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2016全国3卷(文数)


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试题类型:

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考

试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
(1)设集合 A ? {0, 2, 4,6,8,10}, B ? {4,8} ,则 ?A B =
8} (A) {4, 2, 6} (B) {0,
2, 6, 10} (C) {0, 2, 4, 6, 8, 10} (D) {0,

(2)若 z ? 4 ? 3i ,则

z = |z|

(A)1
?

(B) ?1

4 3 + i (C) 5 5

4 3 ? i (D) 5 5

(3)已知向量 BA =( (A)30°(B)45° (C)60°(D)120°

? 1 3 3 1 , ) , BC =( , ) ,则∠ABC= 2 2 2 2

(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷 达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃, B 点表示四月的平均最低气温约为 5℃.下面叙述 不正确的是学科&网

(A)各月的平均最低气温都在 0℃以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 (5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是 M,I,N 中的一个字母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

8 1 1 1 (A) 15 (B) 8 (C) 15 (D) 30 1 (6)若 tanθ= 3 ,则 cos2θ= 4 1 1 4 ? (A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5 ?
(7)已知 a ? 2 , b ? 3 , c ? 25 ,则 (A)b<a<c (B) a<b<c (C) b<c<a (D) c<a<b
4 3 2 3 1 3

(8)执行右面的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n=

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
1 , BC 边上的高等于 BC , 则 sin A ? 3 (9)在 ? ABC 中,B= 4 3 (A) 10

?

10 (B) 10

5 (C) 5

3 10 (D) 10

(10)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体 的表面积为学科&网

(A) 18 ? 36 5 (B) 54 ? 18 5 (C)90 (D)81
(11)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的 最大值是 (A) 4 π (B)

9π 32π (C) 6π (D) 2 3

x2 y 2 (12)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点.P a b
为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点,则 C 的离心率为

(A)

1 1 2 3 (B) (C) (D) 3 2 3 4

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? (13)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 则 z=2x+3y–5 的最小值为______. ? x ? 1, ?
(14)函数 y=sin x–cosx 的图像可由函数 y=2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到. (15)已知直线 l: x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 x2+y2=12 交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C、 D 两点,则|CD|= .
? x ?1

(16)已知 f(x)为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e _____________________________.

? x ,则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分 12 分)
2 已知各项都为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? (2an?1 ?1)an ? 2an?1 ? 0 .

(I)求 a2 , a3 ; (II)求 ?an ? 的通项公式. (18) (本小题满分 12 分) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

注:年份代码 1–7 分别对应年份 2008–2014. (Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据:

?y
i ?1

7

i

? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 ,≈2.646.

参考公式: r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n


2

i

? y)

回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?

?

?

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? , a=y ? bt .

? t )2

(19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥地面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上 一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点. (I)证明 MN∥平面 PAB; (II)求四面体 N-BCM 的体积.

(20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线 于 P,Q 两点. (Ⅰ)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明 AR∥FQ; (Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.

(21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1. (I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)证明当 x ? (1, ??) 时, 1 ?

x ?1 ? x; ln x
x

(III)设 c ? 1 ,证明当 x ? (0,1) 时, 1 ? (c ?1) x ? c . 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙O 中 的中点为 P,弦 PC,PD 分别交 AB 于 E,F 两点。

(Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD 的大小; (Ⅱ)若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G,证明 OG⊥CD。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数) 。以坐标原点为极点,x 轴正半轴为

极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(

)=

.

(I)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (II)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求∣PQ∣的最小值及此时 P 的直角坐标. (24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=∣2x-a∣+a. (I)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (II)设函数 g(x)=∣2x-1∣.当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围。


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