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高中数学选修2-1多媒体教学优质课件 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线方程及性质的应用

时间:2015-01-02


第2课时 抛物线方程及性质的应用

方程

y2 = 2px (p>0) y l O F x≥0 x

y2 = -2px

x2 = 2py

x2 = -2py

图 形 范围

(p>0) y l
F O x

r />(p>0) y F
O x l

(p>0) y
O x∈R F

l x

y∈ R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

y≤0

对称性 顶点
离心率

关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 (0,0) e=1

1.了解抛物线的几何性质,并会应用于实际问
题之中;(重点)

2.会利用抛物线的定义、标准方程、几何性质
及图形四者之间的内在联系,分析和解决实 际问题.(重点、难点)

探究点1

抛物线几何性质的基本应用

【例1】过抛物线焦点 F的直线交抛物线于A,B两

点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线
于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.

分析: 我们用坐标法证明,即通过建立抛物线 及直线的方程,借助方程研究直线DB与抛物线对称 轴之间的位置关系. 建立如图所示的直角坐 标系,只要证明点D的纵坐标 与点B的纵坐标相等即可. 证明:如图,以抛物线的对称轴为x轴,它的
O
D

l

y
A

B

F

x

顶点为原点,建立直角坐标系.设抛物线的方程为

y 2 ? 2 px,

(1)

2 y0 点 A 的坐标为( , y 0 ), 则直线 OA 的方程为 2p 2p y? x(y 0 ? 0 ), (2) y0 抛物线的准线方程是 p x?? . (3) 2

联立(2)(3),可得点D的纵坐标为
p2 y?? . y0 (4)

p 因为点 F 的坐标为( , 0 ), 所以直线 AF 的方程为 2 2py 0 p y? 2 (x ? ), (5) 2 y0 ? p 2
2 其中 y 0 ? p2 .

联立(1)(5),可得点B的纵坐标为 p2 y?? . (6) y0 由(4)(6)可知,DB∥x轴.

当 y ? p 时 , 结 论 显 然 成 立.
2 0 2

所以,直线DB平行于抛物线的对称轴.

【例2】正三角形的一个顶点位于坐标原点, 另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正 三角形的边长. 分析:如图,设正三角形OAB的顶点A,B在 抛物线上,且它们的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2), 则 y12 =2px1, y 2 2 =2px2,

又|OA|=|OB|,所以 x1+y1=x2+y2, 即 x1-x2+2px1-2px2=0,
2 2

2

2

2

2

所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0, 因为 x1>0,x2>0,2p>0,所以 x1=x2,
由此可得|y1|=|y2|,即线段 AB 关于 x 轴对称. 由于 AB 垂直于 x 轴,且∠AOx=30°,

y1 3 2 所以 =tan30°= ,而 y1=2px1, x1 3
所以 y1=2 3p, 于是|AB|=2y1=4 3p.

故这个正三角形的边长为 4 3p. 【提升总结】 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称 轴这一性质,但往往会直观上承认而忽略了它 的证明.

探究点2

直线与抛物线的位置关系

问题1:直线与抛物线有怎样的位置关系? 1.相离; 2.相切; 3.相交(一个交点,两个交点).

y
与双曲线 的情况一


O

x

问题2:如何判断直线与抛物线的位置关系? 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行(重合) 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

【例 3】 已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,直线
l 过定点 P ( ?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l

与抛物线 y ? 4 x : 只有一个公共点 ; 有两个公共
2

点;没有公共点?

y2=4x

?

分析:用解析法解决这个问题,只要讨论直线l
的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况, 由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.

解:由题意, 设直线l的方程为y ? 1 ? k ? x ? 2 ? .
由方程组

y ? 1 ? k ? x ? 2? , y ? 4x ,
2

? ??


可 得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 2 k ? 1? ? 0

?1? 当 k ? 0 时 ,由 方 程① 得 y ? 1 .

? 2 ? 当 k ? 0 时 , 方程 ① 的判别式为
? ? ? 16 ? 2k 2 ? k ? 1? .
2 ?

1 把 y ? 1代入 y ? 4 x, 得 x ? . 4 1 这时, 直线 l 与抛物线只有一个公共点( ,1). 4
2

1 1 由 ? ? 0, 即 2k ? k ? 1 ? 0 , 解得 k ? ? 1, 或 k ? . 2 1 于是, 当k ? ?1, 或k ? 时 , 方程 ① 只有一个解, 2 从而方程组 ???只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只

有一个公共点.

1 2 由 ? ? 0, 即 2k ? k ? 1 ? 0, 解得 ? 1 ? k ? . 2 1 于是, 当 ? 1 ? k ? ,且k ? 0时, 方程① 有两个解, 2 从而方程组??? 有两个解.这时, 直线 l 与抛物线有两
? 2

个公共点.

1 3 由 ? ? 0, 即 2k ? k ? 1 ? 0, 解得 k ? ? 1, 或 k ? . 2 1 于是,当k ? ?1, 或 k ? 时, 方程 ① 没有实数解, 从而 2 方程组 ???没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点.
? 2

综上,我们可得
1 当k ? ?1, 或k ? , 或k ? 0时,直线 l 与抛物线 2 只有一个公共点. 1 当 ? 1 ? k ? ,且k ? 0时, 直线 l 与抛物线有 2 两个公共点. 1 当k ? ?1, 或k ? ,时 , 直线 l 与抛物线没有公共点. 2

【变式练习】
过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4 x 仅有一个公共点
y ? 1或 x ? 0或 y ? x ?1 的直线的方程是 __________________________.
k

1.顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过 点(-1,2),则它的方程是 ( A )

A.y=2x2或y2=-4x
B.y2=-4x或x2=2y 1 2 C.x =- y 2 D.y2=-4x

2.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的
直线,则被抛物线截得的弦长为( B ) A .8 C.32 B.16 D.61
2

3.(2013·北京高考)直线 l 过抛物线 C:x =4y 的焦 点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等 于( C )
4 A. 3
8 C. 3

B.2

6 2 D. 3

4. 抛物线 y2 = 4x 上有两个定点 A , B 分别在对称轴

的上下两侧, F为抛物线的焦点,并且 |FA|= 2 ,
|FB|= 5 ,在抛物线 AOB这段曲线上求一点 P,使

△PAB的面积最大,并求这个最大面积.
解析:由已知得 F(1,0) ,不妨设点 A 在 x 轴上方 且坐标为(x1,y1), 由|FA|=2,得x1+1=2,x1=1,

所以A(1,2),同理B(4,-4),所以直线AB的 方程为2x+y-4=0. 设在抛物线AOB 这段曲线上任一点P(x0,y0), 且0≤x0≤4,-4≤y0≤2.则点P 到直线AB的距离
y2 0 |2 × +y0-4| |2x0+y0-4| 4 d= = 5 1+ 4 1 9 2 |2(y0+1) -2| = , 5

9 5 所以 y0=-1 时,d 取最大值 , 10 又|AB|=3 5,

所以△PAB的面积最大值为
1 9 5 27 S= × 3 5× = , 2 10 4 1 此时 P 点坐标为( ,-1). 4

直线与抛物线的位置关系

⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离.
相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物

线的对称轴平行(重合);
相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线与抛

物线的对称轴不平行(重合);
相离:直线与抛物线无公共点.

⑵直线与抛物线的位置关系的判断.
把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行(重合) 相交(一个交点)

得到一元二次方程
计算判别式

>0
相交

=0
相切

<0
相离

坚持把简单的事情做好就是不简单,

坚持把平凡的事情做好就是不平凡。所谓
成功,就是在平凡中做出不平凡的坚持.


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