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《等差数列》教学课件1


2.2 等差数列

巩固练习:
1 .若an=an-1-3,则{an}是单调递_______数列 ∵an-an-1=-3<0 ∴{an}是递减

an?1 1 2.已知数列{an }满足a1 ? 0, ? , 则{an }是 an 2
A.递增数列 C.摆动数列 B.递减数列 D.不确定

1.观

察以下几个数列:
①4,5,6,7,8,9,10; ②3,0,-3,-6,…; ③1/10,2/10,3/10,4/10,…

? 等差数列的定义:一般地,如果一数列从第二项起,
每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这 个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 公差,公差常用字母d表示。

练习.判断题: ①数列a,2a,3a,4a,…是等差数列。( ) ②数列3,3,3,3,…是等差数列。( ) ③若an-an+1=3 (n∈N*),则{an}是公差为3的等差 数列。( ) ④若a2-a1=a3-a2, 则数列{an}是等差数列( )
注意: 1、等差数列要求从第2项起,后一项与前一项作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是整数,也可

以是0和负数。

2.根据下列各组数,写出它的一个通项公式

2 3 4 5 n ?1 an ? (1) , , , ,? n 1 2 3 4 1 1 1 1 (?1) n (2) ? , ,? , ,? an ? 2n 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 ?0, n为 偶 数 1 1 ? (3)1,0, ,0, ,? an ? ? 1 3 5 ? n , n为 奇 数 ? (4)11,191 ,1991 ,19991 ,? an ? 2 ?10n ? 9

等差中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数,后者 三个数就会成为一个等差数列: ( 1) 2 , 3 , 4 (2)-1, 2 ,5 ( 4) 0, 0 , 0

-6 ,0 (3)-12,

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成
等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。

a?b A? 2

a?c 若a, b, c成等差数列,那么b ? ;2b ? a ? c; 2 b ? a ? c ? b; a ? b ? b ? c都是等价的。

1 用递推关系an?1 ? (an ? an?2 )给出的数列 2 也是等差数列。

3、由定义归纳通项公式 a2 - a1=d, a3 - a2=d, a4 - a3=d,



……

a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d

an-1-an-2=d, an -an-1=d. 这(n-1)个式子迭加 an - a1= (n-1)d

……

由此得到 a n=a1+(n-1)d

当n=1时,上式两边均等于a1,即等式也成立的。这 表明当n∈N*时上式都成立,因而它就是等差数列{an} 的通项公式。

已知数列 {an }的通项公式为 an ? pn ? q ,其中 p,q为常数,且 p ? 0 ,那么这个数列一定是等差数 列吗? 分析:判断 {an } 是不是等差数列,可以利用等差数 列的定义,也就 是看 an ? an?1 (n ? 1) 是不是一个与n 无关的常数 解:取数列 {an } 中的任意相邻两项 an与an?1 (n ? 1)

? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ?p 它是一个与n无关的数,所以 {an } 是等差数列

求差得 an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ?1) ? q]

注意:
1.等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 , an , a1 , n ,d 这四个变量 , 知道其中三个 量就可以求余下的一个 量 。 2.等差数列通项公式 : ①an = a1+(n-1)d

②an = nd + (a1 –d)
③an = a m+(n-m)d

an ? a1 ? (n ?1)d (1).求等差数列8,5,2,…,的第20项。 解: ? a1 ? 8, d ? 5 ? 8 ? ?3, n ? 20,

? a20 ? 8 ? (20 ?1) ? (?3) ? ?49

(2). -401是不是等差数列-5,-9,-13, 的项?如果是, a… n ? a1 ? (n ? 1)d 是第几项?

? a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4, an ? ?401 , 解:
因此, ? 401? ?5 ? (n ? 1) ? (?4) 解得 n ? 100 答:这个数列的第100项是-401.

小 结
1、掌握等差数列、等差数列的公差、等差中项等
概念.

2、掌握等差数列通项公式的一般形式.:

an ? a1 ? (n ?1) ? d
3、已知等差数列通项公式中的任意三个量,能用通 项公式,求另外一个量. 4、能用数列的通项公式判断某个数是否是这个数列 中的项.


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