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导数的几何意义教案(后附教学反思)

时间:2015-09-30


海口市 2009 年高中数学课堂教学优质课评比教学实录

1.1.3 导数的几何意义
李明(湖南师大附中海口中学) 12 月 4 日于海南华侨中学

一、创设情境、导入新课 师:上节课我们学习了导数的概念,请回答:函数在 x ? 生:函数在 x ?

x0 处的导数 f '( x0 ) 的含义?

/>
x0 处的瞬时变化率.

f / ? x0 ? ? lim

f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

师:那么,用定义求导数分哪几个步骤?同学们可参考教材第 6 页例 1.

生:第一步:求平均变化率

?y f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x
/

第二步:求瞬时变化率,即 f

lim ? x0 ? ? ? x ?0

?y ?x ?y 当 ?x 趋近于 O 时的极限. ?x
义.
y ? f ( x)
B

师: 非常好, 并且我们从求导数的步骤中发现: 导数就是求平均变化率 明确了导数的概念之后, 今天我们来学习导数的几何意 二、引导探究、获得新知
y2

y

?y ? y2 ? y1
y1

A

?x ? x2 ? x1

x1

x2 x

师:观察函数y=f(x)的图象,平均变化率 什么几何意义? 生:平均变化率表示的是割线 AB 的斜率.

?y 在图中有 ?x

师:是的,平均变化率

?y 的几何意义就是割线的斜率. ?x

师: 请看教材第 7 页图 1.1-2: P 是一定点, 当动点 P 观察割线 PP n n 沿着曲线 y=f(x)趋近于点 P 时, 的变化趋势图. (多媒体显示【动画 1】)

y

?x= 6.90
?y
α P O

T

?x

M

x0

x

x

生:当点 P n 沿着曲线 y=f(x)趋近于点 P 时,割线 PP n 趋近于在 P 处的切线 PT.

师:看来这位同学已经预习了,他说的很对,“当点 P n 沿着曲线 y=f(x)逼近点 P 时,即 ?x ? 0 , 割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置上的直线 PT 称为点 P 处的切线.”这就是切线的概念. 师:观察图①,曲线 y=f(x)与它的割线有 2 个交点,与它的切线 PT 有 1 个交点. 那么,能否根据 直线与曲线交点个数来判断直线与曲线的位置关系? 生:若曲线与直线有 2 个公共点,则它们相交;若曲线与直线有 1 个公共点,则它们相切.

y=f(x)

y
l2

l1

yy A C 0

L B x x

P
o


T x


师:观察图②,请指出(1)直线 l1 与曲线 L 是什么位置关系?(2)直线 l2 与曲线 L 是什么位置关 系? 生:直线 l1 与曲线 L 相交,直线 l2 与曲线 L 相切. 师:直线 l1 与曲线 L 有唯一公共点但它不是曲线的切线,l2 与曲线 L 不只一个公共点,但它是曲线 在 A 处的切线.所以,今后我们不能用曲线与直线公共点的个数来判断它们的位置关系,应该从定 义出发.

师:由切线的定义可知, 当 ?x ? 0 时,割线 PP n 趋近于切线 PT .

那么,割线 PP n 的斜率趋近于??? 生:切线 PT 的斜率.

师:割线 PP n 的斜率 k n ?

?y ,当 ?x ? 0 时,切线 PT 的斜率 k 就是??? ?x

生: k ? lim

?y ?x ?0 ?x

师: 即 k ? lim 义? 生: f
/

?x ?0

f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ? f / ? x0 ? . 至此,请同学们总结,导数 f / ? x0 ? 有什么几何意 ?x

? x0 ? 是 PT 的斜率.

师:直线 PT 是曲线 y ? f ( x) 的??? 生:直线 PT 是曲线 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的斜率. 师:同学们说的非常好!(教师板书) 导数的几何意义: 函数在 x ? x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k ,即

k ? lim

f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ?y ? lim ? f / ? x0 ? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

师:那么,通过导数的几何意义,我们可以通过函数在某点处的导数,来得到其图像在该点处切线 的斜率. 师:说出曲线 y ?

f ? x ? 在 x ? 1, 2,3 处的切线的倾斜角.

(1)

/ / f / ?1? ? 1; (2) f ? 2? ? 0 (3) f ? 3? ? ? 3

生: 45 、 0 、 120

0

0

0

四、知识应用、巩固理解 师:例 1:求出曲线

f ( x) ? x2 在 x ? 1 处的切线方程.你们想怎样求切线方程呢?

生:求出函数在 x ? 1 处的导数 师:求切线的斜率之后呢? 生: (摇头,回答不出)

f / ?1? ,就知道了所求切线的斜率.

师:好,那我们不妨先求出斜率(教师板书)

f (1 ? ?x) ? f (1) (?x)2 ? 2?x ? 1 ? 1 k ? f '(1) ? lim ? lim ? lim (?x ? 2) ? 2 那么,关于直 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
线我们还知道哪些信息? 生: x ? 1 是切点的坐标 师:是切点的横坐标,那纵坐标呢?也是 1 生:也是 1,切点的坐标为(1,1)

师:知道直线上一点的坐标和斜率,那么直线方程??? 生:点斜式

y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 (学生回答,教师板书) y ? f ( x) 在 x ? x0 处的切线方程?

师:今后我们如何求曲线 生: (1)求出 斜式方程,

f '( x0 ) ,则 f '( x0 ) 就是曲线在 x ? x0 切线的斜率; (2)求切点;(3)写出切线的点

y ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 )

师: 同学们很棒! 例 2. 如图, 它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像.据图回答问题. 请描述、比较曲线 h(t ) 在 t 0 , t1 , t 2 附近的变化情况.

生:作出曲线在这些点处的切线. 师:曲线在 t 0 处有怎样的变化趋势? 生:不知道怎么表达. 师:我们观察在 t 0 处附近曲线几乎与切线 l0 重合,所以, 我们可以用切线的变化趋势刻画曲线在该点附近的变化 情况,这种思想方法叫“以直代曲”.那么, l0 平行于

x

轴,即 h '(t0 ) ? 0 ,说明曲线在 t 0 附近曲线比较平坦,几 乎没有升降. 师:在 t1 , t 2 处呢? 生: 在 t1 ,t 2 切线斜率 h '(t1 ) ? 0 ,h '(t2 ) ? 0 , 所以, 在 t1 ,t 2 附近曲线下降, 即函数 h(t ) 在 t

? t1 ,

t 2 附近单调递减.
师:曲线在 t1 , t 2 处都是下降的,下降的速率一样吗?

生:不一样,在 t 2 处都是下降的快. 师:你们如何得知的? 生:图像在 t1 处的切线倾斜程度小于在 t 2 处切线的倾斜程度,说明曲线在 t1 附近比在 t 2 附近下降得 缓慢. 五、分层练习、提升能力(看学案) 师:曲线

y ? x2 上有一点 P,过 P 的切线平行于直线 y=4x-5,求 P 的坐标.
2

生:设 P 的坐标为(x0 , x0

),
2

f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) x0 ? ?x ? ? x02 ? ?y f '( x0 ) ? lim ? lim ? lim ? lim ? ?x ? 2 x0 ? ? 2 x0 ? 4 即 x0 ? 2 ?x?0 ?x ?x?0 ?x?0 ?x?0 ?x ?x
所以,P 的坐标为(2, 4) 六、课堂小结 师:非常好!这节课我们学习了哪些内容? 生:(齐声回答) 一、切线的定义: 当点 P n 沿着曲线

y ? f ( x) 逼近点 P 时,即 ?x ? 0 ,割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置

上的直线 PT 称为点 P 处的切线. 二、导数的几何意义:

导数

f '( x0 ) 就是函数 f ( x) 的图象在 x0 处的切线的斜率,即

k ? lim

f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ?y ? lim ? f / ? x0 ? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

三、导数几何意义的应用. (1)用导数求切线斜率,进而求出切线方程; (2)利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.(“以直代曲”) 七、作业布置 完成学案! 附:板书设计

1.1.3 导数的几何意义
一、切线的定义 二、导数的几何意义 导数

f '( x0 ) 就是函数 f ( x) 的图象在 x0 处的切线的斜率,即
f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ?y ? lim ? f / ? x0 ? ? x ? 0 ?x ?x

k ? lim

?x ?0

三、导数几何意义的应用. (1)用导数求切线斜率,进而求出切线方程; (2)利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.

例 1:求出曲线 解:曲线

f ( x) ? x2 在 x ? 1 处的切线方程.

f ( x) ? x2 在 x ? 1 处的切线斜率
因 为

f (1 ? ?x) ? f (1) (?x)2 ? 2?x ? 1 ? 1 k ? f '(1) ? lim ? lim ? lim (?x ? 2) ? 2 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
f( ? 1 ) 1 1,1) ,即切点的坐标为( ,所以
切线方程为

y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0

学案
一.例题部分

例 1.求曲线

f ( x) ? x2 在 x ? 1 处的切线方程.

例 2.如图,它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像,请描述、比较曲线 h(t ) 在 t 0 , t1 , t 2 附近的 变化情况.

二.练习 (A 组) 1. 曲线 f ( x) ? x 上有一点 P,过 P 的切线平行于直线 y ? 4 x ? 5 ,求 P 的坐标.
2

2.若曲线

y ? 2x2 ? 4x ? p 与直线 y ? 1 相切,则 p ?

(B 组) 1.求曲线

f ( x) ? x3 在 x ? 1 处的切线方程.

2.如图,请描述

y ? f ( x) 在 x ? ?5, ?4 ? 2,0,1 附近的变化情况.

三.小结 这节课我学到了:


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