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第九章直线平面简单几何体(B)(第36课)小结与复习(3)


9 高中数学教案

第九章直线平面简单几何体(B)(第 36 课时)

王新敞



题:小结与复习(三)

教学目的: 1.在有关问题的解决过程中,进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和 功能,并探索立体几何中论证问题的规律;在有关问题的分析与解决的过程中 提高逻辑思维能力、空

间想象能力及化归和转化的数学思想的应用. 2.在解决有关空间角的问题的过程中,进一步巩固关于直线和平面的平行 垂直的性质与判定的应用,掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能;通过有关空 间角的问题的解决,进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能 力. 3.通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧,发掘不 同问题之间的内在联系,提高解题能力. 4.在学生解答问题的过程中,注意培养他们的语言表述能力和“说话要有 根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质.使学生掌握化归思想,特别是将立 体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法,并提高空间想象能力、推 理能力和计算能力. 5.使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法,能够熟练地使 用分割与补形求体积,提高空间想象能力、推理能力和计算能力 授课类型:练习课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、讲解范例: 例1如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平 面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离. 分析: 由题设可知 CG、 CB、 CD 两两互相垂直, 可以由此建立空间直角坐标系. 用 向量法求解,就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量,它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离.
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解:如图,设 CD ? 4i, CB ? 4j, CG ? 2k, 以 i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0), A(4,4,0), B(0,4,0), D(4,0,0), E(2,4,0), F(4,2,0),G(0,0,2). ∴

BE ? (2,0,0) , BF ? (4,?2,0) , BG ? (0,?4,2) , GE ? (2,4,?2) , EF ? (2,?2,0) .

设 BM ? 平面 EFG,M 为垂足,则 M、G、E、F 四点共面,由共面向量定理知,
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第九章直线平面简单几何体(B)(第 36 课时)

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存在实数 a、b、c,使得 BM ? a BE ? bBF ? c BG (a ? b ? c ? 1) , ∴

BM ? a(2,0,0) ? b(4,?2,0) ? c(0,?4,2) =(2a+4b,-2b-4c,2c).

由 BM ? 平面 EFG,得 BM ? GE , BM ? EF ,于是

BM ? GE ? 0 , BM ? EF ? 0 .
?(2a ? 4b,?2b ? 4c,2c) ? (2,4,?2) ? 0 ? ?(2a ? 4b,?2b ? 4c,2c) ? (2,?2,0) ? 0 ?a ? b ? c ? 1 ?



15 ? ?a ? 11 ?a ? 5c ? 0 ? 7 ? ? 整理得: ?a ? 3b ? 2c ? 0 ,解得 ?b ? ? . 11 ?a ? b ? c ? 1 ? ? 3 ? ?c ? 11 ?


2 2 6 BM =(2a+4b,-2b-4c,2c)= ( , , ) . 11 11 11
2 2 2

2 11 ?2? ?2? ?6? ∴ | BM |? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 ? 11? ? 11? ? 11?
故点 B 到平面 EFG 的距离为

2 11 . 11

说明:用向量法求点到平面的距离,常常不必作出垂线段,只需利用垂足在平 面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以 了. 例 2 已知正方体 ABCD- A' B' C ' D' 的棱长为 1,求直线 DA ' 与 AC 的距离. 分析:设异面直线 DA ' 、AC 的公垂线是直线 l,则线段 AA' 在直线 l 上的射影 就是两异面直线的公垂线段, 所以此题可以利用向量的数量积 的几何意义求解. 解:如图,设 B' A' ? i, B' C ' ? j, B' B ? k,以 i、j、k 为 坐标向量建立空间直角坐标系 B ' -xyz, 则有 A' (1,0,0) , D(1,1,1) , A(1,0,1) , C (0,1,1) .

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DA' ? (0,?1,?1) , AC ? (?1,1,0) , A' A ? (0,0,1) .

设 n ? ( x, y, z ) 是直线 l 方向上的单位向量,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1. ∵ n ? DA' ,n ? AC ,



?? y ? z ? 0 3 3 ? ,解得 x ? y ? ? z ? 或 x ? y ? ?z ? ? . ?? x ? y ? 0 3 3 ?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ?

取 n? (

3 3 3 , ,? ) ,则向量 A' A 在直线 l 上的投影为 3 3 3 3 3 3 3 . , ,? ) · (0,0,1) ? ? 3 3 3 3 3 . 3

n· A' A ? (

由两个向量的数量积的几何意义知,直线 DA ' 与 AC 的距离为

例 3 如图,已知线段 AB 在平面 α 内,线段 AC ? ? ,线段 BD⊥AB,线段

DD ' ? ? , ?DBD' ? 30? ,如果 AB=a,AC=BD=b,求 C、D 间的距离.
解:由 AC ? ? ,可知 AC ? AB . 由 ?DBD' ? 30 可知,< CA , BD >= 120 ,
? ?

∴ | CD | 2 = (CA ? AB ? BD ) 2 = | CA | 2 + | AB | 2 + | BD | 2 +2( CA ·AB + CA·BD + AB·BD ) = b ? a ? b ? 2b cos120 = a ? b .
2 2 2 2 ? 2 2

∴ CD ?

a 2 ? b2 .

小结:选定空间同起点且不公面的三个向量作为一个基底,并用它表示指定的 向量,是用向量知识解决立体几何问题的基本要领.解题中要结合已知和未知 去观察图形、联想有关的运算法则和公式等,就近表示所需的向量,再对照目 标将不符合要求的向量加以调整,如此反复,直至所有向量符合目标要求. 例 4.如果一条直线与一个平面平行那麽过这个平面内的一点与这条直线平行

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的直线必在这个平面内 已知:a∥α ,A??,A?b 且 a∥b β 求证:b?? a 证明:假设 b??过 A 点和 a 确定平面为?, A b1 ?∩?=b1,b1??,A?b1 ∵a∥α ∴a∥b1 由 a∥b 而 b,b1 都过点 A α 这样,在平面?内过 A 有两条直线 b 和 b1 都平行于 a 这是不可能的 ∴b?? 例 5.正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面互相垂直,点 M,N 分别在对角线 AC 和 BF 上,且 AM=FN 求证:MN∥平面 BEC 分析:证线面平行?线线平行,需找出面 BEC 中与 MN 平行的直线 证法(一) :作 NK∥AB 交 BE 于 K,作 MH∥AB 交 BC 于 H ∴MH∥NK ∵ABCD 与 ABEF 是两个有公共边 AB 的正方形 ∴它们是全等正方形 E F ∵AM=FN ∴CM=BN N 又∠HCM=∠KBN,∠HMC=∠KNB K ∴△HCM≌△KBN ∴MH=NK ∴MHKN 是平行四边形 ∴MN∥HK A B P H ∵HK?平面 BEC MN?平面 BEC M ∴MN∥平面 BEC 证法(二) :分析:利用面面平行?线面平行 C 过 N 作 NP∥BE,连 MP,∵NP∥AF ∴FN/FB=AP/AB ∴AM=FN,AC=BF ∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC ∴MP∥BC ∴平面 MNP∥平面 BCE ∴MN∥平面 BCE 例 6.在三棱锥 P-ABC 中,三条侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,H 是△ABC 的垂心 求证:⑴PH?底面 ABC ⑵△ABC 是锐角三角形 P 证明:⑴∵PA?PB PA?PC 且 PB∩PC=P ∴PA?侧面 PBC 又∵BC?平面 PBD ∴PA?BC ∵H 是△ABC 的垂心 ∴AH?BC ∵PA∩AH=A ∴BC?截面 PAH A C 又 PH?平面 PAH ∴BC?PH H E 同理可证:AB?PH 又 AB?BC=B ∴PH?面 ABC B ⑵设 AH 与直线 BC 的交点为 E,连接 PE
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第九章直线平面简单几何体(B)(第 36 课时)

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由⑴知 PH?底面 ABC ∴AE 为 PE 在平面 ABC 的射影 由三垂线定理:PE?BC ∵PB?PC 即△BPC 是直角三角形,BC 为斜边 ∴E 在 BC 边上 由于 AE?BC,故 B∠C 都是锐角 同理可证:∠A 也是锐角 ∴△ABC 为锐角三角形 例 7.正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面三条对角线 AB1,BC1,CA1 中,AB1?BC1 求证:AB1?CA1 证明:取 AB,A1B1 中点 D,D1 连接 CD,C1D1 及 A1D,BD1 由三棱柱可知,面 A1B1C1?面 AB1 A 在正△A1B1C1 中,C1D1?A1B1 D ∴C1D1?面 AB1 (同理 CD?面 AB1) ∴BD1 是 BC1 在平面 AB1 内的射影 ∵AB1?BC1 ∴AB1?BD1 ∵BD1∥AD1 ∴AB1?A1D 且 AD1 是 A1C 在平面 AB1 内的射影 ∴AB1?A1C B A1

C

C1 D1 B1

例 8.在正四棱柱 AC1 中,底面边长为 1,侧棱长为 2, ⑴求 D1B1 与平面 A1BCD1 所成的角 ⑵求 B1 到平面 A1BC1 的距离 分析:⑴按定义需作 B1D1 在平面 A1BCD1 上的射影,那麽在此平面上射影的位置 该落何处,这就是要考虑垂足的定位问题 常用方法:⑴ 过 B1 作 A1B 的垂线 B1E?B1E?平面 A1BCD1 ⑵ 过 B1 作平面 A1BCD1 的垂线?B1E?平面 A1BCD1?E?A1B (3) 在垂面内做垂线 D1 解:⑴ BC?AB , BC?BB1 ∴BC?面 A1B∴面 A1C?面 A1B 过 B1 作 B1E?A1B=E ∴B1E?平面 A1BCD1 A1 连 D1E,则 D1E 是 B1D1 在平面 A1BCD1 上的射影 故∠ B1D1E 即 B1D1 与平面 A1BCD1 所成的角
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C1 B1

且在 Rt△ B1ED1 中,B1E=A1B1*B1B/A1B= 2
2 5

5
A

D

E

C

B

∴Sin∠ B1D1E=

2

?

10 5

(2)解一:正方形 A1B1C1D1 中 , 等腰Δ BA1C1 中 A1C1? B1D1 ,BO? A1C1 ∴A1C1?面 B1BO ∴面 A1C1B?面 B1BO ∴过 B1 作高线 BO 垂线 B1 H? BO 于 H 则 B1 H?面 A1C1B 连 A1C1,过 B1 作平面 A1BC1 的垂线,垂足为 H,则 B1H 的长 即点 B1 到平面 A1BC1 的距离, 由正棱柱性质:B1A1,B1C1,B1B 两两垂直∴H 是△A1BC1 的垂心

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第九章直线平面简单几何体(B)(第 36 课时)

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连 BO 则 BO?A1C1 ∴H?BO ∵B1B?底面 A1C1 ∴B1B?B1O,B1H?BO

2 BB1 ? OB1 2 ?2 ? B1H= OB 3 3 2 2 2?
(OB= 22 ? (

D1 A1

O B1 H

C1

2 2 3 2 ) ) ? 2 2
2 3
A
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D

C

B

即顶点 B1 到截面 A1BC1 的距离为

解二: (利用等积法)考察四面体 B1A1BC1 设顶点 B1 到 A1BC1 的距离为 h 则为三棱柱 B1-A1BC1 的高 VB1-A1BC1=VB-ABC1

1 1 *S△A1BC1*h= *S△A1BC1*B1B ∵A1C1?BO 3 3 1 1 1 1 ∴ * *A1C1*BO*h= * *A1B1*B1C1*BB1 3 2 3 2 2 ∴B 到平面 A1BC1 的距离为 3

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二、 小结 : 利用向量方法求解空间距离问题, 可以回避此类问题中大量的作图、 证明等步骤,而转化为向量间的计算问题 运用向量的坐标表示及其运算研究 立体几何中的角、距离、证明垂直等问题时,关键是建立适当的坐标系,进而 将向量坐标化, 建立坐标系时, 要充分利用图形的几何性质 掌握运用向量求角、 距离的方法 三、课后作业:
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四、板书设计(略) 五、课后记:

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