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2015年全国高中数学联赛模拟试题07


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 07 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.若函数 f ( x) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? 3 对称,则 f ( x) 的最大值是
2 2

2.设 f ( x) ? ax 2 ? (2

b ? 1) x ? a ? 2(a, b ? R, a ? 0) 在[3,4]上至少有一个零点,则 a ? b 的最小值为
2 2

3.设直线 l 与曲线 y ? x3 ? x ? 1 有三个不同的交点 A, B, C ,且 AB ? BC ? 5 ,则直线 l 的方程为________ 4.椭圆

x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 4) 的左焦点为 F , A, B 在椭圆上且满足 AB ? 6 , 16 b 2 则 FA FB 的最大值为

5.设实数 a , b 满足条件 a ? x1 ? x2 ? x3 ? x1 x2 x3 , ab ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ,其中 x1 , x2 , x3 ? 0 , 则P ?

a 2 ? 6b ? 1 的最大值是 a2 ? a



6.若 D 是边长为 1 的正三角形 ABC 的边 BC 上的点, ?ABD 与 ?ACD 的内切圆半径分别为 r 1, r 2, 若 r1 ? r2 ?

3 ,则满足条件的点 D 有两个,分别设为 D1 , D2 ,则 D1 , D2 之间的距离为 5

7.三棱锥 A-BCD 中,△BCD、△ACD 均为边长为 2 的正三角形, △BCD 在平面 ? 内, 侧棱 AB= 3 .现对其四个顶点随机贴上写有数字 1 至 8 的 8 个标签中的 4 个, 并记对应的标号为 f

?? ? ,(? 取值为 A、B、C、D),E

为侧棱 AB 上一点.

若|BE|: |EA|=f(B):f(A),则二面角 E-CD-A 的平面角 ? 大于

? 的概率为 4
1 ? k ?1 1 ? xk
n ?1

8.设方程 x ? 1 ( n 为奇数)的 n 个根为 1, x1 , x2 ,
n

, xn?1 ,则 ?



二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. 如图,已知抛物线 C: y =4 x ,过点 A(1,2)作抛物线 C 的弦 AP,AQ. (1)若 AP⊥AQ,证明:直线 QP 过定点,并求出定点坐标; (2)假设直线 PQ 过点 T (5,-2),请问是否存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ? 若存在,求出△QAP 的个数,若不存在请说明理由. 10.求正整数 k1 , k2 ,
2

y P A O
Q

kn 和 n 使得 k1 +k2 +???+kn = 5n ? 4 ,且

1 1 1 + +??? =1 k1 k 2 kn

x

11.设 n 为一个正整数,证明:存在实数 a0 和 akl , k , l ? 1, 2, ???, n , k ? l ,使得

sin 2 nx ? a0 ? ? akl cos 2(k ? l ) x sin 2 x 1?l ? k ? n
对所有的实数 x ? m? , m ? Ζ 均成立。

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 07 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 在 ?ABC 中, 点 B2 是 AC 边上旁切圆圆心 B1 关于 AC 中点的对称点, 点 C2 是 AB 边 上旁切圆圆心 C1 关于 AB 中点的对称点, BC 边上旁切圆切 BC 边于点 D .求证: AD ? B2C2 . ( AC 边上 旁切圆指与 BA、BC 的延长线及线段 AC 均相切的圆. )

二、 (本小题满分 40 分)

若非空集合 A ? ?1,2,3,

, n? 满足 A ? min x ,则称 A 为 n 级好集合.记 an 为 n 级好集合的个数(其中
x? A
x? A

min x 表示集合 A 的最小元素) . 求证: 对一切正整数 n , 都有 an?2 ? an?1 ? an ? 1. A 表示集合 A 的元素个数,

三、 (本题满分 50 分) (1)设 p 为奇质数, a, b, n ? N * , p a ? b , p 不整除 b, a ? b 则 p? n ? p?
n n

a n ? bn a?b

(2) a , b 是不同的正有理数,使得存在无穷多个正整数 n, a ? b 是正整数,求证: a , b 也是正整数

四、 (本题满分 50 分) 设 n ? 3, 且 n ? N? ,(a1 , a2 , 个排列,若对 ?k ? 1, 2, 最小值。

an ) 是任意的和为正数的 n 个不同的实数。 (b1, b2 ,
k t ?1

, bn ) 是这 n 个数的一

, n ,有 ? bi ? 0 。我们就称 (b1 , b2 ,

。求“好排列”个数的 bn ) 是一个“好排列”

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 07 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.若函数 f ( x) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? 3 对称,则 f ( x) 的最大值是
2 2

解:36.以 f (5) ? 0, f (7) ? 0 ,所以 a ? ?12, b ? 35, f ( x) ? (1 ? x2 )( x2 ?12 x ? 35)

? ? ?( x ? 3)2 ? 6 ? x ? 3? ? 8? ? ( x ? 3) 2 ? 6 ? x ? 3? ? 8 ? ? ? ? ( x ? 3) 2 ? 8 ? ? 36( x ? 3) 2 ? ?t 2 ? 20t ? 64
2

所以 t ? 10 即 x ? 3 ? 10 时 f ( x) 的最大值是 36 . 2.设 f ( x) ? ax 2 ? (2b ? 1) x ? a ? 2(a, b ? R, a ? 0) 在[3,4]上至少有一个零点,则 a ? b 的最小值为
2 2

解:由已知得,设 t 为二次函数在[3,4]上的零点,则有 at 2 ? (2b ? 1)t ? a ? 2 ? 0 ,变形

(2 ? t )2 ? [a(t 2 ?1) ? 2bt ]2 ? (a2 ? b2 )((t 2 ?1)2 ? t 2 ) ? (a2 ? b2 )(1 ? t 2 )2 , 5 t ?2 2 1 1 , t ? [3, 4] 是 减 函 数 , 上 述 式 子 在 于 是 a2 ? b 2 ? ( ,因为 t ? 2? ) ? ? 2 5 t ?2 1? t 100 2 (t ? 2 ? ? 4) t ?2 2 3 1 2 2 t ? 3, a ? ? , b ? ? 时取等号,故 a ? b 的最小值为 25 50 100 2 解法 2 把等式看成关于 a , b 的直线方程 : ( x ?1)a ? 2 xb ? x ? 2 ? 0 ,利用直线上一点( a , b )到原点的距 x?2 2 2 离大于原点到直线的距离,即 a ? b ? (以下同上) 。 ( x 2 ? 1) 2 ? (2 x) 2
3.设直线 l 与曲线 y ? x3 ? x ? 1 有三个不同的交点 A, B, C ,且 AB ? BC ? 5 ,则直线 l 的方程为________ 解:曲线关于(0,1)点对称,设直线方程为 y ? kx ? 1, A( x, y) ,

? y ? kx ? 1 ? ? 3 ? (k ? 2)(k 2 ? k ? 2) ? 0 ? k ? 2 。所求直线方程为 y ? 2 x ? 1 。 则 ? y ? x ? x ?1 ? 2 2 ? ? x ? ( y ? 1) ? 5 x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 4) 的左焦点为 F , A, B 在椭圆上且满足 AB ? 6 , 4.椭圆 16 b 2 则 FA FB 的最大值为

5.设实数 a , b 满足条件 a ? x1 ? x2 ? x3 ? x1 x2 x3 , ab ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ,其中 x1 , x2 , x3 ? 0 ,

a 2 ? 6b ? 1 的最大值是 。 a2 ? a 3 解: 1 ? . a ? x1 x2 x3 ? x1 ? x2 ? x3 ? 33 x1 x2 x3 ? 33 a ,∴ a ? 3 3 , a 2 ? ( x1 ? x2 ? x3 )2 9 2 2 2 ? x1 ? x2 ? x3 ? 2( x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ) ? 3( x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ) ? 3ab ,从而, a ? 3b
则P ?

a 2 ? 6b ? 1 a 2 ? 2a ? 1 a ? 1 1 1 3 P? ? ? ? 1? ? 1? ? 1? 2 2 a a 9 a ?a a ?a 3 3

当且仅当 x1 ? x2 ? x3 , a ? 3 3 , a ? 3b 时等号成立。

a 2 ? 6b ? 1 3 有最大值 1 ? 2 9 a ?a 6.若 D 是边长为 1 的正三角形 ABC 的边 BC 上的点, ?ABD 与 ?ACD 的内切圆半径分别为 r 1, r 2,
即 x1 ? x2 ? x3 ? 3 , a ? 3 3 , b ?

3 时, P ?

3 ,则满足条件的点 D 有两个,分别设为 D1 , D2 ,则 D1 , D2 之间的距离为 5 6 1 3 解: .设 BD ? x ,由余弦定理得 AD ? x2 ? x ? 1 。一方面, S ?ABD ? x ,另一方面, 5 2 2 1 3 S?ABD ? 1 ? x ? x 2 ? x ? 1 r1 ,解得 r1 ? 1 ? x ? x 2 ? x ? 1 。同理可得 2 6 1 3 3 r2 ? 2 ? x ? x 2 ? x ? 1 。从而有 r1 ? r2 ? 3 ? 2 x 2 ? x ? 1 。当 x ? 时, r1 ? r2 有最大值,且最 2 6 6 19 3 ?1 3 3 ?1 3 2 ? 0。 大值为 , 所以 。 由于 r1 ? r2 ? , 所以 x ? x ? 设两个根分别为 x1 , x2 , ? r1 ? r2 ? 100 2 6 2 5 6 2 则 x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? 5
若 r1 ? r2 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

7.三棱锥 A-BCD 中,△BCD、△ACD 均为边长为 2 的正三角形, △BCD 在平面 ? 内, 侧棱 AB= 3 .现对其四个顶点随机贴上写有数字 1 至 8 的 8 个标签中的 4 个, 并记对应的标号为 f

?? ? ,(? 取值为 A、B、C、D),E

为侧棱 AB 上一点.

若|BE|: |EA|=f(B):f(A),则二面角 E-CD-A 的平面角 ? 大于

? 的概率为 4

8.设方程 x ? 1 ( n 为奇数)的 n 个根为 1, x1 , x2 ,
n

, xn?1 ,则 ?

解:

n ?1 2k? 2k? ? i sin . xk ? cos , k ? 1, 2,3, , n ? 1 .注意到 2 n n ?2k? ?2k? 2k? ? 2k? ? ? ? xk ? cos ? i sin ? cos ? 2? ? ? ? i sin ? 2? ? ? n n n ? n ? ? ?

1 ? k ?1 1 ? xk

n ?1



? cos

2 ? n ? k ?? 2 ? n ? k ?? xk xk 1 1 1 1 1 ? i sin ? xn?k .∴ ? ? ? ? ? ? 1. n n 1 ? xk 1 ? xn?k 1 ? xk 1 ? xk 1 ? xk xk xk ? xk

而 n 为奇数,所以 n ? 1 为偶数,从而

?1? x
k ?1

n ?1

1

?

k

n ?1 . 2

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. 如图,已知抛物线 C: y 2=4 x ,过点 A(1,2)作抛物线 C 的弦 AP,AQ. (1)若 AP⊥AQ,证明:直线 QP 过定点,并求出定点坐标; (2)假设直线 PQ 过点 T (5,-2),请问是否存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ? 若存在,求出△QAP 的个数,若不存在请说明理由 设 PQ 的直线方程为 x=my+n,点 P、Q 的坐标分别为 P?x1 , y1 ?、Q?x2 , y2 ? . 由?

y P A x
Q
2

O

?x ? m y ? n 得 y 2 ? 4my ? 4n ? 0 由 2 y ? 4 x ?

0得

+n 0, y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4n
2

y1 y , x2 ? 2 , 4 4 则( -2) ( -2)[( +2) ( +2)+16]=0 所以( -2) ( -2)=0 或( +2) ( y2 +2)+16=0 所以 n=-2m+1 或 2m+5.因为 ? ? 0 ,所以 n=2m+5,即直线 PQ 的方程为 x-5=m(y+2) ,
由 AP ? AQ 得 | AP | ? | AQ | ? 0 ,所以 ?x1 ? 1??x2 ? 1? ? ? y1 ? 2?? y2 ? 2? ? 0 又 x1 ?
所以直线 PQ 过定点 T(5,-2) 。所以 n=2m+5,直线 PQ 的方程为 x=my+2n+5. 设点 P、Q 的坐标分别为 P(

) 、Q(

)由 ?

? x ? my + n 2 ? y ? 4x
2



y 2-4my-8m-20=0 所以 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?8m ? 20
2 2 y1 ? y2 y1 ? y2 ? ? , ?即? 8 2 ? ? ?

? x ? x2 因为 PQ 的中点为 ? 1 , ? 2
所以 PQ 的中点为(2

y1 ? y2 ? ? y ? y2 ? ? 2 y1 y2 ? 2m2 ? 2m ? 5 ? ,又 1 ? 2 ? 8

2m ? 2 ? ?m, 即m3 ? m 2 ? 3m ? 1 ? 0 2m ? 2m ? 5 ? 1 3 2 3 设 g(m)= m ? m ? 3m ?1, 则g ' (m) ? 3m ? 2m ? 3 ? 0 所以 g(m)在(0,1)内有一个零点,
+2m +5,2m)由已知得
2

即函数 g(m)在 R 上只有一个零点所以方程 m ? m ? 3m ? 1 ? 0 在 R 上只有一个零点 故满足条件的等腰三角形有且只有一个﹒
3 2

10.求正整数 k1 , k2 ,

kn 和 n 使得 k1 +k2 +???+kn = 5n ? 4 ,且

1 1 1 + +??? =1 k1 k 2 kn

解: 由

0 (i=1, 2, . . . , n) , 则? ?

?1 1 1? ?k1 ? k2 ? ? ? ? ? kn ? ? n 2 ①所以,5n+4 ? n2 ,解得 1 n 4. ? ? ??? ? ? ? kn ? ? k1 k2
(i=1,2,﹒﹒, )均相等﹒

由式①等号成立条件知,当 n=1 或 n=4.时,所有的 (1) (2) (3) 当 n=1 时, =1,即 k=1 当 n=4 时, k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 16 ,且 当 n=2 时,

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 解得k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 4 k1 k2 k3 k4

1 1 1 1 k k ? ? 6, 且 ? ? 1,此二式相乘得 2 ? 1 ? 4 则 为无理数,矛盾,无解 k1 k2 k1 k2 k1 k2

(4)


当 n=3 时, k1 ? k 2 ? k3 ? 11且

1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? 1不妨设=11,则 1= ? ? ? 解得k1 ? 3 k1 k2 k3 k1 k2 k3 k1
=3 时, 则由 k1 ? k2 ? k3 , =11,

时, 则 + = ,k1 ? k2 ? k3k2 ? k3 ? 9 , 得 k2 ? 3,k3 ? 6 若

矛盾 k2 ? 3, k3 ? 3, 与k1 ? k2 ? k3 ? 11 , 综上,当 n=1 时,k=1;当 n=4 时, k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 4 当 n ? 3时, ?k1, k2 , k3 ? ? ?2,3,6? 及其循环解

11.设 n 为一个正整数,证明:存在实数 a0 和 akl , k , l ? 1, 2, ???, n , k ? l ,使得

sin 2 nx ? a0 ? ? akl cos 2(k ? l ) x sin 2 x 1?l ? k ? n
对所有的实数 x ? m? , m ? Ζ 均成立。
n sin nx cos(n ? 1) x sin nx sin(n ? 1) x 解 利用恒等式 S1 ? ? cos 2 jx ? 和 S2 ? ? sin 2 jx ? sin x sin x j ?1 j ?1 n

? sin nx ? 我们得到 S ? S ? ? ? . ? sin x ?
2 1 2 2

2

另一方面,
2 S12 ? S2 ? (cos 2 x ? cos 4 x ?

? cos 2nx) 2 ? ? sin 2nx) 2

(sin 2 x ? sin 4 x ? ? n?2 ? n?2
2
1?l ? k ? n

? ?

(cos 2kx cos 2lx ? sin 2kx sin 2lx) cos 2(k ? l ) x ,

1?l ? k ? n

? sin nx ? 从而 ? ? ? n ? 2 ? cos 2(k ? l ) x .令 a0 ? n 和 akl ? 2 ,1 ? l ? k ? n ,即满足题意。 ? sin x ? 1?l ? k ? n

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 07 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 在 ?ABC 中, 点 B2 是 AC 边上旁切圆圆心 B1 关于 AC 中点的对称点, 点 C2 是 AB 边 上旁切圆圆心 C1 关于 AB 中点的对称点, BC 边上旁切圆切 BC 边于点 D .求证: AD ? B2C2 . ( AC 边上 旁切圆指与 BA、BC 的延长线及线段 AC 均相切的圆. )

二、 (本小题满分 40 分)

若非空集合 A ? ?1,2,3,

, n? 满足 A ? min x ,则称 A 为 n 级好集合.记 an 为 n 级好集合的个数(其中
x? A
x? A

min x 表示集合 A 的最小元素) . 求证: 对一切正整数 n , 都有 an?2 ? an?1 ? an ? 1. A 表示集合 A 的元素个数,

三、 (本题满分 50 分)

a n ? bn (1)设 p 为奇质数, a, b, n ? N , p a ? b , p 不整除 b, a ? b 则 p n ? p a?b
*

?

?

(2) a , b 是不同的正有理数,使得存在无穷多个正整数 n, a n ? bn 是正整数,求证: a , b 也是正整数 证 明 : ( 1) 设a ?b ?l ? p
?

, p不整除l, ? ? N * ,则

a n ? bn 1 1 1 ? n ?1 k ? ((b ? lp ? )n ? bn ) ? ? (Cn lp b ? ? Cn (lp ? )k bn?k ) ? ? (lp ? )n ? a ?b l? p lp n k ?1 k ?1 ? ( k ?1) n ? k a n ? bn n ?1 n ?1 ? ( n ?1) ? ? ? nb ? ? Cn ?1 l p b ? ?l p .①设 p || n ,只需证明 p || . ② k a ?b n k ?1 k ?1 ? ( k ?1) n ? k Cn ?1 l p b (k ? 1) ,若能证得 pl ?1 | ck (k ? 1) , ③ 因为 p? || nbn?1 ,而对①式的其它项 ck k p ? ( k ?1) l ?1 n ? ( k ?1) 即有②.欲证③,只需 p | p 既约后的分子 ? p | 既约后的分子④ k k p ? ( k ?1) p ? ( k ?1) ? 1 ,即 而 p ? ( k ?1) ? (1 ? 1)( k ?1) ? 1 ? (k ?1) ? k ,所以 既约后分子大于 1,但其分子应为 p 的 k k
幂,所以④成立.

x y , b ? , x, y, z ? N * 且 ( x, y, z ) ? 1, an ? bn ? Z ? z n | xn ? y n .⑤ z z 分两种情况 1): z ? 2k , k ? N ,若 k=0,则 a,b 为正整数,原题得证. * k 若 k ? N ,设 2? || x2 ? y 2 , ?n ? N * , z n | xn ? y n ,设 n ? 2 ? l ,l 为奇数,则 2n | x n ? y n . ⑥
(2)不妨设 a ? 因为 ( x, y, z ) ? 1,所以 x,y 均为奇数, xn ? yn ? x2 l ? y2 l ? ( x2 ? y2 )( x2
k k k k k

(l ?1)

?

? y2 (l ?1) )
k

k

? ( x2 ? y2 )( x2 ? y2 )
?
2 2

( x2 ? y2 )( x2
2 2 4

k ?1

k ?1

k

(l ?1) 4

?

? y2

k

(l ?1)

),
k ?1 k

,2 || x ? y2 ,2 不整除 x2 (l ?1) ? ? y2 (l ?1) , k k 所以 2? ?( k ?1) || xn ? y n .结合⑥有 n ? ? ? (k ? 1) ,但因为 n ? 2 l ? 2 ,所以 k ? log2 n , 所以 n ? ? ? log2 n ?1 ,上式只能对有限多个 n 成立,矛盾.
注意到 2 || x ? y ,2 || x ? y ,2 || x ? y ,
k k * n n 2):存在奇质数 p | z .设 k 为满足 p | x ? y 的最小正整数.则若 n ? N , p | x ? y ,即

2k ?1

xn ? y n (mod p) ? ( xy ?1 )n ? 1(mod p) .
p p ?1 k

?1 ⑦( y 为 y 的数论倒数 mod p 下同)

因为 x ? y (mod p ) ,所以 ( xy ) ? 1(mod p) ,

⑧由⑦,⑧熟知有 k | n .设 p || x ? y , p ||
k k

?

?

n ,则 k

xn ? y n ? ?? ,所以, p || xn ? y n , 因为 z n | xn ? y n , k k x ?y n n n 所以 p || x ? y , 结合上面二式有 n ? ? ? ? ? ? ? log p n (最后一个不等号可由⑨得到) ,
n ? p ? ? log p n ? ? , k
⑨由(1) , p ||
?



n ?? ?l o g p n ,上式只能对有限个 n 成立,矛盾.综上可知,命题得证.

四、 (本题满分 50 分) 设 n ? 3, 且 n ? N? ,(a1 , a2 , 个排列,若对 ?k ? 1, 2, 最小值。 解:一方面当 a1 ? 0, a2 , a3

an ) 是任意的和为正数的 n 个不同的实数。 (b1, b2 ,
k t ?1

, bn ) 是这 n 个数的一

, n ,有 ? bi ? 0 。我们就称 (b1 , b2 ,

。求“好排列”个数的 bn ) 是一个“好排列”

an 均小于 0,此时易知好排列个数为 (n ? 1)! ,下证 “好排列”个数的最小值就是
! ,我们证明:对任意 an 放在圆周上,而圆排列的个数为(n-1)

(n ? 1)! 对 ? a1 , a2 ,

an 满足条件,将 a1 , a2 ,

一个圆排列均对应于题设所求的一个“好排列” ,且不同的圆排列对应不同的“好排列”! 设 a1 , a2 , an 的一个圆排列为 c1 , c2 , cn (约定 cn?i ? ci ) ,我们定义 k 元好排列( a1, a2 ,

ak )满足对

?i ? 1, 2,3,
列. ci ci ?1

k , ? a j ? 0 则( a1 , a2 ,
j ?1

i

ak )为 k 元好排列.对所有 i ??1,2,

n} 个取以 ci 为第一项的最好排

ci ?k (易知这种好排列是存在的,一个正数就为 1 元好排列)取其中最长的一个好排列,不妨设该 好排列的第 1 项为 c1 ,长度为 l ,即 c1 , c2 , cl 为好排利。 (i)若 l ? n ,则结论得证! (ii)若 l ? n ,则由 l 的最大性, c1 ? c2 ? ? cl ?1 ? 0 ,又 c1 ? c2 ? ? cn ? 0 故 cl ? 2 ? ? cn ? 0 设 t 为使 ct ? ct ?1 ? ? cn ? 0 的最小的 t ,则 t ? n ? l ? 1 且 ct , ct ? ct ?1 , , ct ? ? cn?1 均为正数, 故 (ct , ct ?1 , , cn ) 为 n ? t ? 1 元好排列。则 (ct , ct ?1 , , cn , c1 , c2 , cl ) 为长度大于 l 的好排列,矛盾!
(注:若 (ct , ct ?1 ,

cn )与(c1, c2 ,

c ) 有重复项,则去掉 c1 , c2 ,

cl 中的重复项,同样可以得到长度

大于 l 的好排列) 故 l ? n ,故一个圆排列对应一个“好排列”又显然不同的圆排到对应不同的“好排列” 综上,“好排列”至少 (n ? 1)! 个


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