nbhkdz.com冰点文库

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

时间:2011-12-15


大一高等数学期末考试试卷
(一)
一、选择题(共 12 分) 选择题( 1. (3 分)若 f ( x) = ? (A)1 (B)2 (C)3

?2e x , x < 0, ? a + x, x > 0
(D)(D)-1
h →0

为连续函数, 的值为( 为连续函数,则 a 的值为(<

br />
).

2. (3 分)已知 f ′(3) = 2, 则 lim (A)1 (B)3 (C)(C)-1 (D)

f (3 ? h) ? f (3) 的值为( 的值为( 2h

).

1 2
).

3. (3 分)定积分 (A)0 (B)(B)-2

∫π
2 ? 2

π

1 ? cos 2 xdx 的值为( 的值为(
(D)2

(C)1

处不连续, 在该点处( 4. (3 分)若 f ( x) 在 x = x0 处不连续,则 f ( x) 在该点处( (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 一定可导(C) (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共 12 分) 填空题(

).

1 . 3 分 ) 平面上过点 (0,1) , 且在任意一点 ( x, y ) 处的切线斜率为 3 x 的曲线方程 ( 为 2. (3 分) .

2



1

?1

( x 2 + x 4 sin x)dx =
2

. . .

3. (3 分) lim x sin
x →0

1 = x

3 2 4. (3 分) y = 2 x ? 3 x 的极大值为

三、计算题(共 42 分) 计算题( 1. (6 分)求 lim
x →0

x ln(1 + 5 x) . sin 3 x 2

2. (6 分)设 y =

ex , 求 y′. x2 + 1

2 3. (6 分)求不定积分 x ln(1 + x ) dx.



1

4. (6 分)求



3

0

? x , x ≤ 1, ? f ( x ? 1)dx, 其中 f ( x) = ?1 + cos x ?e x + 1, x > 1. ?

5. (6 分)设函数 y = f ( x) 由方程 6. (6 分)设



y

0

et dt + ∫ cos tdt = 0 所确定,求 dy. 所确定,
0

x

∫ f ( x)dx = sin x

2

+ C , 求 ∫ f (2 x + 3)dx.

3 ? ? 7. (6 分)求极限 lim ? 1 + ? . n →∞ ? 2n ?
四、解答题(共 28 分) 解答题( 1. (7 分)设 f ′(ln x ) = 1 + x, 且 f (0) = 1, 求 f ( x ). 2. (7 分)求由曲线 y = cos x ? ? 转体的体积. 转体的体积.
3 2 在拐点处的切线方程. 3. (7 分)求曲线 y = x ? 3 x + 24 x ? 19 在拐点处的切线方程.

n

π? ? π ≤ x ≤ ? 与 x 轴所围成图形绕着 x 轴旋转一周所得旋 2? ? 2

上的最小值和最大值. 4. (7 分)求函数 y = x + 1 ? x 在 [ ?5,1] 上的最小值和最大值. 五、证明题(6 分) 证明题(6 上连续, 设 f ′′( x ) 在区间 [ a, b] 上连续,证明



b

a

f ( x)dx =

b?a 1 b [ f (a ) + f (b)] + ∫ ( x ? a )( x ? b) f ′′( x)dx. 2 2 a

(二)
一、 填空题( 填空题(每小题 3 分,共 18 分) 1.设函数 f ( x ) = .

x2 ? 1 ,则 x = 1 是 f ( x ) 的第 x 2 ? 3x + 2

类间断点. 类间断点

2.函数 y = ln 1 + x 2 ,则 y ′ = .

(

)

.

?1+ x ? 3. lim ? . ? x →∞ ? x ?
4.曲线 y = .

2x

=

.

1 ?1 ? 在点 ? ,2 ? 处的切线方程为 x ?2 ?

.

2

5.函数 y = 2 x 3 ? 3 x 2 在 [? 1,4] 上的最大值 . 6. .

,最小值

.



arctan x dx = 1 + x2
单项选择题( 单项选择题(每小题 4 分,共 20 分) ) .

.

二、

1.数列 {x n } 有界是它收敛的( . 有界是它收敛的( 必要但非充分条件; ( A) 必要但非充分条件;

(B ) 充分但非必要条件 (D )
) . 无关条件. 无关条件



(C )

充分必要条件; 充分必要条件;

2.下列各式正确的是( .下列各式正确的是(

( A) ∫ e ? x dx = e ? x + C ;

(B ) ∫ ln xdx =

1 +C ; x

(C ) ∫ 1 dx = 1 ln(1 ? 2 x ) + C ; ( D ) ∫ 1 dx = ln ln x + C . 1 ? 2x 2 x ln x
3. 设 f ( x ) 在 [a , b ] 上, f ′( x ) > 0 且 f ′′( x ) > 0 ,则曲线 y = f ( x ) 在 [a , b ] 上. .

( A) 沿 x 轴正向上升且为凹的; 轴正向上升且为凹的;
(C ) 沿 x 轴正向上升且为凸的; 轴正向上升且为凸的;

(B ) 沿 x 轴正向下降且为凹的; 轴正向下降且为凹的; ( D ) 沿 x 轴正向下降且为凸的 轴正向下降且为凸的.
).

4.设 f ( x ) = x ln x ,则 f ( x ) 在 x = 0 处的导数( . 处的导数(

( A) 等于 1 ;
(C ) 等于 0 ;
x →1

(B ) 等于 ? 1 ; ( D ) 不存在 不存在.
).

5.已知 lim f ( x ) = 2 ,以下结论正确的是( . 以下结论正确的是( +

( A) 函数在 x = 1 处有定义且 f (1) = 2 ;

(B ) 函数在 x = 1 处的某去心邻域内有定义; 处的某去心邻域内有定义;

(C ) 函数在 x = 1 处的左侧某邻域内有定义; ( D ) 函数在 x = 1 处的右侧某邻域内有定义 处的左侧某邻域内有定义; 处的右侧某邻域内有定义.
三、 计算( 计算(每小题 6 分,共 36 分) 1.求极限: lim x 2 sin .求极限:
x →0

1 . x

2. 已知 y = ln 1 + x 2 ,求 y ′ . 3. 求函数 y = x sin x ( x > 0 ) 的导数 的导数.

(

)

3

4.

x2 ∫ 1 + x 2 dx .

5.

∫ x cos xdx .
1 x

6.方程 y 方程 四、 五、 六、

= x 确定函数 y = f ( x ) ,求 y ′ .
x2

1 y

(10 分)已知 e

的一个原函数, 为 f ( x ) 的一个原函数,求 x f ( x )dx .



2

x 的拐点及凹凸区间. (6 分)求曲线 y = xe ? 的拐点及凹凸区间

(10 分)设

∫ f ′(

x dx = x e

)

(

x

+ 1 + C ,求 f ( x ) .

)

(三)
小题, 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分). 填空题(

1 =_____ e ________. (1) x →0 ) 平行的切线方程为___ y = x ? 1 ______. (2)曲线 y = x ln x 上与直线 x ? y + 1 = 0 平行的切线方程为 ) 1 (ln x) 2 ′(e x ) = xe ? x ,且 f (1) = 0 , 则 f (x ) = ______ f (x ) = 2 (3)已知 f ) _____ .
1

lim(cos x) x

2

(4)曲线 )

y=

x2 1 1 y = x? . 3 x + 1 的斜渐近线方程为 _______ 3 9 __
7

5 2y 2 y′ ? = ( x + 1) 2 y = ( x + 1) 2 + C ( x + 1) 2 . x +1 3 (5)微分方程 ) 的通解为_________ 的通解为

小题, 二、选择题 (本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分). (1)下列积分结果正确的是( D ) )下列积分结果正确的是(

1 dx = ?2 2 (A) (B) ?1 x +∞ 1 +∞ 1 dx = +∞ ∫ 1 x dx = +∞ ∫ 1 x4 (C) (D) f (x ) 在 [ a, b] 内有定义,其导数 f ' ( x ) 的图形如图 1-1 所示,则( D 内有定义, 所示, (2)函数 ) (A) x1 , x2 都是极值点 都是极值点.



1

1 dx = 0 ?1 x



1

).

(B) (C) (D)

(x1 , f ( x1 )), (x2 , f ( x2 ) ) 都是拐点 都是拐点. x1 是极值点 , ( x2 , f ( x2 ) ) 是拐点 是极值点., 是拐点. (x1 , f ( x1 ) ) 是拐点, x2 是极值点 是拐点, 是极值点.

y

y = f ′( x )

a
O

x1

x2
).

b 图 1-1 x

x ?2 x x 满足的一个微分方程是( (3)函数 y = C1e + C2 e + xe 满足的一个微分方程是( )

D

4

x (A) y′′ ? y′ ? 2 y = 3 xe . )

x (B) y′′ ? y′ ? 2 y = 3e . )

(C) y′′ + y′ ? 2 y = 3 xe . )
x

处可导, (4)设 f (x ) 在 x0 处可导,则 h →0 ) (A)

lim

f ( x0 ) ? f ( x0 ? h ) h 为(
(C) 0.

(D) y′′ + y′ ? 2 y = 3e . )
x

A

).

f ′ ( x0 ) .

(B)

? f ′ ( x0 ) .
A ).

(D)不存在 . 不存在

(5)下列等式中正确的结果是 ( ) (A) (C)

( ∫ f ( x ) dx )′ = f ( x ). d [ ∫ f ( x ) dx ] = f ( x).

(B) (D)

∫ df ( x) = f ( x). ∫ f ′( x)dx = f ( x).

小题, 三、计算题(本题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分). 计算题( 1.求极限 x →1 . 解

lim(

x 1 ? ) x ? 1 ln x .
1分

lim(
x →1

x ln x ? x + 1 x 1 ? ) lim x ? 1 ln x = x→1 ( x ? 1) ln x ln x lim x →1 x ? 1 + ln x x = x ln x lim = x →1 x ? 1 + x ln x 1 + ln x 1 lim = = x →1 1 + ln x + 1 2

2分 1分 2分

? x = ln sin t dy d2y ? 2 2.方程 ? y = cos t + t sin t 确定 y 为 x 的函数,求 dx 与 dx . 的函数, 方程 dy y′(t ) = = t sin t , 解 dx x′(t ) ( 3 分)

d 2 y (t sin t )′ = = sin t tan t + t sin t. x′(t ) dx 2

( 6 分)

3. 4. 计算不定积分



arctan x dx x (1 + x) .

解: ∫

arctan x x (1 + x)

dx = 2 ∫

arctan x d x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分 (1 + x)

=2 ∫ arctan xd arctan x ? ? ? ? ? ? ? 2分 =(arctan x 2 + C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分 ) 3 x ∫0 1 + 1 + x dx . 4.计算定积分 计算定积分


∫ 1+
0

3

3 x (1 ? 1 + x ) x dx = ∫ dx = ? 3(1 ? 1 + x ) dx 0 ∫0 ?x 1+ x

(3 分)

5

2 5 = ?3 + (1 + x) 2 = 3 3 0
(或令 1 + x = t ) 小题, 四、解答题(本题共 4 小题,共 29 分). 解答题(

3 3

(6 分)

′′ ′ (本题 1. 本题 6 分)解微分方程 y ? 5 y + 6 y = xe (

2x

.

解:特征方程r 2 - 5r + 6 = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1分 特征解r1 = 2, r2 = 3.? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1分 次方程的通解Y = C 1e 2 x + C2 e3 x . ? ? ? ? ? ? ? 1分 令y * = x (b0 x + b1 )e 2 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1分 1 代入解得b0 = ? ,b1 = ?1. 2 1 所以y * = x(? x ? 1)e 2 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1分 2 1 所以所求通解y = C 1e 2 x + C2 e3 x ? x( x + 1)e 2 x . ? ? ? ?1分 2
(本题 桶内盛有半桶水, 2. 本题 7 分) ( 一个横放着的圆柱形水桶 如图 4-1) 桶内盛有半桶水, ( , 设桶的底半径为 R , γ ,计算桶的一端面上所受的压力. 计算桶的一端面上所受的压力. 水的比重为 解:建立坐标系如图

P = ∫ 2 ρ gx R 2 ? x 2 dx ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分
0

R

= ?ρ g ∫

R

0

R 2 ? x 2 d R 2 ? x 2 ? ? ? ? ? ?1分 ( )
y

3 2 R ) 0 = ? ρ g[ (R 2 ? x 2 2 ] ? ? ? ? ? ?1分 3 2ρ g 3 = R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1分 3

x
b

f 2 ( x)dx = 1 上有连续的导 连续的导数 3. (本题 8 分)设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有连续的导数, f ( a ) = f (b) = 0 ,且 ∫a ,
试求 ∫
b a

b

a

xf ( x) f ′( x) dx

.
b a

解: xf ( x) f ′( x)dx = ∫ xf ( x)df ( x) ? ? ? ? ? 2分 ∫ 1 b xdf 2 ( x) ? ? ? ? ? 2分 2 ∫a 1 b =[xf 2 ( x)]b ? ∫ f 2 ( x)dx ? ?2分 a 2 a 1 1 =0 ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分 2 2 的切线, 4. (本题 8 分)过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线,该切线与曲线 y = ln x 及 x 轴围成平 =
面图形 D. (1) (3) 求 D 的面积 A; (2) (4) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V.

6

y

解 : (1)

设 切 点 的 横 坐 标 为 x0 , 则 曲 线

y = ln x 在点 ( x0 , ln x 0 ) 处的切线方程是
1
D O

y = ln x 0 +
1
e
x

1 ( x ? x 0 ). x0

----1 分

由该切线过原点知 ln x 0 ? 1 = 0 , 从而 x 0 = e.

所以该切线的方程为

y=
平面图形 D 的面积

1 x. e

----1 分

A = ∫ (e y ? ey ) dy =
0

1

1 e ? 1. 2

----2 分

(2) 切线 )

y=

1 x e 与 x 轴及直线 x = e 所围成的三角形绕直线 x = e 旋转所得的圆锥体积为
2分

1 V1 = πe 2 . 3

曲线 y = ln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 旋转所得的旋转体体积为

V2 = ∫ π (e ? e y ) 2 dy
0

1



1分

因此所求旋转体的体积为 因此所求旋转体的体积为
1 1 π V = V1 ? V2 = πe 2 ? ∫ π (e ? e y ) 2 dy = (5e 2 ? 12e + 3). 0 3 6

1分

小题, 五、证明题(本题共 1 小题,共 7 分). 证明题(
x 1.证明对于任意的实数 1.证明对于任意的实数 x , e ≥ 1 + x .

eξ 2 e = 1+ x + x ≥ 1+ x 2 解法一: 解法一: x 解法二: 解法二:设 f ( x ) = e ? x ? 1. 则 f (0) = 0.
x

1分

′ 因为 f ( x ) = e ? 1.
x

当 x ≥ 0 时, f ′( x ) ≥ 0. f ( x ) 单调增加, f ( x ) ≥ f (0) = 0. 单调增加, ′ 单调增加, 当 x ≤ 0 时, f ( x ) ≤ 0. f ( x ) 单调增加, f ( x ) ≥ f (0) = 0.
x

1分

2分 2分 1分 2分

所以对于任意的实数 所以对于任意的实数 x , f ( x ) ≥ 0. 即 e ≥ 1 + x 。 解法三:由微分中值定理得, 解法三:由微分中值定理得, 当 x ≥ 0 时, e > 1 , e ? 1 ≥ x 。
x x

e x ? 1 = e x ? e 0 = eξ ( x ? 0) = eξ x ,其中 ξ 位于 0 到 x 之间。 之间。
ξ ξ

2分 2分 1分

当 x ≤ 0 时, e < 1 , e ? 1 ≥ x 。 所以对于任意的实数 所以对于任意的实数 x , e ≥ 1 + x 。
x

7

(四)
一.填空题(每小题 4 分,5 题共 20 分) 填空题( :
1

1. .

lim(e x ? x) x =
2

1

x →0

e2 .

∫ 2. .

1 ?1

x (1 + x 2005 )( e x ? e ? x ) dx =
x+ y
2

4 e.
dy 确定, 确定,则 dx
x =0

3.设函数 y = y ( x) 由方程 ∫ 1 .
x

e ?t dt = x

=

e ?1.

1 2 x f (x ) 可导,且 ∫ 1 tf (t ) dt = f ( x ) , f (0) = 1 ,则 f (x ) = e 2 . 可导, 4. 设

5.微分方程 y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 0 的通解为 y = . 选择题( 二.选择题(每小题 4 分,4 题共 16 分) : 1.设常数 k > 0 ,则函数 . (A) 3 个;
? (A) y = A cos 2 x ; )

(C1 + C 2 x)e ?2 x .

f ( x) = ln x ?
(B) 2 个;

x +k e 内零点的个数为( 在 ( 0, + ∞ ) 内零点的个数为( B ).
(C) 1 个;
? (B) y = Ax cos 2 x ; )

(D) 0 个.

2. 微分方程 y ′′ + 4 y = 3 cos 2 x 的特解形式为 ( C ) . (C) y = Ax cos 2 x + Bx sin 2 x ; ) 3.下列结论不一定成立的是 . ( A )
d
?

* (D) y = A sin 2 x )

(A) (A)

∫ f (x )dx ≤ ∫a f (x )dx ; 若 [c, d ] ? [a, b] ,则必有 c
b

(B) (B) (C) (C)

∫ f ( x ) dx ≥ 0 ; 上可积, 若 f ( x ) ≥ 0 在 [a, b] 上可积,则
b a

若 f (x ) 是 周 期 为 T 的 连 续 函 数 , 则 对 任 意 常 数 a 都 有



a +T a

f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
T 0

;

(D) (D)

为奇函数, 若可积函数 f ( x ) 为奇函数,则
1



x 0

t f ( t ) dt

也为奇函数. 也为奇函数.

f (x ) =

1+ e x
1 x

2 + 3e , 则 x = 0 是 f (x ) 的( C ). 4. 设 (A) 连续点; 连续点; (B) 可去间断点; 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; 跳跃间断点; 三.计算题(每小题 6 分,5 题共 30 分) 计算题( : 1.计算定积分 ∫0 . 解:
2

(D) 无穷间断点. 无穷间断点.

x 3 e ? x dx
2

.
2

设x2 = t , 则 ∫

2

0

x 3 e ? x dx =



2

0

1 ?t 1 2 te dt = ? ∫ tde ? t 2 2 0

-------2

8

? 2 2 1? = ? ?te ?t ? ∫ e ?t dt ? 0 0 2? ? -------2 2 1 3 1 = ? e ?2 ? e ?t = ? e ? 2 0 2 2 2 --------2 x sin x ∫ cos 5 x dx . 2.计算不定积分 . x sin x 1 1 1? x dx ? ∫ cos5 x dx = 4 ∫ xd ( cos4 x ) = 4 ? cos 4 x ? ∫ cos 4 x ? ? ? 解:
=

--------3

x 1 ? ∫ (tan 2 x + 1)d tan x 4 4 cos x 4 x 1 1 = ? tan 3 x ? tan x + C 4 4 cos x 12 4 -----------3 x = a (t ? sin t ), ? π ? t= 2 处的切线的方程. 3.求摆线 ? y = a (1 ? cos t ), 在 处的切线的方程. .
解:切点为

(a (

π
2

? 1),

a)
-------2

k=

dy dx

t=

π
2

=

a sin t a (1 ? cos t ) t = π

2

切线方程为
x

y ? a = x ? a(

π
2

=1

-------2 即

? 1)

y = x + (2 ?

π
2

)a
. -------2

4. 设 5.设 .

F ( x ) = ∫ cos( x 2 ? t ) dt
0

2 2 ,则 F ′(x) = 2 x cos x ? ( 2 x ? 1) cos( x ? x ) .

xn =

解:

(n + 1)(n + 2)(n + 3)L(2n) lim x n n ,求 n → ∞ . 1 n i ln xn = ∑ ln(1 + ) n i =1 n ---------2
n
n 1 i 1 lim ln xn = lim ∑ ln(1 + ) = ∫ ln(1 + x)dx 0 n→∞ n→∞ n n i =1

--------------2 ------------2

1 dx = 2 ln 2 ? 1 0 1+ x = 4 2 ln 2 ?1 = lim x n e e 故 n→∞ = x ln(1 + x) 1 ? ∫ x 0
1

四.应用题(每小题 9 分,3 题共 27 分) 应用题( 1.求由曲线 y = .

x ? 2 与该曲线过坐标原点的切线及 x 轴所围图形的面积 轴所围图形的面积.

解:

9

( 设切点为 x0 , y0 ) ,则过原点的切线方程为

y=

1 x 2 x0 ? 2 ,

( 在切线上,带入切线方程, 由于点 x0 , y0 ) 在切线上,带入切线方程,解得切点为 x0 = 4, y0 =
过原点和点 ( 4, 2 ) 的切线方程为 面积

2 .-----3

y=

x 2 2 -----------------------------3

s = ∫ ( y 2 + 2 ? 2 2 y )dy
0 2 0

2

2 2 = 3 -------------------3 2 2 3



s=∫

1 2 2

xdx + ∫ (
2
2 2

4

1 2 2

x ? x ? 2 )dx =

2.设平面图形 D 由 x + y ≤ 2 x 与 y ≥ x 所确定,试求 D 绕直线 x = 2 旋转一周所生成的 . 所确定, 旋转体的体积. 旋转体的体积

解: 法一: V = V1 ? V2 法一:

=



1 0

π 2 ? (1 ? 1 ? y 2 ) dy ? ∫ π ( 2 ? y ) 2 dy
1 0

[

= 2π ∫

[ 1? y
1

]

2

1

2

? ( y ? 1) 2 dy
-------6

]

0

?π 1 1? π 1 = 2π ? ? ( y ? 1) 3 ? = 2π ( ? ) 0? 4 3 ?4 3
法二:V= 法二:
1 0

--------3

2π ∫ ( 2 ? x )( 2 x ? x 2 ? x ) dx
0
1 0

= 2π ∫ ( 2 ? x ) 2 x ? x 2 dx ? 2π ∫ ( 2 x ? x 2 )dx
1 4 = π ∫ ( 2 ? 2 x ) 2 x ? x 2 + 2 2 x ? x 2 dx ? π 0 3 3 ?2 ? 4 1 1 = π ? ( 2 x ? x 2 ) 2 + 2 × π × 1? ? π 0 4 ?3 ? 3 2 1 4 1 2 = π + π2 ? π = π2 ? π 3 2 3 2 3

------------------ 5

[

]

------------- 4

3.

t 最小? 设 a > 1, f (t ) = a ? at 在 ( ?∞, +∞ ) 内的驻点为 t ( a ). 问 a 为何值时 t (a ) 最小 并求最

小值. 小值

10

解:

由f ′(t ) = a t ln a ? a = 0得t ( a ) = 1 ?

ln ln a . ln a --------------- 3

又由t ′( a ) =

ln ln a ? 1 = 0得唯一驻点 a = e e 2 a (ln a ) ------------3

当a > e e时, t ′(a ) > 0;当a < e e时, t ′(a ) < 0, 于是a = e e 为t (a )的极小值点. -----2


a = e e 为t (a )的最小值点, 最小值为 t (e e ) = 1 ?

ln e 1 = 1? . e e --------------1

五.证明题(7 分) 证明题(

1 f (0)=f (1) = 0, f ( ) = 1, 2 上连续, 设函数 f ( x ) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导且
试证明至少存在一点 ξ ∈ (0,1) , 使得 f ′(ξ )=1. 证明: 可导, 证明:设 F ( x ) = f ( x ) ? x , F ( x ) 在 [0,1] 上连续在 (0,1) 可导,因 f (0)=f (1)=0 , 有 F (0) = f (0) ? 0 = 0, F (1) = f (1) ? 1 = ?1 ,--------------- 2

1 1 1 1 1 1 1 f ( )=1 F ( )=f ( )- =1- = , [ , 1] 2 2 2 2 2 在 2 上 F ( x ) 用零点定理, 又由 2 ,知 用零点定理, 1 1 F (1) F ( )=- < 0 2 2 根据 ,--------------- 2 1 1 ( , 1) F (η )=0,η ∈ ( ,1) ? (0,1) 2 , 可知在 2 内至少存在一点η ,使得
F (0)=F (η )=0 由 ROLLE 中 值 定 理 得 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ (0,η ) ? (0,1) 使 得 F ′(ξ )=0 即 f ′(ξ ) ? 1=0 ,证毕 --------------3 证毕.

标准答案
一、 1 二、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.

y = x 3 + 1;

2

2 ; 3

3

0;

4

0.

三、 1 解 原式 = lim
x →0

x ? 5x 3x 2

=

5 3
2分

6分

2



ex x Q ln y = ln 2 = ? ln( x 2 + 1), x +1 2 ex 1 2x ∴ y′ = 2 [ ? 2 ] x +1 2 x +1

4分

3

解 原式 =

1 2 2 ∫ ln(1 + x )d (1 + x ) 2

3分

11

1 2x = [(1 + x 2 )ln(1 + x 2 ) ? ∫ (1 + x 2 ) ? dx] 2 1 + x2

2分

1 = [(1 + x 2 )ln(1 + x 2 ) ? x 2 ] + C 2
4 解 令 x ? 1 = t, 则 2分 1分

1分

∫0

3

f ( x)dx = ∫?1 f (t )dt
1 2 t dt + ∫1 (et + 1)dt 1 + cos t

2

= ∫?1

1分

2 = 0 + [et + t ]1

1分 1分

= e2 ? e + 1
5 两边求导得 e
y

? y′ + cos x = 0,
1分

2分

Q y′ = ?

cos x ey

=

cos x sin x ? 1 cos x dx sin x ? 1

1分

∴ dy =


2分

6



f (2 x + 3)dx =

1 f (2 x + 3)d (2 x + 2) 2∫
4分

2分

1 = sin(2 x + 3) 2 + C 2


7

3 ?3 ? 原式= 原式 lim ? 1 + ? n→∞ ? 2n ?

2n 3 ? 2

=e

3 2

6分

四、1 解 令 ln x = t , 则 x

= et , f ′(t ) = 1 + et ,
2分 2分 1分

3分

f (t ) = ∫ (1 + et )dt = t + et + C.
Q f (0) = 1,∴ C = 0,

∴ f ( x) = x + e x .

12

2



Vx = ∫ 2π π cos 2 xdx
? 2

π

3分

= 2π ∫02 cos 2 xdx

π

2分

=
3 解

π2
2

.

2分

y′ = 3 x 2 ? 6 x + 24, y′′ = 6 x ? 6,
= 1.
当1 < 1分

1分

令 y′′ = 0, 得 x 当 ?∞ <

x < 1 时, y′′ < 0;

x < +∞ 时, y′′ > 0,
1分

2分

∴ (1,3) 为拐点 为拐点,
该点处的切线为 y

= 3 + 21( x ? 1). 1 2 1? x ?1 = , 2 1? x 2 1? x
1分

2分

4



y′ = 1 ?

2分

令 y′ = 0, 得 x

3 = . 4

?3? 5 y (?5) = ?5 + 6, ≈ ?2.55, y ? ? = , y (1) = 1, ?4? 4

2分



最小值为 y ( ?5) = ?5 +

?3? 5 6, 最大值为 y ? ? = . ?4? 4
1分

2分

五、证明



b

a

( x ? a)( x ? b) f ′′( x) = ∫ ( x ? a)( x ? b)df ′( x)
a

b

= [( x ? a )( x ? b) f ′( x)] a ? ∫a f ′( x)[2 x ? (a + b)dx
b b

1分 1分

= ? ∫a [2 x ? (a + b)df ( x) = ?{[2 x ? (a + b)] f ( x)} a + 2 ∫a f ( x)dx
b b

b

1分 1分

= ?(b ? a )[ f (a ) + f (b)] + 2 ∫a f ( x)dx,
移项即得所证. 移项即得所证. 1分

b

13


大一下学期高等数学期末考试试题及答案

大一下学期高等数学期末考试试题及答案_理学_高等教育_教育专区。高数 高等数学 ...高数 高等数学 A(下册)期末考试试题【A 卷】 院(系)别 大题 小题 得分 ...

大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案_理学_高等教育_教育专区。第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题 (本大题共 16 小题,总计 80 分) 1、(本小题...

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解_理学_高等教育_教育专区。大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共 12 分) 1. (3 分)若 f ( x ) ? ? (A)1 (...

大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案_理学_高等教育_教育专区。高等数学试题及答案 第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题 (本大题共 16 小题,总计 80...

大一第一学期期末高数A试卷及答案

大一第一学期期末高数A试卷及答案_理学_高等教育_教育专区。湖南大学高数真题高等数学 I 1. 当 x ? x0 时, ? ? x ? , ? ? x ? 都是无穷小,则当 x...

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试题_理学_高等教育_教育专区。大一上学期高数期末考试卷一...ln x 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕...

大一高数期末考试复习题及答案

大一高数期末考试复习题及答案_院校资料_高等教育_教育专区。本页满分 36 分本页得分 小题, 一.填空题(共 5 小题,每小题 4 分,共计 20 分) 填空题( 1...

大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期(第一学期)高数期末考试题_理学_高等教育_教育专区。大一上学期高数...0 及 F ?(? 2 ) ? 0 ,即 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0 . ...

大学一年级高数期末考试题及答案

大学一年级高数期末考试题及答案_工学_高等教育_教育专区。大一上学期第一学期高等数学期末考试试卷答案 第一学期高等数学期末考试试卷答案 学期高等数学期末考试试卷...

大一高数试题及答案

信号与系统期末考试题库... 22页 1下载券 高等数学试题及答案 10页 免费大...大一高数试题及答案一、填空题(每小题1分,共10分) 1.函数 y ? arcsin 1 ...