a≥ , 2 ? ?a>0, 5 经验证,a= 符合题意. 2 5 故 a 的取值范围为[ ,+∞). 2 利用充分条件、必要条件可以求参数的值或取值范 围,其依据是充分、必要条件的定义,其思维方式是(1)若 p 是 q 的充分不必要条件,则 p?q,但 q?/ p;(2)若 p 是 q 的必要不充分条件,则 q?p,但 p?/ q;(3)若 p 是 q 的 充要条件,则 p?q.

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第一章

1 不等式 <1 的解集记为 p,关于 x 的不等式 x2 x-1 +(a-1)x-a>0(a<0)的解集记为 q,若 p 是 q 的充分不必 要条件,则实数 a 的取值范围为________. 记 p: A={x|x>2 或 x<1}, q: B={x|(x+a)(x -1)>0}, ∵p?q 且 q?/ p,∴B={x|x>-a 或 x<1}, ? ?-a<2, ∴? 解得-2<a≤-1. ? ?-a≥1, (-2,-1]

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第一章

一、选择题 1.下列语句中是命题的是( ). A.周期函数的和是周期函数吗? B.梯形是不是平面图形呢? 2 C.x +2x-1>0 D.sin 45°=1 由命题的概念可知,疑问句不是命题,故排除选项 A、B,选项 C 中的语句不能判断真假,故选 D. D 2. ?a=1?是?函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上 为增函数?的( ).

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第一章

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 若 a=1,则函数 f(x)=|x-a|=|x-1|在区间[1, +∞)上为增函数;而若 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上 为增函数,则 a≤1,所以?a=1?是?函数 f(x)=|x-a| 在区间[1,+∞)上为增函数?的充分不必要条件. A 3. 命题 ?若 A=B, 则 sin A=sin B? 的逆否命题是( ). A.若 sin A≠sin B,则 A≠B B.若 sin A=sin B,则 A=B

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第一章

C.若 A=B,则 sin A≠sin B D.若 A≠B,则 sin A≠sin B 命题 ?若 A=B, 则 sin A=sin B? 的逆否命题是 ?若 sin A≠sin B,则 A≠B? . A

a2 n+1 4.若数列{an}满足 2 =p(p 为正常数,n∈N*),则称 an {an}为?等方比数列? .甲:数列{an}是等方比数列;乙:数 列{an}是等比数列,则( ).
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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第一章

显然等比数列一定是等方比数列,但等方比数列不 一定是等比数列,故甲是乙的必要不充分条件. B 5.给出命题:已知 a、b 为实数,若 a+b=1,则 ab 1 ≤ .在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题 4 的个数是( ). A.3 B.2 C.1 D.0 a+b 2 1 由 ab≤( ) ,得若 a+b=1,则有 ab≤ ,原命题是 2 4 1 真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若 ab≤ , 4

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第一章

1 则 a+b=1 不成立,反例 a=b=0 满足 ab≤ ,但不满 4 足 a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题. C 6.已知 p:x2-x<0,那么命题 p 的一个必要不充分条 件是( ). A.0<x<1 B.-1<x<1 1 2 1 C. <x< D. <x<2 2 3 2 x2-x<0,即 0<x<1,观察四个选项可知由 0<x<1 可 得到-1<x<1,反之不成立,所以命题 p 的一个必要不充分 条件是-1<x<1. B

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第一章

二、填空题 2 7.命题: ? 若 x <2 , 则 |x|< 2 ? 的 逆 否 命 题 是 ____________. 若|x|≥ 2,则 x2≥2 8.命题?若 m>0,则关于 x 的方程 x2+x-m=0 有实 数根?与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数 为________. 先写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题,逐一 判断.易知原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为 假命题. 2 9.给出下列命题: ①函数 y=f(x-2)与函数 y=f(2-x)的图象关于 x=2

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第一章

对称; ②函数 y=f(x)的导函数为 y=f′(x), 若 f′(x0)=0, 则 f(x0)必为函数 y=f(x)的极值; ③函数 y=sin x 在第一象限单调递增; ④y=tan x 在其定义域内为单调增函数. 其中正确的命题序号为________. 对于①,函数 y=f(x-2)表示的是将 y=f(x)右移 2 个单位得到,而函数 y=f(2-x)的图象是将 f(x)关于 y 轴对称,再向右移 2 个单位,因此可知其图象关于 x=2 对 称,成立. 对于②,比如三次函数 y=x3,在 x=0 处导数为零,但 不是极值点,故错误. 对于③,函数 y=sin x 在第一象限单调递增不成立,

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第一章

因为角不一定在一个单调区间内,有周期性,故错误. 对于④,y=tan x 在其定义域内为单调增函数.应该 是在每一个区间内递增,不满足单调性定义,错误.故填写 ①. ① 三、解答题 10.原命题:已知 x,y∈Z,若 y=x+1,则 x=2 且 y =3.写出它的逆命题,否命题与逆否命题,并判断其真假. 逆命题:已知 x,y∈Z,若 x=2 且 y=3,则 y=x +1,真命题; 否命题:已知 x,y∈Z,若 y≠x+1,则 x≠2 或 y≠3, 真命题; 逆否命题:已知 x,y∈Z,若 x≠2 或 y≠3,则 y≠x+

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第一章

1,假命题. 2 11. 是否存在实数 p, 使 ?4x+p<0? 是 ?x -x-2>0? 的充分条件?如果存在,求出 p 的取值范围.是否存在实数 p,使?4x+p<0?是?x2-x-2>0?的必要条件?如果存 在,求出 p 的取值范围. 解 x2-x-2>0,得 x>2 或 x<-1. 由 4x+p<0,得 x<- . 4 故当- ≤-1 时,由 x<- 可以推出 x<-1,从而推 4 4 2 出 x -x-2>0,故 p≥4. 故存在 p≥4 使得?4x+p<0?是?x2-x-2>0?的充

p

p

p

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第一章

分条件. 不存在实数 p,使?4x+p<0?是?x2-x-2>0?的必 要条件. 1 12. 已知集合 A={x∈R|0<ax+1≤5}, B={x∈R|- <x 2 ≤2}(a≠0). (1)A,B 能否相等?若能,求出实数 a 的值;若不能, 试说明理由. (2)若命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,且 p 是 q 的充分不 必要条件,求实数 a 的取值范围. 1 4 (1)当 a>0 时,A={x|- <x≤ },

a

a

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第一章

? ?-1=-1, 2 ? a 所以? ?a=2; ?4=2 ? ?a 4 1 当 a<0 时,A={x| ≤x<- },显然 A≠B. a a 故当 A=B 时,a=2. (2)由 p 是 q 的充分不必要条件,得 AB, 0<ax+1≤5?-1<ax≤4.

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第一章

? ?-1≥-1, 2 ? a 1 4 当 a>0 时,A={x|- <x≤ },则? 解得 a≥ a a ?4≤2, ? ?a 2,当 a=2 时不符,舍去,故 a>2; 4 1 当 a<0 时,A={x| ≤x<- }, a a ? ?4>-1, ?a 2 则? ?a<-8. ?-1≤2 ? ? a 综上,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范
围是(-∞,-8)∪(2,+∞).

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第一章

§1.3 逻辑联结词与全称、特称命题

1.逻辑联结词 了解逻辑联结词?或? ?且? ?非?的含义. 2.全称、特称命题 (1)理解全称量词与存在量词的意义. (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 一、含逻辑联结词的命题

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第一章

1. ?或?命题、 ?且?命题、 ?非?命题 若 p、q 表示命题,把__?p 或 q? ?p 且 q? ?非 p?__ 形式的命题分别简称为 ?或? 命题、 ?且? 命题、 ?非? 命题. 2. ?p 或 q? ?p 且 q? ?非 p?命题的真假 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 __真__ __真__ __假__ 真 假 __假__ __真__ __假__ 假 真 __假__ __真__ __真__ 假 假 __假__ __假__ __真__ 总结, ?且?命题:__全真__为真,__有假__即假; ?或?命题:__全假__为假,__有真__即真; ?非?命题: __真假__相反.

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第一章

3.常见词语的否定形式

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第一章

混淆?否命题?与?命题的否定? .否命题与命题的否 定不是同一个概念,否命题是对原命题?若 p,则 q?既否 定其条件,又否定其结论;而命题 p 的否定即非 p,只是否 定命题的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即 两者中有且只有一个为真, 而原命题与否命题的真假无必然 联系. 二、全称、特称命题 1.全称、特称命题的概念 (1)全称命题 ?对 M 中__任意__一个 x, 有 p(x)成立? . 简 记为__?x0∈M,p(x0)__. (2)特称命题 ?M 中__存在__的一个 x0, 使 p(x0)成立? . 简 记为__?x0∈M,p(x0)__.

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第一章

2.全称、特称命题的真假性判断 (1)要判断全称命题??x∈M,p(x)?是真命题,需要对 集合中__每一个__元素,证明 p(x)成立.如果在集合 M 中 找到一个元素 x0,使得 p(x0)不成立,那么这个全称命题就 是假命题. (2)要判断特称命题??x0∈M,p(x0)?是真命题,只需 在集合 M 中__找到一个__元素 x0,使得 p(x0)成立即可;如 果在集合 M 中,使 p(x)成立的元素 x 不存在(即对集合 M 中 每一个元素,能证明 p(x)不成立),那么这个特称命题就是 假命题. 3.全称、特称命题的否定 (1)全称命题 p: ?x∈M, p(x)的否定是__綈 p: ?x0∈M, 綈 p(x0)__;

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第一章

(2)特称命题 p: ?x0∈M, p(x0)的否定是__綈 p: ?x∈M, 綈 p(x)__. 常见错误: ①将全称或特称命题作为一般命题进行否定; ②有的全称或特称命题的全称量词可以不写, 从而在进行命 题否定时只否定判断词,而不否定省略了的全称或特称量 词. 如命题 ?三角形的两边之和大于第三边? 的否定应为 ?有 些三角形的两边之和小于或等于第三边?而不是?三角形的 两边之和小于或等于第三边? .

1. ?10≥7?的命题形式是( ). A. ?p 或 q?的形式 B. ?p 且 q?的形式

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第一章

C. ?非 p?的形式 D.以上都不对 10≥7 即 10>7 或 10=7. A 3 2.已知命题 p:?x>2,x -8>0,那么綈 p 是( ). 3 3 A.?x≤2,x -8≤0 B.?x0>2,x0-8≤0 C.?x>2,x3-8≤0 D.?x0≤2,x3 0-8≤0 因为全称命题的否定是特称命题, 所以命题 p: ?x>2, x3-8>0 的否定是?x0>2,x3 0-8≤0. B 3. 已知命题 ?p 或 q? 为真, ?非 p? 为假, 则必有( ). A.p 真 q 假 B.q 真 p 假 C.q 真 p 真 D.p 真,q 可真可假 命题?p 或 q?为真,说明 p 与 q 中至少有一个是真

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第一章

命题, ?非 p?为假说明 p 为真命题,所以 q 可真可假. D 4.若命题??x0∈R,x2 0+(a-1)x0+1<0?是假命题, 则实数 a 的取值范围是________. 由题意知原命题的否定? ?x ∈ R , x2 + (a - 1)x+ 1 ≥0?是真命题,所以Δ=(a-1)2-4≤0,即-1≤a≤3. [-1,3] 2 5.设 p:不等式 x +1>m 的解集为 R;q:函数 f(x) x =-(7-3m) 是减函数.若?p 或 q?为真命题, ?p 且 q? 为假命题,则实数 m 的取值范围是________. 2 因为 x +1>m 的解集为 R,若 p 真,则 m<1. 因为 f(x)为减函数,若 q 为真,则 7-3m>1,解得 m<2,

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第一章

因为?p 或 q?为真, ?p 且 q?为假,所以 p、q 一真一 假. 若 p 真 q 假,则 m<1 且 m≥2,m 不存在. 若 p 假 q 真,则 m≥1 且 m<2,所以 1≤m<2. 综上,m 的取值范围为[1,2). [1,2)

1.含逻辑联结词的命题(5 年 1 考) 2.全称、特称命题(5 年 1 考)

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第一章

1.含逻辑联结词的命题

(2013 年湖北卷)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员 各跳一次,设命题 p 是?甲降落在指定范围? ,q 是?乙降 落在指定范围? ,则命题?至少有一位学员没有降落在指定 范围?可表示为( ). A.(┐p)∨(┐q) B.p∨(┐q) C.(┐p)∧(┐q) D.p∨q ?至少有一位学员没有降落在指定范围?即?甲没有降 落在指定范围?或?乙没有降落在指定范围?或?甲乙都没 有降落在指定范围? .又命题 p 是?甲降落在指定范围? ,

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第一章

可知命题┐p 是?甲没有降落在指定范围? ;同理,命 题┐q 是?乙没有降落在指定范围? ,所以?至少有一位学 员没有降落在指定范围?可表示为(┐p)∨(┐q).故选 A. A 2.全称、特称命题 (2013 年重庆卷)命题?对任意 x∈R,都有 x2≥0?的否 定为( ). A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0 根据定义可知命题的否定为 ?存在 x0∈R, 使得 x2 0< 0? .

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第一章

D (2010 年新课标全国卷)已知命题 p1:函数 y=2 -2 x -x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2 +2 在 R 上为减函数, 则在命题 q1:p1∨p2, q2:p1∧p2, q3:(┐p1)∨p2 和 q4:p1 ∧(┐p2)中,真命题是( ). A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4 ∵y=2x 为增函数,y=2-x 为减函数,∴y=2x-2-x 为增函数,故 p1 为真. 5 对于 p2,当 x=0 时,y=2,当 x=1 时,y= ,∴y= 2 2x+2-x 不是减函数,故 p2 为假.
x
-x

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第一章

∴q1:p1∨p2 为真; q2:p1∧p2 为假; q3:(┐p1)∨p2 为假; q4:p1∧(┐p2)为真. C 本题将逻辑联结词和全称、特称命题综合在一起考查, 要注意根据全称、特称命题的真假确定参数的取值范围.

题型一 含逻辑联结词的命题 (1)命题 p:函数 y=log2(x -2x)的单调增区间是[1, 1 +∞),命题 q:函数 y= x 的值域为(0,1),下 3 +1
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第一章

列命题是真命题的为( ). A.p∧q B.p∨q C.p∧(┐q) D.┐q (2)已知 m>0,命题 p:函数 f(x)=logmx 是(0,+∞) 2 2 上的增函数,命题 q:g(x)=ln(mx - x+m)的定义域为 R, 3 且 p∧q 是假命题, p∨q 是真命题, 则实数 m 的范围是( ). 1 1 A.( ,+∞) B.(0, ] 3 3 1 1 C.(0, ]∪(1,+∞) D.( ,1] 3 3 (1)先判断命题 p、q 的真假,然后对用逻辑联结词 构成的命题进行真假判断.

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第一章

(2)利用已知命题的真假求参数的取值范围时,应首先 求出当命题 p、q 为真命题时所含参数的取值范围,然后确 定出命题 p、q 的真假性,最后根据 p 的真假、q 的真假求 出参数的取值范围,若有两种以上情形,则应取其并集. 2 2 (1)由 x -2x>0, 解得 x<0 或 x>2, 则函数 y=log2(x -2x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞);[1,+∞)不满足 定义域要求,则命题 p 是假命题;因为 3x>0,所以 3x+1>1, 1 1 0< x <1,所以函数 y= x 的值域为(0,1),则命题 q 3 +1 3 +1 是真命题.故选 B. (2)函数 f(x)=logmx 是(0,+∞)上的增函数,则 m>1,即 2 2 p:m>1,则┐p:m≤1;又命题 q:g(x)=ln(mx - x+ 3

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第一章

2 2 2 m)的定义域为 R,则 mx - x+m>0 恒成立,则(- ) - 3 3 1 1 1 2 4m <0 且 m>0,解得 m> 或 m<- (舍),即 q:m> ,则┐q:m 3 3 3 1 ≤ . 3 由 p∧q 是假命题, p∨q 是真命题, 得 p 与 q 一真一假. ?m>1, ? 若 p 真与 q 假,则? 1 解集为空集; m≤ , ? ? 3
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第一章

1 故实数 m 的取值范围为( ,1]. 3 (1)B (2)D (1)要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假, 需先 判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据? ‘或’ ——一真即真, ‘且’——一假即假, ‘非’——真假相对? 做出判断即可. (2)解决此类问题的关键是要准确地把每个条件所对应 的参数的取值范围求解出来,然后转化为集合的交、并、补 运算. (1)设命题 p: 方程 x2+3x-1=0 的两根符号不同; 命题 q:方程 x2+3x-1=0 的两根之和为 3,命题?綈 p? ?綈 q? ?p∧q? ?p∨q?中,假命题的个数为( ).

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第一章

A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知命题 p:关于 x 的函数 y=x2-3ax+4 在[1,+ ∞)上是增函数,命题 q:关于 x 的函数 y=(2a-1)x 在 R 上 为减函数,若 p 且 q 为真命题,则 a 的取值范围是( ). 2 1 A.(-∞, ] B.(0, ) 3 2 1 2 1 C.( , ] D.( ,1) 2 3 2 (1)方程 x2+3x-1=0 的判别式为Δ=32+4=13>0, 方程有两个根, 设为 x1, x2, 则 x1+x2=-3<0, x1x2=-1>0, 所以 p 真, q 假; 故綈 p、 p∧q 是假的, 綈 q、 p∨q 是真的, 即有 2 个假命题.

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第一章

3a (2)函数 y=x -3ax+4 是开口向上, 对称轴为 x= 的 2 抛物线, 要使函数 y=x2-3ax+4 在[1, +∞)上是增函数, 3a 2 需使 ≤1,即 a≤ ;若关于 x 的函数 y=(2a-1)x 在 R 上 2 3 1 为减函数,则 0<2a-1<1,即 <a<1;若 p 且 q 为真命题, 2 ? ?a≤2, ? 3 1 2 则 p,q 同时为真命题,所以? 即 <a≤ . 3 ?1<a<1, 2 ? ?2 (1)C (2)C
2

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第一章

题型二 全称、特称命题的真假与否定 (1)下列命题中的假命题是( ). x-1 A.?x∈R,2 >0 * 2 B.?x∈N ,(x-1) >0 C.?x0∈R,lg x0<1 D.?x0∈R,tan x0=2 (2)命题??x>0,x2+x>0?的否定是( ). A.?x0>0,使得 x2 0+x0>0 B.?x0>0,使得 x2 0+x0≤0 C.?x>0,都有 x2+x≤0 D.?x≤0,都有 x2+x>0 (1)根据量词的意义和函数的性质进行判断.

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第一章

(2)分析命题所含的量词,明确命题的类型,从量词和 结论两方面否定命题. (1)A 中,因为对于?x∈R,y=2x>0 恒成立,而 y= 2x-1 是将 y=2x 向右平移 1 个单位,函数的值域不变,故 2x- 1 2 >0 恒成立,为真命题;B 中,当 x=1 时,(x-1) =0,故 为假命题; C 中, 当 0<x<10 时, lg x<1, 故?x0∈R, lg x0<1, 为真命题;D 中,因为 tan x 的值域为 R,即?x0 使得 tan x0 =2 成立,为真命题. (2)全称命题 p:?x∈M,p(x)的否定綈 p:?x0∈M,綈 p(x0)是特称命题.排除 C、D,选择 B. (1)B (2)B (1)对于特称命题的判断, 只要能找到符合要求的元素使 命题成立,即可判断该命题成立,对于全称命题的判断,

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第一章

必须对任意元素证明这个命题为真, 且只要找到一个特 殊元素使命题为假,即可判断该命题不成立. (2)全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全 称命题. (1)下列命题中,为真命题的是( ). π A.?x0∈[0, ],sin x0+cos x0≥2 2 π B.?x∈( ,π),tan x>sin x 2 C.?x0∈R,x2 0+x0=-1 D.?x∈R,x2+2x>4x-3 (2)命题??x0∈R,x2 ). 0+4x0+5≤0?的否定是( 2 A.?x0∈R,x0+4x0+5>0

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2

第一章

B.?x0∈R,x0+4x0+5≤0 C.?x∈R,x2+4x+5>0 D.?x∈R,x2+4x+5≤0 (1)因为选项 A 中,最大值为 2,不成立;选项 B 中,正切值为负数,正弦值为正数,不成立;选项 C 中,没 有解,错误,故选 D. (2)根据特称命题的否定形式可知命题 ??x0∈R, x2 0+4x0 2 +5≤0?的否定为??x∈R,x +4x+5>0? . (1)D (2)C 与逻辑联结词、全(特)称命 题型三 题有关的参数问题 已知命题 p:对?m∈[-1,1],不等式 a2-5a

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第一章

-3≥ m2+8;命题 q:?x0,使不等式 x2 0+ax0+2<0; 若 p 是真命题,q 是假命题,求 a 的取值范围. 通过全称、 特称命题的真假性, 确定 a 的取值范围. 2 因为 m∈[-1,1],所以 m +8∈[2 2,3]. 2 2 因为?m∈[-1,1],不等式 a -5a-3≥ m +8, 所以 a2-5a-3≥3,解得 a≥6 或 a≤-1. 故当命题 p 为真命题时,a≥6 或 a≤-1. 又命题 q:?x0,使不等式 x2 0+ax0+2<0, 2 所以Δ=a -8>0,即 a>2 2或 a<-2 2, 从而当命题 q 为假命题时,-2 2≤a≤2 2. 所以当命题 p 为真命题,q 为假命题时,a 的取值范围 为[-2 2,-1].

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第一章

根据命题的真假求参数的范围,可以根据原命题确 定参数的范围, 也可以直接根据原命题得出真命题确定参数 的范围. 已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负 2 根; 命题 q: 方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根. 若 ?p 或 q? 为真, ?p 且 q?为假,求 m 的取值范围. 2 若方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根, 2 ? ?Δ=m -4>0, 则? 所以 m>2,即 p:m>2. ? ?-m<0, 2 若方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根, 2 则Δ=16(m-2) -16<0,即 1<m<3, 所以 q:1<m<3. 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,

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第一章

所以 p、q 一真一假,即 p 真 q 假或 p 假 q 真. ? ? ?m>2, ?m≤2, 所以? 或? ? ?m≤1或m≥3 ? ?1<m<3, 即 m≥3 或 1<m≤2. 故 m 的取值范围为(1,2]∪[3,+∞).

一、选择题 1.若 p 是真命题,q 是假命题,则(

).

A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题

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第一章

C.┐p 是真命题 D.┐q 是真命题 根据复合命题的真假判断方法:且命题有假则假; 或命题有真则真;非命题是真假相反.所以应选 D. D 2.命题 p:x=π是 y=|sin x|的一条对称轴,q:2 π是 y=|sin x|的最小正周期,下列命题:①p 或 q,②p 且 q,③非 p,④非 q,其中真命题的个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.3 依题意知 p 真 q 假,所以①④为真命题,真命题的 个数为 2. C 3.命题 p:|x|=x 的充要条件是 x 为非负实数;q:奇 函数的图象一定关于原点对称,则假命题是( ).

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第一章

A.p 或 q B.p 且 q C.┐p 且 q D.┐p 或 q p 为真,q 为真,根据复合命题的判断方法可知┐p 且 q 是假命题. C 1 4.已知命题 p:?x0∈R,使 sin x0< x0 成立,则┐p 为 2 ( ). 1 A.?x∈R,sin x≥ x 均成立 2 1 B.?x∈R,sin x< x 均成立 2

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第一章

1 C.?x0∈R,使 sin x0≥ x0 成立 2 1 D.?x0∈R,使 sin x0= x0 成立 2 原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即┐p: 1 ?x∈R,sin x≥ x. 2 A 5.已知命题 p:?x0∈R,sin x0+ 3cos x0=2,命题 q: {x|x2-x-1=0}有三个子集,下列结论:①命题?p∧q? 是真命题;②命题?p∧(┐q)?是假命题;③命题?(┐p) ∨(┐q)?是真命题.其中正确的个数是( ). A.3 B.2 C.1 D.0

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第一章

∵sin x+ 3cos x≤2,∴命题 p 为真命题,綈 p 为假命题. ∵方程 x2-x-1=0 有两个不等根, ∴{x|x2-x-1=0} 有四个子集,∴命题 q 为假命题,┐q 为真命题.由此可判 断①②不正确,③正确,故选 C. C 6.有四个关于三角函数的命题: 1 2x0 2x0 p1:?x0∈R,sin +cos = ; 2 2 2 p2:?x0、y0∈R,sin(x0-y0)=sin x0-sin y0; 1-cos 2x p3:?x∈[0,π], =sin x; 2

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第一章

π p4:sin x=cos y?x+y= . 2 其中假命题是( ). A.p1,p4 B.p2,p4 C.p1,p3 D.p2,p3 1 p1:?x0∈R,sin +cos = 是假命题;p2 是真命 2 2 2 题,如 x0=y0=0 时成立;p3 是真命题,∵?x∈[0,π],sin 1-cos 2x x≥0,∴ = sin2x=|sin x|=sin x;p4 是假 2 π π 命题,如 x= ,y=2π时,sin x=cos y,但 x+y≠ . 2 2 A
2 0 2 0

x

x

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第一章

二、填空题 2 7.若 p:?x0∈R,x0+2x0+2≤0,则綈 p 为________. 特称命题?x0∈M,p(x0)的否定是?x∈M,綈 p(x), 故綈 p 为?x∈R,x2+2x+2>0. ?x∈R,x2+2x+2>0 1 a 8.已知集合 A={1,2 },B={a,b},若 A∩B={ }, 2 则 A∪B=________. 1 1 1 a 因为 A∩B={ },所以 ∈A,即 2 = ,所以 a=- 2 2 2 1 1 1 1. ∈B,所以 b= ,所以 A∪B={-1, ,1}. 2 2 2

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第一章

1 {-1, ,1} 2

x-1 9.设 p:|2x+1|>a,q: >0,使得 p 是 q 的必 2x-1 要不充分条件的实数 a 的取值范围是________. x-1 1 对命题 q,由 >0,得 x>1 或 x< ;对命题 p:当 2x-1 2 a<0 时有 x∈R, 显然 p 是 q 的必要不充分条件; 当 a≥0 时, a-1 a+1 不等式|2x+1|>a 转化为 x> 或 x<- ,此时
2 2

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第一章

? ?-a+1≥1, 2 2 ? 若 p 是 q 的必要不充分条件, 则有? 且不同 a - 1 ? ≤1, ? ? 2 时取等号,解得 a∈?.综上:a<0. (-∞,0) 三、解答题 10.在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 Sm,Sm+2, Sm+1 成等差数列,则 am,am+2,am+1 成等差数列. (1)写出这个命题的逆命题. (2)判断逆命题是否为真?并给出证明. (1)逆命题:在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列.

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第一章

(2)设数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 由题意知:2am+2=am+am+1, 即 2?a1?qm+1=a1?qm-1+a1?qm, 1 ∵a1≠0,q≠0,∴2q -q-1=0,∴q=1 或 q=- . 2 ①当 q=1 时,有 Sm=ma1,Sm+2=(m+2)a1,Sm+1=(m+ 1)a1. 显然:2Sm+2≠Sm+Sm+1,此时逆命题为假. 1 ②当 q=- 时,有 2
2

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第一章

1 m+2 2a1[1-(- ) ] 2 4 1 m+2 2Sm+2= = a1[1-(- ) ], 1 3 2 1+ 2 1 m 1 m+1 a1[1-(- ) ] a1[1-(- ) ] 2 2 Sm+Sm+1= + 1 1 1+ 1+ 2 2 4 1 m+2 = a1[1-(- ) ], 3 2 ∴2Sm+2=Sm+Sm+1,此时逆命题为真. 11.已知命题 p:方程 x2-2 2x+1=0 的两个根都为

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第一章

实数; 命题 q: 方程 x2-2 2x+1=0 的两个根不相等. 写出命题?p 或 q? 、命题?p 且 q? 、命题?非 p?形式 的复合命题,并指出其真假. p 或 q:方程 x2-2 2x+1=0 的两个根都为实数, 或两根不相等,真; 2 p 且 q: 方程 x -2 2x+1=0 的两个根为实数且不相等, 真; 非 p: 方程 x2-2 2x+1=0 的两个根不都为实数, 假. 12. 已知 c>0, 设命题 p: 函数 y=cx 为减函数. 命题 q: 1 1 1 当 x∈[ , 2]时, 函数 f(x)=x+ > 恒成立. 如果 ?p 或 q? 2 x c 为真命题, ?p 且 q?为假命题,求 c 的取值范围.

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第一章

由命题 p 为真知,0<c<1; 1 5 1 由命题 q 为真知, 2≤x+ ≤ , 要使此式恒成立, 需 <2, x 2 c 1 1 即 c> 或 c<0,又 c>0,所以 c> . 2 2 若?p 或 q?为真命题, ?p 且 q?为假命题,则 p、q 必 一真一假, 1 当 p 真 q 假时,c 的取值范围是 0<c≤ ; 2 当 p 假 q 真时,c 的取值范围是 c≥1. 1 综上可知,c 的取值范围是{c|0<c≤ 或 c≥1}. 2

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第一章

单 元 总 结

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第一章

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第一章

(2013 年新课标全国Ⅱ卷)设集合 A={x|x>3},

x-1 B={x| <0},则 A∩B 等于( x-4

).

A.? B.(3,4) C.(-2,1) D.(4,+∞) x-1 B={x| <0}={x|(x-1)(x-4)<0}={x|1<x<4}, x-4 所以 A∩B=(3,4). B

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第一章

x-a 设集合 A={x|x>3}, B={x| <0}, 若 A∩B=(3, x-4 4),则实数 a 的取值范围是( ).
A.? B.(3,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3] x-a 2 若 a=4,则 B={x| <0}={x|(x-4) <0}=?, x-4 显然不成立; 若 a>4,则 B={x|4<x<a},显然不成立; x-a 若 a<4 ,则 B = {x| <0} = {x|(x - a)(x - 4)<0} = x-4 {x|a<x<4},根据 A∩B=(3,4)得 a≤3. D

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第一章

数形结合的思想 在解决一些集合问题时,求数集常用的方法为数轴法, 取交并集,如果是点集,常常通过画出函数的图象,观察图 象的交点以及位置关系来解决问题.Venn 图法在解决有限 集之间的关系时也会经常用到. 向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结 果:赞成 A 的人数是全体的五分之三,其余的不赞成;赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都 不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人,对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?

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第一章

3 赞成 A 的人数为 50? =30, 赞成 B 的人数为 30+3 5 =33,如图:

记 50 名学生组成的集合为 U,赞成事件 A 的学生全体 为集合 A,赞成事件 B 的学生全体为集合 B. 设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、B 都不赞成 的学生人数为 +1,赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30-x,赞 3 成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x,依题意(30-x)+(33-

x

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第一章

x)+x+ +1=50,解得 x=21.

x

3 所以对 A、 B 都赞成的同学有 21 人, 都不赞成的有 8 人.

一、选择题

1.若集合 A={-2,-1,0,1,2},集合 B={0,1, 2,3},则 A∩B=( ). A.{1,2,3} B.{0,1,2}

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第一章

C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} A∩B 表示既在集合 A 中又在集合 B 中的元素组成的 集合,故 A∩B={0,1,2}. B 2.命题 p:?x∈[0,+∞),(log32)x≤1,则( ). A.p 是假命题,綈 p:?x0∈[0,+∞),(log32)x0>1 B.p 是假命题,綈 p:?x∈[0,+∞),(log32)x≥1 C.p 是真命题,綈 p:?x0∈[0,+∞),(log32)x0>1 D.p 是真命题,綈 p:?x∈[0,+∞),(log32)x≥1 结合指数函数的值域可知该命题为真,再根据全称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 可 知 綈 p : ?x0 ∈ [0 , + ∞ ) , (log32)x0>1,选 C. C

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2

第一章

3.已知集合 P={x|x ≤1},M={a},若 P∪M=P,则 a 的取值范围是( ). A.(-1,1) B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) P={x|x2≤1}=[-1,1],又因为 P∪M=P,所以 M?P,故 a∈[-1,1]. C 4.若集合 M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0 且 x-2y-1≤0,x,y∈M},则 N 中元素的个数为( ). A.9 B.6 C.4 D.2 画出集合 N 所表示的可行域,知满足条件的 N 中的 点只有(0,0)、(1,0)、(1,1)和(2,1)四个点. C

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2

第一章

5.已知集合 M={x|x=n ,n∈N},若对任意的 a∈M, b∈M,有 a⊕b∈M,则运算⊕可能是( ). A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 两个自然数的平方数的乘积还是自然数的平方数. C →|=|→ 6.在△ABC 中, ?→ AB?→ AC=→ BA?→ BC?是?|AC BC|? 的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 → →? → 因为→ AB? AC=BA BC, 所以|→ AB||→ AC|cos A=|→ BA||→ BC|cos

b2+c2-a2 a2+c2-b2 B,所以 b? =a? ,化简得 b=a, 2bc 2ac

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第一章

即|→ AC|=|→ BC|,反之也成立,故答案为 C. C 7.已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1} 和 N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是( ). 由 N={x|x2+x=0},得 N={-1,0},则 N?M. B 8.命题 p:?x0∈R,使得 x2 0+x0+1<0,命题 q:?x∈ π (0, ),x>sin x.则下列命题中真命题为( ). 2

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第一章

x2+x+1<0 在实数范围内无解,故命题 p 为假命 题,┐p 为真命题.利用单位圆和正弦函数的定义可知 q 为 真命题(x 表示弧长,sin x 用正弦线表示),可见(┐p)∧q
为真. D 9.下列命题中是假命题的是( ). A.?x>0,有 ln2x+ln x+1>0 B.?α,β∈R,使 cos(α+β)=cos α+sin β C. ?a2<b2?是?a<b?的必要不充分条件 2 D.?m∈R,使 f(x)=(m-1)?xm -4m+3 是幂函数, 且在(0,+∞)上递减 A 中,?x∈R,有 x2+x+1>0,因此,?x>0,有 ln2x+ ln x+1>0.B 中,?α,β∈R,使 cos(α+β)=cos α

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第一章
2 2

+sin β,如当两个角均为 0 时,成立.C 中, ?a <b ? 是?a<b?的既不充分也不必要条件.D 中,当 m=2 时成立. C 10.已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中 有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为( ). A.mn B.m+n C.n-m D.m-n 因为 A∩B=?U[(?UA)∪(?UB)],所以 A∩B 共有 m-n 个元素,故选 D. D 11.下列说法错误的是( ). 2 A. 命题 ?若 x -3x+2=0, 则 x=1? 的逆否命题为 ?若 x≠1,则 x2-3x+2≠0? B.命题 p 为?存在 x0∈R,使得 x2 ,则 p 0+x0+1<0?

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2

第一章

为?任意 x∈R,均有 x +x+1≥0? C.若 a≠0,则?a?c=a?b?是?b=c?的充要条件 D.若?p 且 q?为假命题,则 p,q 至少有一个为假命 题 由逆否命题的定义可知,A 正确;由命题的否定, 可知 B 正确;若 a?c=a?b,则 c 与 b 不一定相等,故 C 不正确;若?p 且 q?为假命题,则 p,q 至少有一个为假命 题,所以 D 正确,故选 C. C 12.下列命题中,假命题为( ). A.存在四边相等的四边形不是正方形 B.z1,z2∈C,z1+z2 为实数的充分必要条件是 z1,z2 互为共轭复数

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第一章

C.若 x,y∈R,且 x+y>2,则 x,y 至少有一个大于 1 0 1 n D.对于任意 n∈N+,Cn+Cn+…+Cn都是偶数 空间四边形四边相等,但不是正方形,故 A 为真命 题;令 z1=1+bi,z2=3-bi(b∈R),显然 z1+z2=4∈R, 但 z1,z2 不互为共轭复数,B 为假命题;假设 x,y 都不大于 1,则 x+y≤2,故与题设条件?x+y>2?矛盾,假设不成 1 n n 立,故 C 为真命题;C0 n+Cn+…+Cn=2 为偶数,故 D 为真命 题.选 B. B 二、填空题 3 π 13. ?tan x= ? 是 ?x=2kπ+ (k∈Z)? 成立的______ 3 6 条件.

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第一章

3 π π 由 tan x= 解得 x=kπ+ (k∈Z), x=2kπ+ 3 6 6 π (k∈Z)(取值集合中元素少一点)能够推出 x=kπ+ (k∈ 6 Z)(取值集合中元素多一点),而反过来不成立. 必要不充分 14.已知集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1, a2+1},若 A∩B={-3},则实数 a 的值为________. 因为集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1, a2+1},A∩B={-3},所以 a-3=-3,即 a=0,此时不 符合,或 2a-1=-3,a=-1,符合,所以 a=-1. -1 15.命题?存在实数 x0,满足不等式(m+1)x2 0-mx0+m

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第一章

-1≤0?是假命题,则实数 m 的取值范围是________. 依题意, ?对任意的实数 x, 都满足不等式(m+1)? x2 -mx+m-1>0?是真命题, ? ?m+1>0, 则必须满足? 2 ? ?Δ=(-m) -4(m+1)(m-1)<0, 2 3 解得 m> . 3 2 3 ( ,+∞) 3 16.有下列命题: ①?若 m>0,则方程 x2+2x-m=0 有实数根?的逆否命 题;

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第一章

②?x=1?是?x -3x+2=0?的充分不必要条件; ③?矩形的对角线相等?的逆命题; ④全称命题??x∈R,x2+x+3>0?的否定是??x0∈R, x2 . 0+x0+3≤0? 其中真命题的序号是________. 若 m>0,则方程 x2+2x-m=0 的根的判别式Δ=4 2 +4m>0,则原方程有实数根,即原命题?若 m>0,则方程 x +2x-m=0 有实数根?为真命题,故其逆否命题也是真命 题.即①为真命题. 当 x=1 时,x2-3x+2=0;但当 x2-3x+2=0 时,x =1 或 x=2,则?x=1?是?x2-3x+2=0?的充分不必要 条件.即②为真命题. ?矩形的对角线相等?的逆命题为?对角线相等的四边

高考第一轮复习用书·数学(理科)

第一章

形为矩形? ,当四边形为等腰梯形时,其对角线相等, 故 ?矩形的对角线相等? 的逆命题为假命题. 即③为假命题. 全称命题??x∈R ,x2+x+3>0?的否定是??x0∈R , x2 ,即④为真命题.故真命题的序号为①②④. 0+x0+3≤0? ①②④ 三、解答题 17. 设原命题为 ?若 a<b, 则 a+c<b+c? . (其中 a、 b、 c∈R) (1)写出它的逆命题、否命题和逆否命题; (2)判断这四个命题的真假; (3)写出原命题的否定. (1)逆命题:若 a+c<b+c,则 a<b. 否命题:若 a≥b,则 a+c≥b+c.

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第一章

逆否命题:若 a+c≥b+c,则 a≥b. (2)这四个命题均为真命题. (3)否定:若 a<b,则 a+c≥b+c. 18.设命题 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0, 其中 a<0; 命题 q:实数 x 满足 x2+2x-8>0,且綈 p 是綈 q 的必要不 充分条件,求实数 a 的取值范围. 设 A={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)}={x|3a<x<a},B= {x|x2+2x-8>0}={x|x<-4 或 x>2}. 因为 p 是綈 q 的必要不充分条件,所以 q 是 p 的必要 不充分条件,即 A ? B,所以 3a≥2 或 a≤-4, 又 a<0,所以实数 a 的取值范围是(-∞,-4]. 19. 设全集是实数集 R, A={x|2x2-7x+3≤0}, B={x|x2 +a<0}.

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第一章

(1)当 a=-4 时,求 A∩B,A∪B. (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围. 1 (1)A=[ ,3],当 a=-4 时,B=(-2,2),故 A 2 1 ∩B=[ ,2),A∪B=(-2,3]. 2 (2)由(?RA)∩B=B,知 B??RA. ①B=?,a≥0; ②当 a<0 时,B=(- -a, -a),B??RA,?RA=(- 1 1 1 ∞, )∪(3,+∞),只要满足 -a≤ ?a≥- ,则 a∈[- 2 2 4 1 ,0). 4

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第一章

1 综上所述 a∈[- ,+∞). 4 π 2 π 20.已知函数 f(x)=4sin ( +x)-2 3cos 2x-1, 4 4 π ≤x≤ . 2 (1)求 f(x)的的值域; (2)条件 p: f(x)的值域, 又给定条件 q: |f(x)-m|<2, 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. π (1)∵f(x)=2[1-cos( +2x)]-2 3cos 2x-1= 2 π 2sin 2x-2 3cos 2x+1=4sin(2x- )+1, 3

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第一章

π π π π 2π 又∵ ≤x≤ ,∴ ≤2x- ≤ , 4 2 6 3 3 π 即 3≤4sin(2x- )+1≤5. 3 ∴f(x)的值域为[3,5]. (2)∵|f(x)-m|<2,∴m-2<f(x)<m+2, ? ?m-2≤3, 又∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴? 解得 3≤m ? ?m+2≥5, ≤5. 21.已知集合 A={t|关于 x 的不等式 x +2tx-4t-3 ≥0 恒成立},集合 B={t|关于 x 的方程 x2+2tx-2t=0 有 实根}. (1)求 A∩B;
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第一章

(2)设 m 为实数, g(m)=m -3, 求 M={m|g(m)∈(A∩B)}. 2 (1)要使 x +2tx-4t-3≥0 恒成立,则只要使 Δ1=(2t)2-4(-4t-3)≤0,解得-3≤t≤-1. 故集合 A={t|-3≤t≤-1}. 要使方程 x2+2tx-2t=0 有解, 则只要使Δ2=(2t)2-4?(-2t)≥0, 解得 t≥0 或 t≤-2, 故集合 B={t|t≥0 或 t≤-2}, 所以 A∩B={t|-3≤t≤-2}. (2)设 g(m)=u,则问题(2)可转化为: 已知函数 u=g(m)的值域 u∈[-3, -2], 求其定义域. 令-3≤m2-3≤-2, 可解得:-1≤m≤1. 所以,M={m|-1≤m≤1}.

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第一章

1 22.设命题 p: ?函数 f(x)=lg(ax -x+ a)的定义域 16 为 R? ,命题 q: ?不等式 2x+1<1+ax 对任意正实数 x 均 成立? ,如果命题?p 或 q?为真命题,命题?p 且 q?为假 命题,求实数 a 的取值范围. 1 2 当 a=0 时, 显然不成立; 当 a≠0 时, 由 ax -x+ 16 a>0 恒成立,则 a>0 且Δ<0,得 a>2,所以命题 p 为真 时 a>2.
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由 2x+1<1+ax 对一切正实数均成立, 令 t= 2x+1>1, 2 则 x= ,所以 t<1+a? ,即 a> 对一 2 2 t+1

t2-1

t2-1

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第一章

切 t>1 均成立,所以 a≥1,则命题 q 为真时 a≥1. 由条件知,命题 p、q 一真一假,p 真 q 假时不存在,p 假 q 真时 1≤a≤2. 所以实数 a 的取值范围为 1≤a≤2.


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