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2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (1)

时间:2016-02-21


2015 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00—11:30) 题号 得分 评卷人 复核人 注意: 1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 2.请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; 3.书写不要超过装订线; 4.不得使用计算器. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分,请将答案填在答题卡的相应位置.

1..函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3| ?e? x , x ? R 的最小值是 2.设 x1 ? 1, xn ? . 一 二 9 10 11 12 总分

xn ?1 ? 1 . , n ? 2 ,数列 {xn } 的通项公式是 xn ? 2 xn?1 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设平面向量 ? , ? 满足 1 ?| ? |,| ? |,| ? ? ? |? 3 ,则 ? ? ? 的取值范围是 4.设 f ( x) 是定义域为 R 且最小正周期 2? 的奇函数,并且 f (3) ? f (4) ? 0 ,则 f ( x) 在 [0,10] 中至少
有 个零点. 5.设 a 为实数,且关于 x 的方程 (a ? cos x)(a ? sin x) ? 1 有实根,则实数 a 的取值范围是 6.给定定点 P(0,1) ,动点 Q 满足线段 PQ 的垂直平分线与抛物线 y ? x 2 相切,则动点 Q 的轨迹方 程是 7.设 z ? x ? yi 为复数,其中 x, y 是实数, i 是虚数单位,其满足 z 的虚部和 条件的复平面上的点集 ( x, y ) 所构成区域的面积是 8.设 n 是正整数,把男女乒乓球选手各 3n 人配成男双、女双、混双各 n 对,每位选手均不兼项,则配对 方式总数是 . 二、解答题:本大题共 4 小题,共 86 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9(本小题满分 20 分)
2 设正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 ,求证: a ?

z ?i 的实部均非负,则满足 1? z

1 1 ? b2 ? ? 3 . a b

10(本小题满分 22 分) 在如图所示的多面体 ABCDEF 中,已知 AD, BE, CF 都与平面 ABC 垂直, 设 AD ? a,BE ? b,CF ? c , AB ? AC ? BC ? 1 .求四面体 ABCE 与 BDEF 公共部分的体积(用 a, b, c 表示).

11(本小题满分 22 分) 设平面四边形 ABCD 的四边长分别为 4 个连续的正整数.证明:四边形 ABCD 的面积的最大值不是 整数。

12(本小题满分 22 分) 已知 31 位学生参加了某次考试,考试共有 10 道题,每位学生解出了至少 6 道题.求证:存在两位 学生,他们解出的题目中至少有 5 道相同.

试题解答
一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1.当 x ? ?3 时, f ( x) ? ?2 x ? 4 ? e? x , f ?( x) ? ?2 ? e? x ? 0 , 因此 f ( x ) 单调减;当 ?3 ? x ? ?1 时,

f ( x) ? 2 ? e? x , f ?( x) ? ? e? x ? 0 ,此时 f ( x) 亦单调减;当 x ? ?1 时, f ( x) ? 2x ? 4 ? e? x , f ?( x) ? 2 ? e? x . 令 f ?( x) ? 0 得 x ? ? ln 2, 因此 f ( x) 在 x ? ? ln 2 处取得最小值 6 ? 2 ln 2
2.设 u ? a ? cos x, v ? a ? sin x . 方程有实根 ? 双曲线 uv ? 1 与圆 (u ? a) 2 ? (v ? a) 2 ? 1 有公共交 点. 注意到圆的圆心位于直线 y ? x 之上,只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 易计算得, 圆与双曲线切于 A(1,1)点时,圆心坐标为 1 ? 标为 ?1 ?

2 2 或1 ? .圆与双曲线切于 B(?1, ?1) 点时,圆心坐 2 2

2 2 或 ?1 ? . 2 2
2 2 2 2 , ?1 ? ] ? [1 ? ,1 ? ]. 2 2 2 2

因此,实数 a 的取值范围为 [?1 ?

3.由 xn ? 1 ? 3 故 xn ?

xn?1 ? 1 x ? 1 3 xn ?1 ? 1 2x ?1 3 和 2 xn ? 1 ? 2 n ?1 ,可得 n ? ? ( )n?2 . 2xn ? 1 2 2 xn ?1 ? 1 2 2 xn?1 ? 4 2 xn?1 ? 4

2 n?2 ? 3n?2 . 2 ? 3n?2 ? 2 n?2

? ? ? ? 1 ? ?2 1? 9 ? 9 17 ? ? 1 ? ? 9 (| ? ? ? | ? | ? |2 ? | ? |2 ) ? ? ? . ? ? ? ? (| ? ? ? |2 ? | ? ? ? |2 ) ? . 2 2 2 4 4 17 9 ? ? , ]. 以上等号均可取到.故 ? ? ? 的取值范围是 [ ? 2 4
4. ? ? ? ? 5.由题设可知 f (? ? x) ? f (?? ? x) ? ? f (? ? x) .令 x ? 0 ,得 f (? ) ? 0 .另一方面,

? ?

f (2? ? 4) ? f (?4) ? ? f (4) ? 0. 类似地, f (2? ? 3) ? 0 因此, f ( x) 在 [0,10] 中的零点一定包 含 0,2π ? 4,3, π,2π ? 3,4,2π,4π ? 4,2π ? 3,3π,4π ? 3 这 11 个零点.
6.设 PQ 的垂直平分线 l 与抛物线 y ? x 相切于 (t , t 2 ) ,切向为 (1, 2t ) . 则 l 的方程为
2

y ? 2t ( x ? t ) ? t 2 .设 Q( x, y) ,由 PQ 与 l 垂直且 PQ 中点在 l 上,可得

① ? x ? 2 t ( y? 1 )? 0 ? . ?1 ( y ? 1 )? t x ? 2t ② ? ?2 x 由 ① 解得 t ? ,代入 ② 得 Q 的轨迹方程为 2 ? 2y
1 (2 y ? 1) x 2 ? 2( y ? 1)( y ? 1) 2 ? 0 , y ? [ ?1, ] . 2

1 1 1 z ?i x ? ( y ? 1)i x(1 ? x) ? ( y ? 1) y ) ? Re( )? ? 0 等价于 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 2 2 2 2 2 1? z 1 ? x ? yi (1 ? x) ? y 3? ? 2 又由于 y ? 0 ,故满足条件的点集构成了圆的一部分,计算得其面积为 . 8
7. Re(
2n 8.从 3n 名男选手中选取 2 n 人作为男双选手有 C3 n 种选法,把他们配成 n 对男双选手有

(2 n )! 种配 2n n !

对方式.女选手类似.把 n 个男选手和 n 个女选手配成 n 对混双有 n ! 种配对方式.因此,配对方式总 数是 (C3n C2 n
2n n

n! 2 (3n)! ) n! ? . n 2 (n !)3 22 n

二、 解答题(第 9 题 20 分,第 10━12 题每题 22 分,共 86 分) 9.证明:【方法一:】对任意 a ? (0,1) ,由均值不等式有

1 1 ? 2 4a ? ? 4. ----------------------------------(5 分) a a 1 1 2 2 2 因此, a ? ? a ? 4a ? 4a ? ? a ? 4a ? 4 ? 2 ? a .------------(15 分) a a 1 2 同理,对于任意 b ? (0,1) , b ? ? 2 ? b. b 1 1 2 2 因此, a ? ? b ? ? 2 ? a ? 2 ? b ? 3 .---------------------(20 分) a b 1 2 2 也可以由 4a ? 4a ? 1 ? 0 ? a ? ? 2 ? a 推得 a 4a ?
8 2 ? ? 1 1 1 1 1 2 2 3 ??? ? 9 9 a ? ?? ? ? 9? 2 a 3 【方法二:】 a ? ? a ? a 8 a 8 a 8 a 8 a ????? ? ? ?? ? 2 8个 8个

1 ? 1 1 2 所以, a ? ? 3 ? 2 a ,同理 b ? ? 3 ? 2 b 3 a b 2

4 ? 3

1 ? 3

4 ? 3

所以, a 2 ?

4 1 1 4 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 1 ? b2 ? ? 3 ? 2 3 (a 3 ? b 3 ) ? 3 ? 2 3 ? 2 a 3 b 3 a b 1 1 1 ? ? ? a ? b ?1 3 6 3 ? 3 ? 2 (ab) ? 3 ? 2 ( ) 3 ?3 2

【方法三:】因为 1 ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 所以 ( a ?
2

1 4

1 1 1 1 1 a 2 b2 ? b 2 ? ) 2 ? a 2 ? b 2 ? ? ? 2 a 2b 2 ? ? ? a b a b ab b a a ?b 1 a 3 ? b3 ? 2 a 2b 2 ? ? ab ab ab

? (a ? b)2 ? 2ab ?

a ?b 1 (a ? b)3 ? 3ab(a ? b) ? 2 a 2b2 ? ? ab ab ab 1 1 1 ? 3ab ? 1 ? 2ab ? ? 2 a 2b2 ? ? ab ab ab 1 2 ? 1 ? 2ab ? ? 2 a 2b2 ? ? 3 ab ab 1 1 1 63 ? 1 ? 2ab ? ? 2 a 2b2 ? ? ? ?3 ab 64ab 64ab 32ab ? (a ? b)2 ? 2ab ?
1 1 1 1 63 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 3 3 a 2b 2 ? ? ? ?3 ? 9 4 1 64ab 64ab 32 ? 1 4 4
所以, a ?
2

1 1 ? b2 ? ? 3 a b
2

【方法四:】先证 a ?

1 1 9 ? b2 ? ? ,方法同方法三的后面,再用均值不等式 a b 4

10.设 AE ? BD ? G, BF ? CE ? H ,则四面体 BEGH 是 ABCE 与 BDEF 的公共部分. -----------------------------------------------------(5 分) 易计算得: G 到直线 AB 的距离 d 1 ?

ab ,---------------------------------(10 分) a?b

3d1 , ------------------------------------------(15 分) 2a bc b ? d3 H 到直线 BC 的距离 d 3 ? , S ?BEH ? .----------------(20 分) b?c 2 S d 3b3 因此, VBEGH ? ?BEH 2 ? .---------------------(22 分) 3 12(a ? b)(b ? c)
G 到平面 BCFE 的距离 d 2 ?
11.不妨设 ABCD 是凸四边形,其面积为 S.记 a ? AB ,b ? BC ,c ? CD,d ? DA 。由

S?

1 1 ab sin B ? cd sin D, , 2 2 2 2 2 2 2 AC ? a ? b ? 2ab cos B ? c ? d ? 2cd cos D
可得

2S ? ab sin B ? cd sin D,
1 2 (a ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) ? ab cos B ? cd cos D ,--------------(8 分) 2
两遍平方和得

1 4S 2 ? (ab) 2 ? (cd ) 2 ? 2abcd cos( B ? D) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) 2 4
1 ? (ab ? cd ) 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) 2 4 1 ? (b ? c ? d ? a)(a ? c ? d ? b)(a ? b ? d ? c )(a ? b ? c ? d ). 4

等号成立当且仅当 B ? D ? ? ,即 A, B, C , D 四点共圆--------------------(16 分) 现根据假设 a,b ,c ,d 为四个连续整数 n, n ? 1, n ? 2, n ? 3(n ? 1). 由此

S?

显然 n ( n?1) (n? 2 ) n (? . 3 ) n2 ? 3n ? S ? n2 ? 3n ? 1. 因此, S 不是整数

----------------------------------------------------(22 分) 12.证明:设 S 是所有试题的集合, Si 是第 i 位学生解出的试题的集合, Ti ? S \ S i .题目即证存在

i ? j 使得 S i ? S j ? 5 .--------------------------------(5 分)
3 不妨设 Si ? 6,Ti ? 4,?i .S 共有 C10 每个 Ti 恰包含 4 个三元子集. 因 ? 120个三元子集,

此,存在 i ? j 使得 Ti , T j 包含相同的三元子集, Ti ? T j ? 3 .---(15 分)从而,

S i ? S j ? S i ? S j ? S i ? S j ? 2 ? Ti ? T j ? 5 .-----------------(22 分)


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