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2014年广州一模文科数学试题与答案(全word版)


数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如

果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 A 5 6 7 B 8 D 9 B 10 C

C A

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 11 7 12 4 13 14 15

13

?1 或 ?5

2 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分) (本小题主要考查古典概型等基础知识, 考查化归与转化的数学思想方法, 以及数据处理能力与应用意识) (1)解:记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶,抽到没过保质期的饮料”为事件 A , 从 6 瓶饮料中中任意抽取 1 瓶,共有 6 种不同的抽法. 因为 6 瓶饮料中有 2 瓶已过保质期,所以事件 A 包含 4 种情形. 则 P ? A? ?

4 2 ? . 6 3 2 . 3

所以从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶,抽到没过保质期的饮料的概率为

(2)解法 1:记“从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料”为事件 B , 随机抽取 2 瓶饮料,抽到的饮料分别记为 x , y , 则 ( x, y ) 表示第一瓶抽到的是 x ,第二瓶抽到的是 y ,则 ( x, y ) 是一个基本事件. 由于是随机抽取,所以抽取到的任何基本事件的概率相等.不妨设没过保质期的饮料为 1,2,3,4,

已过保质期的饮料为 a , b , 则从 6 瓶饮料中依次随机抽取 2 瓶的基本事件有:

?1, 2? , ?1,3? , ?1, 4? , ?1, a ? , ?1, b ? , ? 2,1? , ? 2,3? , ? 2, 4 ? , ? 2, a? , ? 2, b ? , ?3,1? , ? 3, 2? , ? 3, 4? , ? 3, a ? , ? 3, b ? , ? 4,1? , ? 4, 2 ? , ? 4,3? , ? 4, a? , ? 4, b ? , ? a,1? , ? a,2? , ? a,3? , ? a,4? , ? a, b ? , ? b,1? , ? b, 2 ? , ? b,3? , ? b, 4 ? , ? b, a ? .
共 30 种基本事件. 由于 2 瓶饮料中有 1 瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料,所以事件 B 包含的基本事件有:

?1, a ? , ?1, b ? , ? 2, a? , ? 2, b ? , ? 3, a ? , ? 3, b ? , ? 4, a? , ? 4, b ? , ? a,1? , ? a,2? , ? a,3? , ? a,4? , ? a, b ? , ? b,1? , ? b, 2 ? , ? b,3? , ? b, 4 ? , ? b, a ? .
共 18 种基本事件. 则 P( B) ?

18 3 ? . 30 5
3 . 5

所以从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料的概率为

解法 2:记“从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料”为事件 B , 随机抽取 2 瓶饮料,抽到的饮料分别记为 x , y ,则 ( x, y ) 是一个基本事件. 由于是随机抽取,所以抽取到的任何基本事件的概率相等.不妨设没过保质期的饮料为 1,2,3,4, 已过保质期的饮料为 a , b , 则从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶的基本事件有:

?1, 2? , ?1,3? , ?1, 4? , ?1, a ? , ?1, b ? , ? 2,3? , ? 2, 4 ? , ? 2, a? , ? 2, b ? , ? 3, 4? , ? 3, a ? , ? 3, b ? , ? 4, a? , ? 4, b ? , ? a, b ? .
共 15 种基本事件. 由于 2 瓶饮料中有 1 瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料,所以事件 B 包含的基本事件有:

?1, a ? , ?1, b ? , ? 2, a? , ? 2, b ? , ? 3, a ? , ? 3, b ? , ? 4, a? , ? 4, b ? , ? a, b ? .
共 9 种基本事件. 则 P( B) ?

9 3 ? . 15 5
3 . 5

所以从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料的概率为

17. (本小题满分) (本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性、同角三角函数的基本关系、三角函数的化简等知识, 考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) 解: (1)因为函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0? ,

? π ? 3

? ?

所以 f ? ?

? ?? ? ? 0. ? 3?

即 sin ? ?

? π? ? π? ? ? a cos ? ? ? ? 0 . ? 3? ? 3?

即?

3 a ? ?0. 2 2

解得 a ? 3 . (2)由(1)得,

?1 ? 3 sin x ? cos x f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? ?

? ?? ? ? 2 ? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ?
π? ? ? 2sin ? x ? ? . 3? ?
所以函数 f ?x ? 的最小正周期为 2 ? . 因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k ? ? 所以当 2kπ ?

? ?

? ?? , 2 k ? ? ? ? k ? Z? , 2 2?

π π π ? x ? ? 2kπ ? ? k ? Z? 时,函数 f ?x ? 单调递增, 2 3 2 5π π ? x ? 2kπ ? ? k ? Z? 时,函数 f ?x ? 单调递增. 即 2kπ ? 6 6
所以函数 f ?x ? 的单调递增区间为 ? 2kπ ?

? ?

5π π? , 2kπ ? ? ? k ? Z? . 6 6?

18. (本小题满分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以 及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:连结 B1D1 , BD , 因为四边形 A1B1C1D1 是正方形,所以 AC 1 1 ?B 1D 1. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, DD1 ? 平面 A1B1C1D1 ,

D1 A1
E

C1 B1
F
B

D
A

C

A1C1 ? 平面 A1B1C1D1 ,所以 AC 1 1 ? DD 1.
因为 B1D1

DD1 ? D1 , B1D1 , DD1 ? 平面 BB1D1D ,

所以 A1C1 ? 平面 BB1D1D . 因为 EF ? 平面 BB1D1D ,所以 EF ? AC 1 1. (2)解:取 C1C 的中点 H ,连结 BH ,则 BH 在平面 BB1C1C 中,过点 F 作 FG

AE . AE .

D1 A1
E

BH ,则 FG

连结 EG ,则 A , E , G , F 四点共面. 1 1 1 1 因为 CH ? C1C ? a , HG ? BF ? C1C ? a , 2 2 3 3 1 所以 C1G ? C1C ? CH ? HG ? a . 6 1 故当 C1G ? a 时, A , E , G , F 四点共面. 6 (3)解:因为四边形 EFBD 是直角梯形, 所以几何体 ABFED 为四棱锥 A ? EFBD .

B1
F
B

C1 G H
C

D
A

因为 S EFBD

? BF ? DE ? BD ? ? ?3 ?
2

?1

1 ? a ? a ? ? 2a 5 2 2 2 ? ? a , 2 12

点 A 到平面 EFBD 的距离为 h ?

1 2 AC ? a, 2 2

所以 VA? EFBD ?

1 1 5 2 2 2 5 SEFBD h ? ? a ? a ? a3 . 3 3 12 2 36
5 3 a . 36

故几何体 ABFED 的体积为

19. (本小题满分) (本小题主要考查等差数列、分组求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力和创 新意识) 解: (1)因为等差数列 ?an ? 的首项为 10,公差为 2, 所以 an ? 10 ? ? n ?1? ? 2 , 即 an ? 2n ? 8 . 所以 bn ?

n an ? 6n ? n2 ? 2n . 2

2 (2)由(1)知 bn ? an ? n ? 2n ? ? 2n ? 8 ?

?

?

? n2 ? 4n ? 8 ? ?n ? 2 3 ? 2 ? ?n ? 2 ? 2 3 ? , ? ?? ?
因为 5 ? 2 ? 2 3 ? 6 ,所以当 n ? 5 时, an ? bn ,当 n ? 5 时, bn ? an . 所以 cn ? max ?an , bn ? ? ? 当 n ? 5 时,

?

?

?

?

? 2n ? 8,

n ? 5,

2 ? n ? 2n, n ? 5.

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ?

? cn ? a1 ? a2 ? a3 ?

? an

? 10 ?12 ?14 ?
?

? ? 2n ? 8?

1 0? ? 2 n? ? 8 ? n ? n2 ? 9n . 2

当 n ? 5 时,

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ?

? cn

? ? a1 ? a2 ?

? a5 ? ? ?b6 ? b7 ?
2

? bn ?
2 ? 7 ?2 8? ??7 ? ?

2 ? ? 52 ? 9? 5 2 ?? 6? ?? ? ?? 6? ? 2 2 ? 7 0? ? ?? 6 ? 7? 2 8 ?

? ?2

2 8? ? n ? ? n ?? ?2

? n ?2?

? 2 ? 6 ? 7?

8 ? n ?? ?

? ? 70 ? ??12 ? 2 2 ? 3 2? ?

2 2 2 2 ? n ?2? ?1 ? 2 ?23 ? 4 ?5 ??2

? 6 ? n ?? n ? 5? ?
2 ? ?

? 1 ? n ? n? 1?? 2 n ?? 5? ? 7 0? ? 5? ? 6n ?? n ? 6 ?

??5
?

?

1 1 5 ? n3 ? n 2 ? n ? 45 . 3 2 6

?n 2 ? 9n, ? 综上可知, Sn ? ? 1 3 1 2 5 ? n ? n ? n ? 45, 2 6 ?3

n ? 5, n ? 5.

20. (本小题满分) (本小题主要考查函数的极值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识,考查数形结合、化归与转化、 分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识) 解: (1)因为 f ? x ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 3 , 所以 f ? ? x ? ? 3x2 ?12x ? 9 ? 3? x ?1?? x ? 3? . 令 f '( x) ? 0 ,可得 x ? 1 或 x ? 3 .苏元高考吧:www.gaokao8.net) 则 f '( x), f ( x) 在 R 上的变化情况为:

x
f ? ? x?
f ? x?

? ??,1?
+ 增函数

1 0 1

?1,3?
- 减函数

3 0

? 3, ?? ?
+

?3

增函数

所以当 x ? 1 时,函数 f ? x ? 有极大值为 1,当 x ? 3 时,函数 f ? x ? 有极小值为 ?3 . (2)假设函数 f ? x ? 在 ?3, ??? 上存在“域同区间” ? s, t ? ? 3 ? s ? t ? , 由(1)知函数 f ? x ? 在 ?3, ??? 上单调递增.

? ? s 3 ? 6 s 2 ? 9 s ? 3 ? s, ? f ? s ? ? s, ? 所以 ? 即? 3 2 ? ?t ? 6t ? 9t ? 3 ? t. ? f ? t ? ? t. ?
也就是方程 x ? 6 x ? 9 x ? 3 ? x 有两个大于 3 的相异实根.
3 2

设 g ( x) ? x ? 6 x ? 8x ? 3
3 2

? x ? 3? ,

则 g ?( x) ? 3x ?12 x ? 8 .
2

令 g? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 2 ?

2 2 3 ? 3 , x2 ? 2 ? 3 ? 3. 3 3

当 3 ? x ? x2 时, g? ? x ? ? 0 ,当 x ? x2 时, g? ? x ? ? 0 , 所以函数 g ? x ? 在区间 ? 3, x2 ? 上单调递减,在区间 ? x2 , ??? 上单调递增.

因为 g ?3? ? ? 6 ? 0 , g ? x2 ? ? g ? 3? ? 0 , g ? 5? ? 12 ? 0 , 所以函数 g ( x) 在区间 ?3, ??? 上只有一个零点. 这与方程 x ? 6 x ? 9 x ? 3 ? x 有两个大于 3 的相异实根相矛盾,所以假设不成立.
3 2

所以函数 f ( x) 在 ?3, ??? 上不存在“域同区间” . 21. (本小题满分) (本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查数形结合、化归 与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:设双曲线 E 的半焦距为 c ,

?c 3 5 , ? ? 由题意可得 ? a 5 ?c 2 ? a 2 ? 4. ?
解得 a ? 5 . (2)证明:由(1)可知,直线 x ?

a2 5 ?5 ? ? ,点 F2 ?3,0? .设点 P ? , t ? , Q ? x0 , y0 ? , 3 3 ?3 ?

因为 PF2 QF2 ? 0 ,所以 ? 3 ? , ?t ? ? 3 ? x0 , ? y0 ? ? 0 . 所以 ty0 ?

? ?

5 3

? ?

4 ? x0 ? 3? . 3

因为点 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线 E 上,所以
2 y0 ? t y0 y0 ? ty0 ? ? ? 5 x0 5 2 x0 ? x0 ? x0 3 3

x0 2 y0 2 4 2 ? 5? . ? ? 1,即 y0 2 ? ? x0 5 5 4

所以 k PQ ? kOQ

4 2 4 x0 ? 5 ? ? ? x0 ? 3? ? 4 3 ?5 ? . 5 5 x0 2 ? x0 3 4 所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 . 5

(3)证法 1:设点 H ? x, y ? ,且过点 P ?

?5 ? ,1? 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , ?3 ?

N ? x2 , y2 ? ,由(2)知 y12 ?


4 2 4 x1 ? 5 ? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5 ? . ? 5 5

? PM MH ? PM ? ? PN , . ? ? ? ,则 ? PN HN ? ? MH ? ? HN .

?? 5 5 ? ? ? ?? x1 ? , y1 ? 1? ? ? ? x2 ? , y2 ? 1? , 3 3 即 ?? ? ? ? ?? x ? x , y ? y ? ? ? ? x ? x , y ? y ? . 1 1 2 2 ?

5 ? ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? , ? ? 整理,得 ? y1 ? ? y2 ? 1 ? ? , ? x1 ? ? x2 ? x ?1 ? ? ? , ? ? ? y1 ? ? y2 ? y ?1 ? ? ? .

① ② ③ ④
⑤ ⑥

5 ? 2 2 2 2 ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? x , 由①×③,②×④得 ? ? y12 ? ? 2 y2 2 ? ?1 ? ? 2 ? y. ?
将 y1 ?
2

4 2 4 2 4 x12 ? ? 2 x2 2 2 x ? 5 y ? x ? 5 y ? ? ?4. , 代入⑥,得 ? 1 ? 2 5? 2 ? 5 5 1? ? 2
4 x?4. 3



将⑤代入⑦,得 y ?

所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ?12 ? 0 上.

证法 2:依题意,直线 l 的斜率 k 存在. 设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? ? ,

? ?

5? 3?

? 5? ? ? y ?1 ? k ? x ? 3 ? , ? ? ? 由? 2 2 ? x ? y ? 1. ? ?5 4
2 2 2 2 消去 y 得 9 4 ? 5k x ? 30 5k ? 3k x ? 25 5k ? 6k ? 9 ? 0 .

?

?

?

?

?

?

因为直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

? ? 2 2 2 2 ?? ? 900 ? 5k ? 3k ? ? 900 ? 4 ? 5k ?? 5k ? 6k ? 9 ? ? 0, ? 30 ? 5k 2 ? 3k ? ? , 则有 ? x1 ? x2 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ? ? ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? . ? x1 x2 ? 9 5k 2 ? 4 ? ? ?

① ②



5 3 ? x ? x1 . 设点 H ? x, y ? ,由 ,得 ? 5 x2 ? x1 PN HN x2 ? 3

PM

MH

x1 ?

整理得 6x1x2 ? ?3x ? 5?? x1 ? x2 ? ? 10x ? 0 .

150 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? 30 ? 3x ? 5? ? 5k 2 ? 3k ? ? ? 10 x ? 0 . 将②③代入上式得 9 ? 5k 2 ? 4 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ?
整理得 ?3x ? 5? k ? 4x ?15 ? 0 . 因为点 H 在直线 l 上,所以 y ? 1 ? k ? x ? ? . 联立④⑤消去 k 得 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 . 所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ?12 ? 0 上. (本题(3)只要求证明点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上,无需求出 x 或 y 的范围. ) ④

? ?

5? 3?




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