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高考调研选修系列4 综合测试

时间:2012-11-28


选修系列 4

综合测试

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)

?x=1+2, 1.已知直线 l 的参数方程为? 3 ?y=2+ 2 t
t 坐标方程为( ) A. 3x+y+2- 3=0 C.x- 3y+2- 3=0 答案 B

(t 为参数),则其直角<

br />
B. 3x-y+2- 3=0 D.x+ 3y+2- 3=0

解析

?x-1=2 ∵? 3 ?y-2= 2 t
t

∴y-2= 3(x-1),

即 3x-y+2- 3=0. 2.

如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=5,BC=10,AC 与 BD 交 于点 O,过 O 点作 EF∥AD,交 AB 于 E,交 DC 于 F,则 EF=( 10 A. 3 20 B. 3 )

C.10 答案 B

D.20

3.已知函数 f(x)=lg(|x+1|+|x-2|-5),则函数 f(x)的定义域为 ( ) A.(-∞,-2)∪(3,+∞) C.(-2,3) 答案 A B.(-∞,-3)∪(2,+∞) D.(-3,2)

解析 由题设知:|x+1|+|x-2|>5, 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:
? ? ?x<1 ?x≥2 ?1≤x<2 ? ,或? ,或? , ? ? ?-x-1-x+2>5 ?x+1+x-2>5 ?x+1-x+2>5

解得函数 f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞). π 4.(2011· 安徽理)在极坐标系中,点(2,3)到圆 ρ=2cosθ 的圆心的 距离为( A.2 C. 答案 π2 1+ 9 D ) B. D. 3 π2 4+ 9

解析

?x=ρcosθ=2cosπ=1 ? 3 由? π ?y=ρsinθ=2sin3= 3 ?

π 可知, 点(2, )的直角坐标为(1, 3

3),圆 ρ=2cosθ 的方程为 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,则圆心到 点(1, 3)的距离为 3.

?x=-2+5t ? 5.曲线? (t 为参数)与坐标轴的交点是( ? ?y=1-2t

)

2 1 A.(0,5)、(2,0) C.(0,-4)、(8,0) 答案 B

1 1 B.(0,5)、(2,0) 5 D.(0,9)、(8,0)

2 1 解析 当 x=0 时,t=5,而 y=1-2t,即 y=5,得与 y 轴的交点 1 1 1 为(0,5);当 y=0 时,t=2,而 x=-2+5t,即 x=2,得与 x 轴的交 1 点为(2,0). 6.

如图,E,C 分别是∠A 两边上的点,以 CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点 D、 B, 点 若∠A=45° 则△AEC 与△ADB 的面积比为( , A.2∶1 C. 2∶1 答案 A B.1∶2 D. 3∶1 )

解析 连接 BE, 求△AEC 与△ABD 的面积比即求 AE2∶AB2 的值, 设 AB=a,∵∠A=45° , 又∵CE 为⊙O 的直径,

∴∠CBE=∠ABE=90° , ∴BE=AB=a,∴AE= 2a, ∴AE2∶AB2=2a2∶a2, 即 AE2∶AB2=2∶1,∴S△AEC∶S△ABD=2∶1.
? ?x=1+2t 7.直线? (t 为参数)被圆 x2+y2=9 截得的弦长为( ?y=2+t ?

)

12 A. 5 9 C.5 5 答案 B
?x=1+2t ? ? ? ?y=2+t

12 B. 5 5 9 D.5 10

解析

?x=1+ ?? ?y=1+

5t× 5t×

2 5 1 5

?x=1+2t ? ,把直线 ? 代 ? ?y=2+t

入 x2+y2=9 得(1+2t)2+(2+t)2=9,5t2+8t-4=0 |t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 12 5 5. 1 8.已知正实数 x,y 满足 2x+2y+m=xy,若 xy 的最小值是 9, 则实数 m 的值为( A.3 C.-1 答案 A ) B. 3 D.3 或-1 8 16 12 ?-5?2+ 5 = 5 ,弦长为 5|t1-t2|=

解析 由基本不等式,得 xy≥2 xy+m,令 xy=t,得不等式 t2 -2t-m≥0.∵xy 的最小值是 9,∴t 的最小值是 3.∴3 是方程 t2-2t-

m=0 的一个根,∴m=3.选 A. 9.

如图,AC 切⊙O 于 D,AO 延长线交⊙O 于 B,BC 切⊙O 于 B, 若 AD∶AC=1∶2,则 AO∶OB 等于( A.2∶1 C.1∶2 答案 A ) B.1∶1 D.2∶1.5

解析 如图所示,连接 OD、OC.

∵AD∶AC=1∶2, ∴D 为 AC 的中点. 又∵AC 切⊙O 于点 D, ∴OD⊥AC.∴OA=OC, ∴△AOD≌△COD.∴∠1=∠2, 又∵△OBC≌△ODC,∴∠2=∠3.

∴∠1=∠2=∠3=60° ,∴OC=2OB. ∴OA=2OB.故选 A. 10.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴

?x=-1+ 22t 建立极坐标系.直线 l 的参数方程是? 2 y=1+ 2 t ?
A. 2 C.4 答案 B B.2 2 D.4 2

(t 为参数),曲

线 C 的极坐标方程是 ρ=2, 直线 l 与曲线 C 交于 A、 则|AB|=( B,

)

解析 依题意得, 直线 AB 的普通方程是 y-1=x+1, x-y+2 即 =0.曲线 C 的标准方程是 x2+y2=4,圆心 C(0,0)到直线 AB 的距离等 于 2 = 2,|AB|=2 4-? 2?2=2 2,选 B. 2
?x=sinθ+tsin15° ? 11. 直线? (t 为参数, 是常数)的倾斜角是( θ ? ?y=cosθ-tsin75°

)

A.105° B.75° C.15° D.165° 答案 解析 参数 t 得, y-cosθ=-tan75° (x-sinθ), ∴k=-tan75° =tan(180° -75° )=tan105° , 故直线的倾斜角是 105° . A
? ? ?x=sinθ+tsin15° ?x=sinθ+tcos75° 参数方程 ? ?? ,消去 ?y=cosθ-tsin75° ?y=cosθ-tsin75° ? ?

12.

︵ 如图,AB 是半圆的直径,点 C、D 在AB上,且 AD 平分∠CAB, 已知 AB=10,AC=6,则 AD 等于( A.8 C.2 10 答案 D ) B.10 D.4 5

解析 如图,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠C=∠D=90° ,

又∵AC=6,AB=10,∴BC=8, 3 ∴cos∠BAC=5, 又∵AD 平分∠BAC, 1 ∴∠BAD=2∠BAC, 8 2cos2∠BAD=1+cos∠BAC=5, 2 5 ∴cos∠BAD= 5 ,

2 5 又在 Rt△ADB 中,AD=AB· cos∠BAD=10× 5 =4 5. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上) 13.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1,设曲线 C 经过伸缩变换
? ?x′=2x, ? 得到曲线 C′,设曲线 C′上任一点为 M(x,y),则 x+ ? ?y′=y

2 3y 的最小值=________. 答案 解析 -4 C:x2+y2=1, x′ x2 2 代入 C 得 C′: 4 +y =1,

?x= ?x′=2x ? 2 ? ∵ ∴? ? ?y′=y,

?y=y′

?x=2cosθ ? 设椭圆的参数方程? (θ 为参数), ? ?y=sinθ

π 则 x+2 3y=2cosθ+2 3sinθ=4sin(θ+6), 则 x+2 3y 的最小值为-4. 14.如图,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OB 绕点 O 逆时 针旋转 120° OD,连 PD 交圆 O 于点 E,则 PE=______. 到

答案 解析

3 7 7 依题意得 PD= PO2+OD2-2PO· ODcos120° 7;又 =

PB· PC 1×3 3 7 PE· PD=PB· PC,因此 PE= PD = = 7 . 7 15.(2011· 江西理)对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x -2y+1|的最大值为________. 答案 5 解析 |x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+

2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为 5.
?x= 5cosθ ? 16 . (2011· 东 理 ) 已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为 ? 广 ?y=sinθ ?

?x=5t2 (0≤θ<π)? 4 ?y=t
答案

(t∈R),它们的交点坐标为________.

2 5 (1, 5 )
?x= 5cosθ ? x2 2 ? 表示椭圆 5 +y =1(- 5<x≤ 5且 0≤y≤1), ?y=sinθ ?

解析

2 ?x +y2=1 52 ?x= t ?5 4 2 4 表示抛物线 y =5x,联立方程得? ? 4 ?y=t ?y2=5x ?

(- 5<x≤ 5

且 0≤y≤1)?x2+4x-5=0?x=1 或 x=-5(舍去),又因为 0<y≤1, 2 5 所以它们的交点坐标为(1, 5 ). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)

17.已知实数 a、b、c、d 满足 a2+b2=1,c2+d2=2,求 ac+bd 的最大值. 解析 ∵(ac+bd)2=(ac)2+(bd)2+2abcd ≤(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2=(a2+b2)(c2+d2)=2, ∴|ac+ad|≤ 2,即- 2≤ac+bd≤ 2. 18. 已知在△ABC 中, ∠A+∠C=120° AD, 是角平分线. , CE 求 证:AE+CD=AC.

解析 如图,设⊙H 为△ABC 的内切圆,F,G,T 分别为边 BC, AB,AC 上的切点,

则 AG=AT,CF=CT,由∠B=60° , A ∵∠FDH=120° 2 , -

120° -A C A ∠GEH=60° 2 =60° + + =120° 2 , - 2 ∴∠FDH=∠GEH,在 Rt△HFD 和 Rt△HGE 中, ∵∠FDH=∠GEH,∠HFD=∠HGE=90° ,HF=HG, ∴△HFD≌△HGE,则 DF=GE. AE+CD=AG+EG+CF-DF=AG+CF=AT+CT=AC. 19. (2011· 课标全国理)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方
?x=2cosα ? 程为? (α 为参数) ?y=2+2sinα ?

M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP=2OM,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ=3 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 解析 所以 x y (1)设 P(x,y),则由条件知 M(2,2).由于 M 点在 C1 上,

?x=2cosα, ?2 ?y ?2=2+2sinα. ?

?x=4cosα, ? 即? ?y=4+4sinα. ?

?x=4cosα, ? 从而 C2 的参数方程为? (α 为参数) ? ?y=4+4sinα.

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =8sinθ. π π 射线 θ=3与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin3,

π π 射线 θ=3与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin3. 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3. 20.已知函数 f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m. (1)解关于 x 的不等式 f(x)+a-1>0(a∈R); (2)若函数 f(x)的图像恒在函数 g(x)图像的上方, m 的取值范围. 求 解 (1)不等式 f(x)+a-1>0,

即|x-2|+a-1>0. 当 a=1 时,不等式的解集是(-∞,2)∪(2,+∞); 当 a>1 时,不等式的解集为 R; 当 a<1 时,即|x-2|>1-a,即 x-2<a-1 或 x-2>1-a,即 x<a +1 或 x>3-a, 解集为(-∞,1+a)∪(3-a,+∞). (2)函数 f(x)的图像恒在函数 g(x)图像的上方,即|x-2|>-|x+3|+ m 对任意实数 x 恒成立.即|x-2|+|x+3|>m 对任意实数 x 恒成立.由 于|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,故只要 m<5.∴m 的取值范围是 (-∞,5). 21.

如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长 线于点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB、FC.

(1)求证:FB=FC; (2)求证:FB2=FA· FD; (3)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120° ,BC=6,求 AD 的长. 解析 (1)∵AD 平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC.

∵四边形 AFBC 内接于圆,∴∠DAC=∠FBC. ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB, ∴FB=FC. (2)∵∠FAB=∠FCB=∠FBC,∠AFB=∠BFD, FB FA ∴△FBA∽△FDB,∴FD=FB,∴FB2=FA· FD. (3)∵AB 是圆的直径,∴∠ACB=90° . 1 ∵∠EAC=120° ,∴∠DAC=2∠EAC=60° ,∠BAC=60° .∴∠D =30° . ∵BC=6 cm,∴AC=2 3 cm,∴AD=2AC=4 3cm. 22. (2011· 辽宁理)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方
?x=cosφ, ?x=acosφ, ? ? 程为 ? (φ 为参数),曲线 C2 的参数方程为 ? ? ? ?y=sinφ, ?y=bsinφ,

(a>b>0,φ 为参数).在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 中,射线 l:θ=α 与 C1,C2 各有一个交点.当 α=0 时,这两个交点 π 间的距离为 2,当 α=2时,这两个交点重合. (1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π π (2)设当 α=4时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=-4时, l 与 C1,C2 的交点分别为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.

解析

(1)C1 是圆,C2 是椭圆.

当 α=0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0), 因为这两点间的距离为 2,所以 a=3. π 当 α=2时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b), 因为这两点重合,所以 b=1. x2 2 (2)C1,C2 的普通方程分别为 x +y =1 和 9 +y =1.
2 2

π 2 当 α=4时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x= 2 ,与 C2 交点 B1 3 10 的横坐标为 x′= 10 . π 当 α=-4时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此四边形 A1A2B2B1 为梯形,故四边形 A1A2B2B1 的面 ?2x′+2x??x′-x? 2 积为 =5. 2


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