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高中数学人教B版必修2同步练习:2.4.1空间直角坐标系

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2.4.1 空间直角坐标系

一、选择题 1.下列说法: ①在空间直角坐标系中,在 x 轴上的点的坐标一定可记为(0,b,c); ②在空间直角坐标系中,在 yOz 平面上的点的坐标一定可记为(0,b,c); ③在空间直角坐标系中,在 z 轴上的点的坐标一定可记为(0,0,c); ④在空间直角坐标系中,在 xOz 平面上的点的坐标一定可记为(a,0,c). 其中正确的个数是( A.1 C.3 [答案] C [解析] 由定义可知,在 x 轴上的点(x,y,z),有 y=z=0,所以 x 轴上点的坐标可记为(a,0,0),故①错 误,②③④正确,故选 C. 2.在空间直角坐标系 Oxyz 中,点(3,4,-5)关于 z 轴对称的点的坐标是( A.(-3,-4,5) C.(-3,4,5) [答案] B [解析] 在空间直角坐标中,点关于哪个轴对称时,哪个坐标不变,其余坐标变为原来的相反数,故选 B. 3.点 P(-1,2,0)位于( A.y 轴上 C.xOy 平面上 [答案] C [解析] 点 P(-1,2,0)位于 xOy 平面上. 4.点 P(-1,2,3)关于 xOy 坐标平面对称点的坐标是( A.(1,2,3) C.(-1,2,-3) [答案] C [解析] 点 P(-1,2,3)关于 xOy 坐标平面对称的点的坐标为(-1,2,-3). 5.与点 P(1,3,5)关于原点成中心对称的点 P′的坐标是( A.(-1,-3,-5) C.(-1,3,-5) B.(-1,-3,5) D.(1,-3,-5) ) ) ) B.z 轴上 D.xOz 平面上 B.(-3,-4,-5) D.(3,4,5) ) ) B.2 D.4

B.(-1,-2,3) D.(1,-2,-3)

[答案] A [解析] 点 P(1,3,5)关于原点对称的点 P′的坐标为(-1,-3,-5). 6.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于 x 轴对称点的坐标是( A.(-2,1,4) C.(-2,1,4) [答案] B [解析] 点(-2,1,4)关于 x 轴对称点的坐标是(-2,-1,-4). 二、填空题 7.(2014· 福建师大附中高一期末测试)点(1,1,-2)关于 yOz 平面的对称点的坐标是________. [答案] (-1,1,-2) [解析] 点(1,1,-2)关于 yOz 平面的对称点的坐标是(-1,1,-2). 8.在空间直角坐标系中,点 M(-2,4,-3)在 xOz 平面上的射影为 M′点,则 M′关于原点对称点的 坐标是________. [答案] (2,0,3) [解析] M 在 xOz 平面上的射影为 M′(-2,0,-3),∴M′关于原点对称点的坐标为(2,0,3). 三、解答题 9.在空间直角坐标系中,给定点 M(1,-2,3),求它分别关于坐标平面,坐标轴和原点的对称点的坐 标. [解析] M(1,-2,3)关于坐标平面 xOy 对称的点是(1,-2,-3),关于 xOz 面对称的点是(1,2,3),关于 yOz 面对称的点是(-1,-2,3);M(1,-2,3)关于 x 轴对称的点是(1,2,-3),关于 y 轴对称的点是(-1,- 2,-3),关于 z 轴对称的点是(-1,2,3);M(1,-2,3)关于坐标原点的对称点是(-1,2,-3). B.(-2,-1,-4) D.(2,1,-4) )

一、选择题 1.点 A(-3,1,5)、B(4,3,1)的中点坐标是( 7 ? A.? ?2,1,-2? C.(-12,3,5) [答案] B -3+4 1+3 5+1 1 [解析] 点 A(-3,1,5)、B(4,3,1)的中点坐标为( , , ),即( ,2,3). 2 2 2 2 2.以正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、AD、AA1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系,且正方体的棱长为一个单位长度,则棱 CC1 的中点的坐标为( 1 ? A.? ?2,1,1? 1 ? B.? ?1,2,1? ) ) 1 ? B.? ?2,2,3? 1 4 ? D.? ?3,3,2?

1? C.? ?1,1,2? [答案] C

1 1 ? D.? ?2,2,1?

1? [解析] 点 C 的坐标为(1,1,0),点 C1 的坐标为(1,1,1),故中点坐标为? ?1,1,2?. 3.已知线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A(9,-3,4)、B(9,2,1),则线段 AB 与坐标平面( A.xOy 平行 C.yOz 平行 [答案] C [解析] ∵线段 AB 的两个端点的横坐标相等,纵坐标和竖坐标不等,故线 AB 与坐标平面 yOz 平行. 4. (2013· 新课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1)、 (1,1,0)、 (0,1,1)、(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的主视图可为( ) B.xOz 平行 D.xOz 或 yOz 平行 )

[答案] A [解析] 结合已知条件画出图形, 然后按照要求作出正视图. 根据已知条件作出图形: 四面体 C1-A1DB, 标出各个点的坐标如图(1)所示,

可以看出正视图是正方形,如图(2)所示.故选 A. 二、填空题 5.已知点 A(-3,1,4)、B(5,-3,-6),则点 B 关于点 A 的对称点 C 的坐标为________. [答案] (-11,5,14) [解析] 设点 C 的坐标为(x,y,z),由中点坐标公式得 x+5 y-3 z-6 =-3, =1, =4,所以 x=-11,y=5,z=14,所以点 C 的坐标为(-11,5,14). 2 2 2 6.设 x 为任意实数,相应的所有点 P(x,2,-3)的集合所表示的轨迹为________. [答案] 一条直线

[解析] 点 P(x,2,-3)在过(0,2,-3)点且与 yOz 平面垂直的直线上. 三、解答题 7.设有长方体 ABCD-A′B′C′D′如图所示,长、宽、高分别为|AB|=4 cm,|AD|=3 cm,|AA′| =5 cm,N 是线段 CC′的中点.分别以 AB、AD、AA′所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,以 1 cm 为单位长, 建立空间直角坐标系.

(1)求 A、B、C、D、A′、B′、C′、D′的坐标; (2)求 N 的坐标. [解析] (1)A、B、C、D 都在平面 xOy 内,点的竖坐标都为 0,它们在 x 轴、y 轴所组成的直角坐标系 中的坐标分别是(0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3),因此空间坐标分别是 A(0,0,0)、B(4,0,0)、C(4,3,0)、D(0,3,0). A′、B′、C′、D′同在一个垂直于 z 轴的平面内,这个平面与 z 轴的交点 A′在 z 轴上的坐标是 5, 故这四点的 z 的坐标都是 5.从这四点作 xOy 平面的垂线交 xOy 平面于 A、 B、 C、 D 四点, 故 A′、 B′、 C′、 D′的 x, y 坐标分别与 A、 B、 C、 D 相同, 由此可知它们的空间坐标分别是 A′(0,0,5)、 B′(4,0,5)、 C′(4,3,5)、 D′(0,3,5). (2)N 是线段 CC′的中点,有向线段 CN 的方向与 z 轴正方向相同,|CN|=2.5,因此 N 的 z 坐标为 2.5, C 在 xOy 平面内的平面坐标为(4,3),这就是 N 的 x、y 坐标,故 N 的空间坐标为(4,3,2.5). 8.如图,长方体 OABC-D′A′B′C′中,OA=3,OC=4,OD′=3,A′C′与 B′D′相交于点 P.分别写出点 C、B′、P 的坐标.

3 ? [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,得 C(0,4,0)、B′(3,4,3)、P? ?2,2,3?.

9.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC.试建立适当的坐 标系,写出点 B、C、E、A1 的坐标.

[解析] 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标 Dxyz.依题设, B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(0,2,1)、A1(2,0,4).


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