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浙江省杭州市届高考数学第二次教学质量检测试题理-课件

时间:2016-08-16


2016 年杭州市第二次高考科目教学质量检测 高三数学检测试卷(理科)
选择题部分(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.设集合 A ? x x ? 2 x ? 0 , B ? y y ? x ? 2 x, x ? A ,则 A ? B ? (
2 2

?

?

>
?

?



A. ? ?1, 2?

B. ? 0, 2?

C. (??, 2]

D. [0, ??) )

2.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则“ a2 ? 0 且 a1 ? 0 ”是“数列 ?Sn ? 单调递增”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.即不充分也不必要条件

3、若直线 x=m(m>1)与函数 f ( x) ? loga x, g ( x) ? logb x 的图象与 x 轴分别交于 A,B,C 三点, 若 | AB |? 2 | BC | ,则( )

4 .设 x ? (0, ? ) ,若

1 1 ? ? ? 2 2 ,则 sin(2 x ? ) ? ( sin x cos x 3
C. ?



A.

1 2

B.

3 2

1 2

D. ?

3 2
??? ? ? 1 ???? 5 ??? AD ? AB , 6 6

5.在梯形 ABCD 中, AB // DC , AB ? AD , AD ? DC ? 1 , AB ? 2 ,若 AP ? 则 BC ? t PB (t ? R) 的取值范围是(

??? ?

??? ?



A. [

5 , ??) 5

B. [ 2, ??)

C. [

5 ,1] 5

D. [1, ??)

6.设双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的顶点为 A1, A2 ,P 为双曲线上一点, 直线 PA1 交双曲线 C a 2 b2

的一条渐近线于 M 点,直线 A2 M 和 A2 P 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 A2 M ? PA 1 且 k1 ? 4k2 ? 0 ,则 双曲线 C 离心率为( A.2 B. ) C. 5 D.4

5 2

1

7.设函数 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x ) 单调递增, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,

G( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若对任意 x1 , x2 ? R ( x1 ? x2 ) ,不等式 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]2 ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]2 恒
成立,则( ) B. F ( x), G( x) 都是减函数 D. F ( x) 是减函数, G ( x) 是增函数

A. F ( x), G( x) 都是增函数 C. F ( x) 是增函数, G ( x) 是减函数

8.在四 棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AD // BC , AB ? BC ,侧面 PAB ? 底面

ABCD ,若 PA ? AD ? AB ? kBC (0 ? k ? 1) ,则(
A.当 k ?



1 时,平面 BPC ? 平面 PCD 2

B.当 k ?

1 时,平面 APD ? 平面 PCD 2

C.当 ?k ? (0,1) ,直线 PA 与底面 ABCD 都不垂直

D. ?k ? (0,1) ,使直线 PD 与直线 AC 垂直

非选择题部分(共 110 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题分题 6 分,单空题每题 4 分,满分 36 分. 9.设函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

) (? ? 0, x ? R) ,最小正周期 T ? ? ,则实数 ? ? __________,函

数 f ( x ) 的图象的对称中心为__________,单调递增区间是__________. 10. 已知某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为__________,表面积为__________.

2

11. 设直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0, l2 ? x ? (a ?1) y ? a2 ?1 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 a ? __________.

?x ? y ? 0 ? 12.若实数 x, y 满足 ? x ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是__________. ?x ? 2 y ? 0 ?
13.设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A, B 在抛物线上,且 ?AFB ? 120 ,弦 AB 中点 M
0

在准线 l 上的射影为 M 1 ,则

MM1 AB

的最大值为__________.

14.定义 M ?x, y? ? ?

? x,( x ? y) ,y ? R) ,则 M ? , 设 a ? x2 ? xy ? x, b ? 4 y 2 ? xy ? 2 y ( x ab , ? 的最 ? y,( x ? y)

小值为__________,当 M 取到最小值是, x ? __________, y ? __________. 15.在边长为 1 的正方体, ABCD ? A B C D 中, E, F , G 分别在 BB , BC, BA 上,并且满足
' ' ' '

'

??? ? 3 ???? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? BE ? BB ' , BF ? BC , BG ? BA ,若平面 AB' F ,平面 ACE ,平面 B'CG 交 于一点 O , 4 2 2 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BO ? xBG ? yBF ? zBE ,则 x ? y ? z ? __________, OD ? __________.
三、解答题 :本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

i n A ? s i n Bs i n ? C 16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的 边分别为 a, b, c , 若 ms

( m ? R)
(1)当 m ? 3 时,求 cos A 的最小值; (2)当 A ?

?
3

时,求 m 的取值范围.

17. (本题满分 15 分)在底面为正三角形的三棱柱 ABC ? A1B1C1 , AB ? 2 , AA1 ? 平面 ABC ,
3

E, F , G 分别为 BB1 , AB, AC 的中点.
(1)求证: BG // 平面 A 1EC ; (2)若 AA 1 ? EC ? F 的大小. 1 ? 2 2 ,求二面角 A

18.(本题满分 15 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?
2 2 (1)求证: 2 ? an ?1 ? an ? 3 ;

1 (n ? N * ) . an

(2)求证:

3n ? 1 an ?1 2n . ? ? 3n ? 2 an 2n ? 1
x2 y 2 ? ? 1 交于 C , D 两 4 3

19.(本题满分 15 分)设直线 l 与抛物线 x2 ? 2 y 交于 A, B 两点,与椭圆

点,直线 OA, OB, OC, OD ( O 为坐标原点)的斜率分别为 k1 , k2 , k3 , k4 ,若 OA ? OB . (1)是否存在实数 t ,满足 k1 ? k2 ? t (k3 ? k4 ) ,并说明理由; (2)求 ?OCD 面积的最大值. 20.(本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x ? 上的最大值为 M . (1)若 b ? ?2 ,求 M 的值; (2)若 M ? k 对任意的 b, c 恒成立,求 k 的最大值.

1 ? c(b ? ?1, c ? R ) ,函数 g ( x) ? f ( x) 在区间 ??1,1? x?b

2015 学年杭州市第二次高考科目教学质量检测
4

理科数学试题参考答案 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.A 2.C 3. C 4.A 5.A 6.B 7.A 8.A

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题分题 6 分,单空题每题 4 分,满分 36 分. 9. 2

? ?? ? ? k? ? ? ? , 0 ? , ? k? ? , k? ? ? , k ? Z ? 3 6? ? ? 2 12 ?
2 3
12. [0, 2] 13.

10.

8 3

6?4 2 ?2 3
4 59 , 3 6

11.

3 3

14. ?

1 1 1 ,? ,? 6 3 6

15.

三、解答题 :本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 14 分)

所以 cos A 的最小值为 (2)当 A ?

7 ,当且仅当 b ? c 时等号成立. 9

?
3

时,

3 ? m ? sin B ? sin C ? 3 sin( B ? ) , 2 6
).

所以 m ? 2sin( B ? 又因为 B ? (0, 所以 sin ? B ?

?
6

2? ? ? 5? ) ,所以 B ? ? ( , ) , 3 6 6 6

? ?

??

1 ? ? ( ,1] , 6? 2

所以 m ? (1, 2] . 17.(本题满分 15 分)

H ,连接 HG, EH , 解:(1)取 AC 1 中点
所以 HG // A1 A , HG ? 又 E 为 BB1 的中点, 所以 BE // HG, BE ? HG ,

1 A1 A , 2

5

所以四边形 EHGB 为平行四边形, 故 BG / / EH , 又 EH ? 平面 A 1EC , BG ? 平面 A 1EC , 所以 BG // 平面 A 1EC . (2)以 F 为坐 标原点建立空间直角坐标系,设 AA 1 ?a, 则 F (0, 0, 0), A1 ( ?1, 0, a ), E (1, 0, ), C (0, 3, 0) , 所以 FE ? (1, 0, ), FC ? (0, 3, 0), A1 E ? (2, 0, ? ), A1C ? (1, 3, ?a) , 设平面 ECF 法向量为 m ? m ? ( x, y, z) ,

??? ?

? a ??? 2

a 2

????

a ???? 2

??

? a ??? ? ??? ? ?x ? z ? 0 则由 FE ? m ? 0 及 FC ? m ? 0 ,得 ? , 2 ? 3y ? 0 ?
不妨取 m ? (?a,0, 2) ;类似的,可取平面 A 1EC 法 向量为 n ? (a, 3a, 4) , 设二面角 A1 ? EC ? F 的平面角为 ? , 则 cos ? ? cos m, n ?

8 ? a2 a 2 ? 4 ? 4a 2 ? 16



0 当 a ? 2 2 时, cos ? ? 0 ,即 ? ? 90 .

18.(本题满分 15 分) 解:(1)因为 a1 ? 1 及 an ?1 ? an ? 所以 an ? 1 , 所以 0 ?

1 (n ? 1) , an

1 ? 1. 2 an 1 2 1 2 ) ? an ? 2 ? 2, an an

因为 an ?1 ? (an ?
2

所以 an ?1 ? an ?
2 2

1 2 2 ? 2 ? (2,3] ,即 2 ? an ?1 ? an ? 3 . 2 an

6

2 2 (2)由(1)得 2n ? an ?1 ? a1 ? 3n 2 所以 2n ? 1 ? an ?1 ? 3n ? 1 , 2 即 2n ?1 ? an ? 3n ? 2(n ? 2) ,当 n ? 1 时,也满足, 2 所以 2n ?1 ? an ? 3n ? 2 .

所以

an?1 1 3n ? 1 2n ? 1 ? 2 ?[ , ] an an 3n ? 2 2n ? 1

19.(本题满分 14 分) 解:设直线 l 方程为 y ? kx ? b , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) . 联立 y ? kx ? b 和 x2 ? 2 y , 得 x ? 2kx ? 2b ? 0 ,
2

则 x1 ? x2 ? 2k , x1 x2 ? 2b , ? ? 4k ? 8b ? 0 .
2

由 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,得 b ? 2 . 联立 y ? kx ? 2 和 3x2 ? 4 y 2 ? 12 ,得

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 ,
16k 4 , x3 x4 ? ? . 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 2 由 ?2 ? 192k 2 ? 48 ? 0 ,得 k ? . 4
所以 x3 ? x4 ? ? (1)因为 k1 ? k2 ?

y y y1 y2 ? ? k , k3 ? k4 ? 3 ? 4 ? ?6k x1 x2 x3 x4

所以

k1 ? k2 1 ?? . k3 ? k4 6
2

(2)根据弦长公式 CD ? 1 ? k

x3 ? x4 ,得:

CD ? 4 3 ? 1 ? k 2 ?

4k 2 ? 1 , 3 ? 4k 2
2 1? k 2


根据点 O 到直线 CD 的距离公式,得 d ?

7

所以 S?OCD ?

1 4k 2 ? 1 , CD ? d ? 4 3 ? 2 3 ? 4k 2
4 3t ? 3, t2 ? 4

设 4k 2 ?1 ? t ? 0 ,则 S?OCD ?

所以当 t ? 2 ,即 k ? ? 20.(本题满分 15 分)

5 时, S?OCD 有最大值 3 . 5

解:(1)当 b ? ?2 时, f ( x) ? x ? 所以 g (1) ?

1 ? c 在区间 ??1,1? 上是增函数, x?2

4 ? c , g (?1) ? c , 3

2 ? c , (c ? ? ) ? 3 ? 所以 M ? max ? g (1), g (?1)? ? ? . 4 2 ? ? c , (c ? ? ) ?3 3 ?
(2)①当 b ? ?2 时,因为 M ? g (1) ? 1 ?

1 1 ? c , M ? g (?1) ? 1 ? ?c , b ?1 1? b

所以 2M ? g (1) ? g (?1) ? 1 ?

1 1 ? c ? 1? ?c b ?1 1? b

? 2?

2 1 1 2 4 ? ? 2? ? ,所以 M ? . 2 3 b ?1 1? b 1? b 3

②当 ?2 ? b ? ? 2 时,有 f (b ? 1) ? f (?1) ? f (1) , 则 M ? max{g (1), g (b ? 1)} ? max{1 ?

1 ? c , 2?b ? c} 1? b

2M ? g (b ? 1) ? g (1) ? 1 ?

1 ?c ? 2?b?c , 1? b

? 1?

1 ? b ? 2 2 ? 2 ,所以 M ? 2 ?1 . 1? b

③当 ? 2 ? b ? ?1 时,有 f (b ? 1) ? f (1) ? f (?1) ,

8

则 M ? max{g (?1), g (b ? 1)} ? max{ ?1 ?

1 ? c , 2 ? b ? c }, ?1 ? b

所以 2M ? g (b ? 1) ? g (?1) ? ?1 ?

1 ?c ? 2?b?c ?1 ? b

? 3?

1 ? b ? 2 2 ? 2 ,所以 M ? 2 ?1 . b ?1

综上可知,对任意的 b, c 都有 M ? 2 ? 1 .

9


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