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2016年上海市高考数学试卷(理科)

时间:2016-06-16


2016 年上海市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 4 小题) 2 1. (2016?上海)设 a∈R,则“a>1”是“a >1”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;定义法;简易逻辑. 【分析】根据不等式的关

系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:由 a >1 得 a>1 或 a<﹣1, 2 即“a>1”是“a >1”的充分不必要条件, 故选:A. 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用不等式的关系结合充分条件和必要 条件的定义是解决本题的关键,比较基础. 2. (2016?上海)下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是( )
2

A.ρ=6+5cosθ B.ρ=6+5sinθ C.ρ=6﹣5cosθ D.ρ=6﹣5sinθ 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】数形结合;转化思想;三角函数的求值;坐标系和参数方程. 【分析】由图形可知: 【解答】解:由图形可知: 时,ρ 取得最大值,即可判断出结论. 时,ρ 取得最大值,

只有 D 满足上述条件. 故选:D. 【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 3. (2016?上海)已知无穷等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,且 条件中,使得 2Sn<S(n∈N )恒成立的是( ) A.a1>0,0.6<q<0.7 B.a1<0,﹣0.7<q<﹣0.6 C.a1>0,0.7<q<0.8D.a1<0,﹣0.8<q<﹣0.7 【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】由已知推导出 ,由此利用排除法能求出结果.
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*

=S,下列

【解答】解:∵ 2Sn<S, ∴ 若 a1>0,则 若 a1<0,则 q
n

,S=

=

,﹣1<q<1,

, ,故 A 与 C 不可能成立; ,故 B 成立,D 不成立.

故选:B. 【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的 合理运用. 4. (2016?上海)设 f(x) 、g(x) 、h(x)是定义域为 R 的三个函数,对于命题:①f(x) +g(x) 、f(x)+h(x) 、g(x)+h(x)均为增函数,则 f(x) 、g(x) 、h(x)中至少有一 个增函数;②若 f(x)+g(x) 、f(x)+h(x) 、g(x)+h(x)均是以 T 为周期的函数,则 f(x) 、g(x) 、h(x)均是以 T 为周期的函数,下列判断正确的是( ) A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题,②为假命题 D.①为假命题,②为真命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】分类讨论;转化思想;函数的性质及应用;简易逻辑.

【分析】①不成立.可举反例:f(x)=

.g(x)=

,h

(x)=



②由题意可得:f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T) ,f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T) , h(x)+g(x)=h(x+T)+g(x+T) ,可得:g(x)=g(x+T) ,h(x)=h(x+T) ,f(x)=f (x+T) ,即可判断出真假.

【解答】解:①不成立.可举反例:f(x)=

.g(x)=



h(x)=



②∵f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T) ,f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T) ,h(x)+g (x)=h(x+T)+g(x+T) , 前两式作差可得:g(x)﹣h(x)=g(x+T)﹣h(x+T) ,结合第三式可得:g(x)=g(x+T) , h(x)=h(x+T) ,同理可得:f(x)=f(x+T) ,因此②正确. 故选:D.
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【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 二.填空题(共 14 小题) 5. (2016?上海)设 x∈R,则不等式|x﹣3|<1 的解集为 (2,4) . 【考点】绝对值不等式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】由含绝对值的性质得﹣1<x﹣3<1,由此能求出不等式|x﹣3|<1 的解集. 【解答】解:∵x∈R,不等式|x﹣3|<1, ∴﹣1<x﹣3<1, 解得 2<x<4. ∴不等式|x﹣3|<1 的解集为(2,4) . 故答案为: (2,4) . 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,是基础题,解题时要认真审题,注意含绝对值不 等式的性质的合理运用.

6. (2016?上海)设 z=

,其中 i 为虚数单位,则 Imz= ﹣3 .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则,先求出复数 z 的最简形式,由此能求出 Imz. 【解答】解:∵Z= = = =2﹣3i,

∴Imz=﹣3. 故答案为:﹣3. 【点评】本题考查复数的虚部的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意复数的乘除运算 法则的合理运用.

7. (2016?上海)已知平行直线 l1:2x+y﹣1=0,l2:2x+y+1=0,则 l1,l2 的距离 【考点】两条平行直线间的距离. 【专题】计算题;规律型;直线与圆. 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可. 【解答】解:平行直线 l1:2x+y﹣1=0,l2:2x+y+1=0,则 l1,l2 的距离: =





故答案为:



【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用,考查计算能力. 8. (2016?上海)某次体检,6 位同学的身高(单位:米)分别为 1.72,1.78,1.75,1.80, 1.69,1.77,则这组数据的中位数是 1.76 (米) . 【考点】众数、中位数、平均数.
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【专题】计算题;转化思想;定义法;概率与统计. 【分析】先把这组数据按从小到大排列,求出位于中间的两个数值的平均数,得到这组数据 的中位数. 【解答】解:∵6 位同学的身高(单位:米)分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77, 从小到大排列为:1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80, 位于中间的两个数值为 1.75,1.77, ∴这组数据的中位数是: =1.76(米) .

故答案为:1.76. 【点评】本题考查中位数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意中位数的定义的合理 运用. 9. (2016?上海)已知点(3,9)在函数 f(x)=1+a 的图象上,则 f(x)的反函数 f (x) = log2(x﹣1) (x>1) . 【考点】反函数. 【专题】方程思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】由于点(3,9)在函数 f(x)=1+a 的图象上,可得 9=1+a ,解得 a=2.可得 f(x) x x =1+2 ,由 1+2 =y,解得 x=log2(y﹣1) , (y>1) .把 x 与 y 互换即可得出 f(x)的反函数 ﹣1 f (x) . x 3 【解答】解:∵点(3,9)在函数 f(x)=1+a 的图象上,∴9=1+a ,解得 a=2. x x ∴f(x)=1+2 ,由 1+2 =y,解得 x=log2(y﹣1) , (y>1) . ﹣1 把 x 与 y 互换可得:f(x)的反函数 f (x)=log2(x﹣1) . 故答案为:log2(x﹣1) , (x>1) . 【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 10. (2016?上海)在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 的边长为 3,BD1 与底面 所成角的大小为 arctan ,则该正四棱柱的高等于 2 .
x 3 x
﹣1

【考点】棱柱的结构特征. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】根据正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的侧棱 D1D⊥底面 ABCD,判断∠D1BD 为直线 BD1 与底面 ABCD 所成的角,即可求出正四棱柱的高. 【解答】解:∵正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的侧棱 D1D⊥底面 ABCD, ∴∠D1BD 为直线 BD1 与底面 ABCD 所成的角, ∴tan∠D1BD= , ∵正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 的边长为 3, ∴BD=3 , ∴正四棱柱的高=3 故答案为:2 . × =2 ,

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【点评】本题考查了正四棱柱的性质,正四棱柱的高的计算,考查了线面角的定义,关键是 找到直线与平面所成的角. 11. (2016?上海)方程 3sinx=1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为





【考点】三角函数的恒等变换及化简求值. 【专题】计算题;规律型;转化思想;三角函数的求值. 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式,然后求解即可. 【解答】解:方程 3sinx=1+cos2x,可得 3sinx=2﹣2sin x, 即 2sin x+3sinx﹣2=0.可得 sinx=﹣2, (舍去)sinx= ,x∈[0,2π] 解得 x= 或 或 . .
2 2

故答案为:

【点评】本题考查三角方程的解法,恒等变换的应用,考查计算能力.
n

12. (2016?上海)在(

﹣ ) 的二项式中,所有的二项式系数之和为 256,则常数项等

于 112 . 【考点】二项式定理的应用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;二项式定理. 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于 2 =256,求得 n=8.在展开式的通项公式 中,令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可求得展开式中的常数项. 【解答】解:∵在( ∴2 =256,解得 n=8, ∴( ∴当 ﹣ ) 中,Tr+1= =0,即 r=2 时,常数项为 T3=(﹣2)
2 8 n n

﹣ ) 的二项式中,所有的二项式系数之和为 256,

n

= =112.



故答案为:112. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系 数,二项式系数的性质,属于中档题.

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13. (2016?上海)已知△ ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 . 【考点】解三角形的实际应用. 【专题】方程思想;分析法;解三角形. 【分析】可设△ ABC 的三边分别为 a=3,b=5,c=7,运用余弦定理可得 cosC,由同角的平 方关系可得 sinC,再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为 所求值. 【解答】解:可设△ ABC 的三边分别为 a=3,b=5,c=7, 由余弦定理可得,cosC= 可得 sinC= = = = , = = . =﹣ , ,代入计算即可得到

可得该三角形的外接圆半径为

故答案为:



【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法,注意运用正弦定理和余弦定理,考查运算 能力,属于基础题.

14. (2016?上海)设 a>0,b>0,若关于 x,y 的方程组

无解,则 a+b 的取值范围

为 (2,+∞) . 【考点】两条直线平行的判定;基本不等式. 【专题】转化思想;转化法;导数的综合应用. 【分析】根据方程组无解,得到两直线平行,建立 a,b 的方程关系,利用转化法,构造函 数,求函数的导数,利用函数的单调性进行求解即可. 【解答】解:∵关于 x,y 的方程组 ∴直线 ax+y=1 与 x+by=1 平行, ∵a>0,b>0, ∴ ≠ , 无解,

即 a≠1,b≠1,且 ab=1,则 b= , 则 a+b=a+ , 则设 f(a)=a+ , (a>0 且 a≠1) ,

则函数的导数 f′(a)=1﹣

=


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当 0<a<1 时,f′(a)=

<0,此时函数为减函数,此时 f(a)>f(1)=2,

当 a>1 时,f′(a)=

>0,此时函数为增函数,f(a)>f(1)=2,

综上 f(a)>2, 即 a+b 的取值范围是(2,+∞) , 故答案为: (2,+∞) . 【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数,求函数的导数,利用导数和函数单调 性之间的关系进行求解是解决本题的关键. 15. (2016?上海) 无穷数列{an}由 k 个不同的数组成, Sn 为{an}的前 n 项和, 若对任意 n∈N , Sn∈{2,3},则 k 的最大值为 4 . 【考点】数列与函数的综合. 【专题】分类讨论;分析法;点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】对任意 n∈N ,Sn∈{2,3},列举出 n=1,2,3,4 的情况,归纳可得 n>4 后都为 0 或 1 或﹣1,则 k 的最大个数为 4. * 【解答】解:对任意 n∈N ,Sn∈{2,3},可得 当 n=1 时,a1=S1=2 或 3; 若 n=2,由 S2∈{2,3},可得数列的前两项为 2,0;或 2,1;或 3,0;或 3,﹣1; 若 n=3,由 S3∈{2,3},可得数列的前三项为 2,0,0;或 2,0,1; 或 2,1,0;或 2,1,﹣1;或 3,0,0;或 3,0,﹣1;或 3,1,0;或 3,1,﹣1; 若 n=4,由 S3∈{2,3},可得数列的前四项为 2,0,0,0;或 2,0,0,1; 或 2,0,1,0;或 2,0,1,﹣1;或 2,1,0,0;或 2,1,0,﹣1; 或 2,1,﹣1,0;或 2,1,﹣1,1;或 3,0,0,0;或 3,0,0,﹣1; 或 3,0,﹣1,0;或 3,0,﹣1,1;或 3,﹣1,0,0;或 3,﹣1,0,1; 或 3,﹣1,1,0;或 3,﹣1,1,﹣1; … 即有 n>4 后一项都为 0 或 1 或﹣1,则 k 的最大个数为 4, 不同的四个数均为 2,0,1,﹣1,或 3,0,1,﹣1. 故答案为:4. 【点评】本题考查数列与集合的关系,考查分类讨论思想方法,注意运用归纳思想,属于中 档题.
* *

16. (2016?上海)在平面直角坐标系中,已知 A(1,0) ,B(0,﹣1) ,P 是曲线 y= 上一个动点,则 ? 的取值范围是 [0,1+ ] .

【考点】平面向量数量积的性质及其运算律. 【专题】计算题;转化思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】设 P(cosα,sinα) ,α∈[0,π],则 出 ? 的取值范围.
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=(1,1) ,

=(cosα,sinα+1) ,由此能求

【解答】解:∵在平面直角坐标系中,A(1,0) ,B(0,﹣1) , P 是曲线 y= 上一个动点,

∴设 P(cosα,sinα) ,α∈[0,π], ∴ =(1,1) , =(cosα,sinα+1) , , ].

=cosα+sinα+1= ∴ ? 的取值范围是[0,1+

故答案为:[0,1+ ]. 【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意平 面向量数量积的性质的合理运用. 17. (2016?上海) 设 a, b∈R, c∈[0, 2π) , 若对于任意实数 x 都有 2sin (3x﹣ 则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为 4 . 【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】函数思想;转化法;三角函数的图像与性质. 【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同. 【解答】解:∵对于任意实数 x 都有 2sin(3x﹣ ∴必有|a|=2, 若 a=2,则方程等价为 sin(3x﹣ )=sin(bx+c) , , )=asin(bx+c) ,

) =asin (bx+c) ,

则函数的周期相同,若 b=3,此时 C= 若 b=﹣3,则 C= ,

若 a=﹣2,则方程等价为 sin(3x﹣ 若 b=﹣3,则 C= ,若 b=3,则 C=

)=﹣sin(bx+c)=sin(﹣bx﹣c) , , ) , (2,﹣3, ) , (﹣2,﹣3, ) ,

综上满足条件的有序实数组(a,b,c)为(2,3, (﹣2,3, ) ,

共有 4 组, 故答案为:4. 【点评】 本题主要考查三角函数的图象和性质, 结合三角函数恒成立, 利用三角函数的性质, 结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键.

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18. (2016?上海)如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,O 为正八边形 A1A2…A8 的中心, A1(1, 0)任取不同的两点 Ai,Aj,点 P 满足 . + + = ,则点 P 落在第一象限的概率是

【考点】平面向量的综合题. 【专题】计算题;对应思想;向量法;平面向量及应用;概率与统计. 【分析】利用组合数公式求出从正八边形 A1A2…A8 的八个顶点中任取两个的事件总数,满 足 + + = ,且点 P 落在第一象限,则需向量 + 的终点落在第三象限,列

出事件数,再利用古典概型概率计算公式求得答案. 【解答】解:从正八边形 A1A2…A8 的八个顶点中任取两个,基本事件总数为 满足 + + = ,且点 P 落在第一象限,对应的 Ai,Aj,为: .

(A4,A7) , (A5,A8) , (A5,A6) , (A6,A7) , (A5,A7)共 5 种取法. ∴点 P 落在第一象限的概率是 故答案为: . ,

【点评】本题考查平面向量的综合运用,考查了古典概型概率计算公式,理解题意是关键, 是中档题. 三.解答题(共 5 小题) 19. (2016?上海)将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1 旋转一周形成圆柱, 如图,AC 长为 π,A1B1 长为 ,其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧.

(1)求三棱锥 C﹣O1A1B1 的体积; (2)求异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小.

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【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)连结 O1B1,推导出△ O1A1B1 为正三角形,从而 = ,由此能求出

三棱锥 C﹣O1A1B1 的体积. (2)设点 B1 在下底面圆周的射影为 B,连结 BB1,则 BB1∥AA1,∠BB1C 为直线 B1C 与 AA1 所成角(或补角) ,由此能求出直线 B1C 与 AA1 所成角大小. 【解答】解: (1)连结 O1B1,则∠O1A1B1=∠A1O1B1= ∴△O1A1B1 为正三角形, ∴ = = , = . ,

(2)设点 B1 在下底面圆周的射影为 B,连结 BB1,则 BB1∥AA1, ∴∠BB1C 为直线 B1C 与 AA1 所成角(或补角) , BB1=AA1=1, 连结 BC、BO、OC, ∠AOB=∠A1O1B1= , ,∴∠BOC= ,

∴△BOC 为正三角形, ∴BC=BO=1,∴tan∠BB1C=45°, ∴直线 B1C 与 AA1 所成角大小为 45°.

【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,考查两直线所成角的大小的求法,是中档题,解题 时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 20. (2016?上海)有一块正方形 EFGH,EH 所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到 F 点 或河边运走.于是,菜地分别为两个区域 S1 和 S2,其中 S1 中的蔬菜运到河边较近,S2 中 的蔬菜运到 F 点较近, 而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等, 现 建立平面直角坐标系,其中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的坐标为(1,0) ,如图 (1)求菜地内的分界线 C 的方程; (2)菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍,由此得到 S1 面积的经验值为 .设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点,请计算以 EH 为一边,另一边过点 M 的矩形的面积,及五边形 EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于 S1 面积的“经验值”.

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【考点】圆锥曲线的轨迹问题. 【专题】分类讨论;转化思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设分界线上任意一点为(x,y) ,根据条件建立方程关系进行求解即可. (2)设 M(x0,y0) ,则 y0=1,分别求出对应矩形面积,五边形 FOMGH 的面积,进行比 较即可. 【解答】解: (1)设分界线上任意一点为(x,y) ,由题意得|x+1|= y=2 , (0≤x≤1) , (2)设 M(x0,y0) ,则 y0=1, ∴x0= = , ,得

∴设所表述的矩形面积为 S3,则 S3=2×( +1)=2× = , 设五边形 EMOGH 的面积为 S4,则 S4=S3﹣S△ OMP+S△ MGN= ﹣ × ×1+ S1﹣S3= = ,S4﹣S1= ﹣ = < , = ,

∴五边形 EMOGH 的面积更接近 S1 的面积.

【点评】 本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题, 考查学生的运算能力, 综合性较强, 难度较大.

21. (2016?上海)双曲线 x ﹣ 双曲线交于 A,B 两点. (1)直线 l 的倾斜角为 (2)设 b=

2

=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l 过 F2 且与

,△ F1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; + )? =0,求 l 的斜率.

,若 l 的斜率存在,且(

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【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线与双曲线的位置关系. 【专题】计算题;规律型;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)利用直线的倾斜角,求出 AB,利用三角形是正三角形,求解 b,即可得到双 曲线方程. (2)求出左焦点的坐标,设出直线方程,推出 A、B 坐标,利用向量的数量积为 0,即可 求值直线的斜率. 【解答】解: (1)双曲线 x ﹣
2

=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,a=1,c =1+b ,

2

2

直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A,B 两点, 直线 l 的倾斜角为
2

,△ F1AB 是等边三角形, ,

可得:A(c,b ) ,可得: 3b =4(a +b ) , 4 2 即 3b ﹣4b ﹣4=0, 2 b>0,解得 b =2. 所求双曲线方程为:x ﹣ 其渐近线方程为 y=± (2)b=
2 2 4 2 2

=1,

x. =1,可得 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) .

,双曲线 x ﹣

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线的斜率为:k= 直线 l 的方程为:y=k(x﹣2) ,
2 2



由题意可得:
2

,消去 y 可得: (3﹣k )x +4k x﹣4k ﹣3=0,

2

2

△ =36(1+k )>0, 可得 x1+x2= ,

则 y1+y2=k(x1+x2﹣4)=k( =(x1+2,y1) , =(x2+2,y2) , ( + )?

﹣4)=



=0 可得: (x1+x2+4,y1+y2)?(x1﹣x2,y1﹣y2)=0,
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可得 x1+x2+4+(y1+y2)k=0, 得
2

+4+

?k=0

可得:k = , 解得 k=± . .

l 的斜率为:±

【点评】 本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用, 平方差法以及直线与双曲线方程联 立求解方法,考查计算能力,转化思想的应用. 22. (2016?上海)已知 a∈R,函数 f(x)=log2( +a) . (1)当 a=5 时,解不等式 f(x)>0; (2)若关于 x 的方程 f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0 的解集中恰好有一个元素,求 a 的 取值范围. (3)设 a>0,若对任意 t∈[ ,1],函数 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不 超过 1,求 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】转化思想;换元法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)当 a=5 时,解导数不等式即可. (2)根据对数的运算法则进行化简,转化为一元二次方程,讨论 a 的取值范围进行求解即 可. (3)根据条件得到 f(t)﹣f(t+1)≤1,恒成立,利用换元法进行转化,结合对勾函数的单 调性进行求解即可. 【解答】解: (1)当 a=5 时,f(x)=log2( +5) , 由 f(x)>0;得 log2( +5)>0, 即 +5>1,则 >﹣4,则 +4= >0,即 x>0 或 x<﹣ ,

即不等式的解集为{x|x>0 或 x<﹣ }. (2)由 f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0 得 log2( +a)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0. 即 log2( +a)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5], 即 +a=(a﹣4)x+2a﹣5>0,① 则(a﹣4)x +(a﹣5)x﹣1=0, 即(x+1)[(a﹣4)x﹣1]=0,②,
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2

当 a=4 时,方程②的解为 x=﹣1,代入①,成立 当 a=3 时,方程②的解为 x=﹣1,代入①,成立 当 a≠4 且 a≠3 时,方程②的解为 x=﹣1 或 x= ,

若 x=﹣1 是方程①的解,则 +a=a﹣1>0,即 a>1, 若 x= 是方程①的解,则 +a=2a﹣4>0,即 a>2,

则要使方程①有且仅有一个解,则 1<a≤2. 综上,若方程 f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0 的解集中恰好有一个元素,则 a 的取值范 围是 1<a≤2,或 a=3 或 a=4. (3)函数 f(x)在区间[t,t+1]上单调递减, 由题意得 f(t)﹣f(t+1)≤1, 即 log2( +a)﹣log2( 即 +a≤2( +a)≤1, =

+a) ,即 a≥ ﹣

设 1﹣t=r,则 0≤r≤ , = = ,

当 r=0 时,

=0,

当 0<r≤ 时,

=



∵y=r+ 在(0, ∴r+ ≥ ∴ = , =

)上递减,

= ,

∴实数 a 的取值范围是 a≥ . 【点评】本题主要考查函数最值的求解,以及对数不等式的应用,利用换元法结合对勾函数 的单调性是解决本题的关键.综合性较强,难度较大. 23. (2016?上海)若无穷数列{an}满足:只要 ap=aq(p,q∈N ) ,必有 ap+1=aq+1,则称{an} 具有性质 P. (1)若{an}具有性质 P,且 a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求 a3;
*

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(2)若无穷数列{bn}是等差数列,无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列,b1=c5=1; b5=c1=81,an=bn+cn,判断{an}是否具有性质 P,并说明理由; * (3)设{bn}是无穷数列,已知 an+1=bn+sinan(n∈N ) ,求证:“对任意 a1,{an}都具有性质 P” 的充要条件为“{bn}是常数列”. 【考点】等差数列与等比数列的综合;数列与函数的综合. 【专题】计算题;规律型;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)利用已知条件通过 a2=a5=2,推出 a3=a6,a4=a7,转化求解 a3 即可. (2)设无穷数列{bn}的公差为:d,无穷数列{cn}的公比为 q,则 q>0,利用条件求出,d 与 q,求出 bn,cn 得到 an 的表达式,推出 a2≠a6,说明{an}不具有性质 P. (3)充分性:若{bn}是常数列,设 bn=C,通过 an+1=C+sinan,证明 ap+1=aq+1,得到{an}具 有性质 P. 必要性:若对于任意 a1,{an}具有性质 P,得到 a2=b1+sina1,设函数 f(x)=x﹣b1,g(x) =sinx,说明 bn+1=bn,即可说明{bn}是常数列. 【解答】解: (1)∵a2=a5=2,∴a3=a6, a4=a7=3,∴a5=a8=2,a6=21﹣a7﹣a8=16,∴a3=16. (2)设无穷数列{bn}的公差为:d,无穷数列{cn}的公比为 q,则 q>0, b5﹣b1=4d=80, ∴d=20,∴bn=20n﹣19, ∴an=bn+cn=20n﹣19+ ∵a1=a5=82, 而 a2=21+27=48,a6=101 = .a1=a5,但是 a2≠a6,{an}不具有性质 P. =q =
4

,∴q= ,∴cn= .

(3)充分性:若{bn}是常数列, 设 bn=C,则 an+1=C+sinan, 若存在 p,q 使得 ap=aq,则 ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1, 故{an}具有性质 P. 必要性:若对于任意 a1,{an}具有性质 P, 则 a2=b1+sina1, 设函数 f(x)=x﹣b1,g(x)=sinx, 由 f(x) ,g(x)图象可得,对于任意的 b1,二者图象必有一个交点, ∴一定能找到一个 a1,使得 a1﹣b1=sina1, ∴a2=b1+sina1=a1,∴an=an+1, 故 bn+1=an+2﹣sinan+1=an+1﹣sinan=bn, ∴{bn}是常数列. 【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用,充要条件的应用,考查分析问题解决问 题的能力,逻辑思维能力,难度比较大.

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