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高一数学月考试题3.27


高一数学月考试题 3.27
命题人:周倩 审题人:黄孟良 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 П 卷(填空题、解答题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
2 1.在 ?ABC

中,若 B ? 60? , b ? ac ,则 ?ABC 一定是(

) D.等边三角形 )

A.锐角三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

2.已知等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是( A. 15 B. 30 C. 31 D.64 )

3.在 ?ABC 中, AB ? 3 , A ? 45? , C ? 75? ,则 BC ? ( A. 3 ? 3 B. 2 C. 2

D. 3 ? 3

4.已知 a , b , c , d 成等比数列,且曲线 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的顶点 (b, c ) ,则 ad ? ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. ? 2 5. ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .若 a 、 b 、 c 成等比数列,且 c ? 2a , 则 cos B ? ( ) A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3


6.等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? ?1 ,前 n 项和为 S n ,已知 A.

S10 31 ,则 a 2 ? ( ? S 5 32
D.

2 3

B. ?

1 2

C. 2

1 2


7.在等差数列 ?an ? 中,若 S9 ? 18 , S n ? 240, an?4 ? 30 ,则 n 的值为( A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 )

8.在 ?ABC 中, ?A ? 30? , a ? 8 , b ? 8 3 ,则 ?ABC 的面积 S ? ( A. 16 3 B. 32 3 C. 32 3 或 16

D. 16 3 或 32 3

9.夏天高山上的气温从山脚起,每升高 100 米,降低 0 .7 度,已知山顶气温是 14.1 度,山脚 气温是 26 度,那么山顶对于山脚的高度是( A. 1500 米 B. 1600 米
?

) C. 1700 米 D.1800 米

10. 已 知 数 列 ?l o g 2 (an ? 1)? ( n ? N ) 为 等 差 数 列 , 且 a1 ? 3 , a 2 ? 5 , 则

1 1 1 ? ??? ?( a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an
A. 2 ? 1
n



B. 1 ? ( )

1 2

n

C. 4

n ?1

?1

D. 1 ? ( )

1 2

n ?1

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在题中横线上.

11. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 1 , a3 ? 3 ,则 S 4 ?
12.在 ?ABC 中, A ,B , C 成等差数列, 则 tan 13.在等比数列 ?an ? 中,已知 a 3 ? 14. 已 知 f ( x) ?

.
.

A C A C ? tan ? 3 tan tan ? 2 2 2 2
.

1 3 , S 3 ? ,则 q ? 2 2

1 1 3x ? f( ) ( n ? 2 ), 且 a1 ? 1 , 则 , 数 列 ?an ? 满 足 an a n ?1 x?3

an ?

.

15.2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽 的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形(如图【1】 ).如果小正方形的面积为 1 ,大正方形的面积 为 25 ,直角三角形中较小的锐角为 ? ,那么 cos 2? ? . 图【1】

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

b ,c 且 a ? c ? 10 ,C ? 2 A ,cos A ? 在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,
求(1)

3 . 4

c 的值; (2) b 的值. a

17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 log 2 S n ? n , n ? N ;数列 ?bn ? 中,点 (n, bn ) 都
?

在同一条直线上,且 b2 ? 3 , b6 ? 11,求通项 an , bn .

18.(本小题满分 12 分) 如图【2】 ,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 北
120 ?

A2

A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 ? 的方向 B1 处,此
时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120 ? 方向的 B2 处,此时两船 相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

B2
105 ?



A1

B1
乙 图【2】

19.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,且 a2 , a5 , a14 分别是等比数列 ?bn ? 的 第二项,第三项,第四项. (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项; ( 2 ) 设 数 列 ?cn ? 对 任 意 的 n ? N , 均 有
?

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1 成 立 , 求 b1 b2 bn

c1 ? c2 ? ? ? c2 0 0的值 5

20.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,已知角 A ?

?
3

,边 BC ? 2 3 .设角 B ? x ,周长为 y .

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求函数 f ( x) 的最大值

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 有 a1 ? a , a 2 ? p (常数 p ? 0 ) , S n 是其前 n 项的和,对任意的正整 数 n ,满足 S n ?

n(a n ? a1 ) . 2

(1)求 a 的值; (2)试确定数列 ?an ? 是否为等差数列,若是,求出其通项公式,若不是,说明理由; (3)数列 ?pn ?,令 p n ?

S n ? 2 S n ?1 ,求 p1 ? p2 ? ? ? pn ? 2n . ? S n ?1 S n ? 2

高一月考 3.27 的答案
1.D 2.A 3.A 4.B 11. 8 12. 3 5.B 6.D 7.B 8.D 9.C 10.B 15. 13. 1 或 ?

1 2

14. a n ?

1 2 n? 3 3

7 25

16. 解: (1)

c sin C sin 2 A ? ? a sin A sin A 2 sin A cos A 3 3 ? ? 2 cos A ? 2 ? ? sin A 4 2 c 3 (2)由a ? c ? 10, 及 ? , 得a ? 4, c ? 6. a 2

b2 ? c2 ? a2 3 ? , 2bc 4 2 化简得b ? 9b ? 20 ? 0, 解得, b ? 4或b ? 5, 又 ? cos A ?
当 b ? 4 时,由 a ? 4 , C ? 2 A 知 ? A ? B ? 45? , C ? 90? 与 c ? 6 矛盾

?b ? 5
17.解

? log2 S n ? n ? S n ? 2 n 当n ? 1时, a1 ? S1 ? 2 当n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 2, n ? 1 ? ? a n ? ? n ?1 2 , n?2 ? ? : 设bn ? An ? B, 又 ? b2 ? 3, b6 ? 11 ? 2A ? B ? 3 ?? ?6 A ? B ? 11 ? A?2 ?? ? B ? ?1 ? bn ? 2n ? 1
18. 解 : 如 图 , 连 结 A1B2 , A2 B2 ? 10 2 ,

A1 A2 ?

20 ? 30 2 ? 10 2 , ?A1 A2 B2 是等边三角形, 60

?B1 A1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,
在 ?A 1B2 B 1 中,由余弦定理得

2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 ? A1B2 cos 45?

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

, 2 ? 200 2

B1B2 ? 10 2.

? 乙船的速度的大小为

10 2 ? 60 ? 30 2. 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里. 19.解: (1) (a1 ? d )(a1 ? 13d ) ? (a1 ? 4d ) 2 , a1 ? 1 , d ? 0

? d ? 2 ,? an ? 2n ? 1
而, q ?

a5 ? 3 , b1 ? 1 ,? bn ?3n?1 a2

(2)当 n ? 1 时, c1 ? b1 a 2 ,? c1 ? 3 当 n ? 2 时, cn ? (an?1 ? an )bn ? 2 ? 3n?1

?c1 ? c2 ? c3 ? ? ? c2005 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 32004 ? 32005
20.解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

? y ? AB ? BC ? AC ,
2? ? ? 2? ? ? ? y ? 4sin x ? 4sin ? ? x ? ? 2 3 ? 0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
(2)? y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

? ? 1 cos x ? sin x ? ??2 3 ? 2 ?

?? ? ? 4 3 s i?nx ? ? ? ?? ?

? 5? ? ?? 2? 3 ? x? ? ?, ? ? ? ??

?当 x ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

21.解: (1) S1 ? a1 ?

a1 ? a1 ? 0 ,即 a ? 0 2 nan ? ?n ? 1?a n ?1 2

(2) a n ? S n ? S n ?1 ?

? an ?

n ?1 n ?1 n ? 2 4 3 2 a n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? a 2 ? ?n ? 1? p n?2 n?2 n?3 3 2 1

? ?an ? 是一个以 0 为首项, p 为公差的等差数列.
(3) S n ?

n?a1 ? a n ? n?n ? 1? p ? , 2 2

pn ?

S n ? 2 S n ?1 n ? 2 n 1 ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2? ? ? n n?2 S n ?1 S n ? 2 ?n n? 2?

? p1 ? p2 ? ? ? pn ? 2n
1 1 1 1 ? ? 1 1 1 1 1 1 1 ? 2?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 n n ? 2 ? ? 3 2 4 3 5 4 6

1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2?1 ? ? ? ? ? ? 3 ? 2? ?. ? 2 n ?1 n ? 2 ? ? n ?1 n ? 2 ?


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