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导数与单调性极值


导数在研究函数中的应用

一.单调性
1. 函数的单调性与导数的关系 一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间 ( a , b ) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 . ;

2. 判别

f(x0)是极大、极小值的方法 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, ,则 x0 是 f ( x) 的 f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x ) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,

,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?( x ) 在 x0 两侧满足“左负右正” 是 3.解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) . (2)求方程 f′(x)=0 的根. (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负 右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值. 4.求函数最值的步骤: (1)求出 f ( x ) 在 ( a, b) 上的极值.(2)求出端点函数值 f (a), f (b) . (3)比较极值和端点值,确定最大值或最小值.

例 1. f ( x) f ( x)' 的关系
(1) 若 f ' ( x) 的图像如图,则 f ( x ) 的图像最有可能是( )
0

A

B

C

D

(2) 设 f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直 角坐标系中,不可能正确的是( )

例 2.求下列函数的单调区间
(1) y ? x4 ? 2 x2 ? 5 的单增调区间为_____________ 单减区间_____________ (2) y ? ln( x ? 1) ? x (3) y ? x 2eax (4)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) ?

x ? ln(x ? a)(x ? (0,??)) 的单调区间.

例 3。已知单调区间求参数范围
(5)当 a>0 时 f(x)= x ? ax 在 ?1, ?? ? 上是单增函数,则 a 的最大值是(
3



(6)若 f(x)=

1 3 1 2 x ? a x ? ? a ?1? x ? 1 在区间(1,4)为减函数,在 ? 6, ??? 上为增函数, 3 2

求 a 的取值范围。

(7)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间;
? 2 1? (Ⅱ)设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 3 3?

(二)极值与最值
例 1. (广东省六校 2009 届高三第二次联考试卷) 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在 ( a, b) 内有极小值 共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 ) 点
a

y

y=f'(x)

b

o

x

2. (1)函数 f ( x ) 的定义域为 R ,导函数 f ' ( x) 的图像如图所示,则 f ( x ) ( A B C D 无极大值点,有四个极小值点; 有三个极大值点,两个极小值点; 有两个极大值点,两个极小值点; 有四个极大值点,无极小值点。 )

3.下列结论中正确的是(

A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 C. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 D. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 4.下列结论正确的是( ) A. 在区间[a,b]上,函数的极大值就是最大值 B. 在区间[a,b]上,函数的极小值就是最小值 C. 在区间[a,b]上,,函数的最大值、最小值在 x=a 和 x=b 时达到 D. 一般地,在闭区间[a,b]上的连续函数 f ( x) 在[a,b]上必有最大值与最小值 5. f ( x) ? x ? 3x ? 1的极大值是_______极小值是________
3

6. f ( x) ? x ? 3x ? 1在 ? ?3,0? 上的最大值是______最小值是________
3

3 7.函数 y ? ( x ? 1) 当 x ? ?1 时





A. 有极大值 B. 有极小值 C.即无极大值,也无极小值 D.无法判断 8.已知 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则 a 的取值范围为(
3 2



A. ? 1 ? a ? 2

B. ? 3 ? a ? 6

C. a ? ?1或a ? 2

D. a ? ?3或a ? 6

9.函数 y ? x 3 ? 2ax ? a 在 (0,1) 内有极小值,则实数 a 的取值范围为( A.(0,3) B. (??,3) C. (0,??) D. (0, )



3 2

10.函数 y ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 5 的极值情况是( ) A.在 x ? ?1 处取得极大值,但没有最小值 B. 在 x ? 3 处取得极小值,但没有最大值

C.在 x ? ?1 处取得极大值,在 x ? 3 处取得极小值 D.既无极大值也无极小值

二、填空题 11.已知函数 y ? x 3 ? ax2 ? bx ? 27 在 x ? ?1 处有极大值,在 x ? 3 处极小值,则

a?

,b ?



12.已知函数 y ? f ( x) ? x 3 ? px2 ? qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点,且 y极小 ? ?4 , 那么 p ? ,q ? 时,材料最省。

13.做一个容积为 256 升的方底无盖水箱,则它的高为

14. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是

三、解答题
5 3 15.已知函数 y ? f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? ?1 处有极值,且极大值是 4,极小值是 0,

试求 f ( x) 的表达式。

16. 设 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? 5 当 x ?? ?1, 2? 时, f ( x) ? m 恒成立,求 m 的取值范围。 2

17. 设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1.


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