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福建省师大附中2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理


福建师大附中 2012-2013 学年第二学期第一学段模块测数学理试卷
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答 案卷. 第 I 卷 共 60 分 一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项 符合题目要求

. 1.复数 ( i 是虚数单位)的共轭复数是 3?i A. ?3 ? i B. 3 ? i

10

C. ?3 ? i
2

D. 3 ? i

2.用反证法证明命题: “若整数系数的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,则

a, b, c 中至少有一个是偶数”, 反设正确的是
A.假设 a, b, c 都是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个是偶数 3.设 B.假设 a, b, c 都不是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个是偶数

f ( x) ? ln(2 x ? 1) ,若 f ( x) 在 x0 处的导数 f '( x0 ) ? 1 ,则 x0 的值为
e ?1 2
B.

A.

3 2

C. 1

D.

3 4
' 2

4. 有一段 “三段论” 推理: 对于可导函数 f ( x) , f ( x) 在区间 (a, b) 上是增函数, f ( x) ? 0 若 则 对 x ? (a, b) 恒成立, 因为函数 f ( x) ? x 3 在 R 上是增函数, 所以 f ( x) ? 3 x ? 0 对 x ? R 恒成立.以上推理中 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.推理正确
'

5. O 是原点, 设 向量 OA, OB 对应的复数分别为 2 ? 3i,?3 ? 2i( i 是虚数单位) 那么向量 BA , 对应的复数是 A. ?5 ? 5i B. ?5 ? 5i 6.如图,阴影部分的面积是 A. 2 3
3

?

?

?

C. 5 ? 5i C.

D. 5 ? 5i D.

B. 9 ? 2 3
2

32 3

35 3

7.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数, 则实数 a 的取值范围是 A. (??,? 3 ) ? ( 3 ,??) B. (? 3 , 3 )

C. (??,? 3 ] ? [ 3 ,??) D. [? 3 , 3 ] 8.设 P 、 Q 是两个非空集合,定义 P * Q ? {(a, b) | a ? P, b ? Q, a ? b} .若 P ? {0,1,2} , 第 6 题图

Q ? {1,2,3,4} ,则 P * Q 中的元素有
A.4 个 B.7 个 C.10 个 D.12 个
1

9.已知函数 y ? xf '( x) 的图象如图⑴所示,则 y ? f ( x) 的图象可能是

y

-2

-1

o

1

2 x

y

y

(1) y

y

-2 -1

o A

1

2

x -2 -1

o B

1

2

x -2 -1

o C

1

2

x -2 -1

o

1 D

2

x

10.已知 a ? 1 A. a ? b 的取值有关

2 i ? ( n )2 (n ? N * ) , b ? ?0 x dx ,则 a, b 的大小关系为( n i ?1

n

1

)

B. a ? b

C. a ? b

D. a, b 的大小与 n

11. 若函数 f ( x) ?

1 ? 则实 x ? cos x 在区间 (0, ? ) 的一个子区间 (k , k ? ) 内不是单调函数, .. 2 3

数 k 的取值范围是 A. [

? ?

, ] 6 2

B. [0, D. 0, (

?

C. [0,

?

? 2? )?( , ] 6 2 3

?

? 2? ] ?[ , ] 6 2 3

)( , ?) ? 6 2

?

12.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 58 个数对是 A. (2,10) B. (3,9) C. (5,7) 第Ⅱ卷 共 90 分 二、填空题:本大题有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置. 13.已知 m ? R,复数 (m ? i )(1 ? i ) 为纯虚数(i 为虚数单位) ,则 m ? ***** . 14.已知某物体的运动方程是 s (t ) ? ?t ? 20t ? 5 (其中 s 的单位是米, t 的单位是秒),则
2

D. (3,8)

物体在 t ? 2 秒时的速度为***** 米/秒. 15.计算:

?

2

0

2 ? x 2 dx ? ***** .
3

16.若函数 f ( x) ? 3 x ? x 在区间 (a ? 1, a ) 上有最小值,则实数 a 的取值范围是*****. 17.设 S、V 分别表示面积和体积,如 ?ABC 面积用 S ?ABC 表示,三棱锥 O ? ABC 的体积 用 VO ? ABC 表示.对于命题:如果 O 是线段 AB 上一点,则 | OB | ?OA? | OA | ?OB ? 0 .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

?

2

将 它 类 比 到 平 面 的 情 形 是 : 若 O 是 ?ABC 内 一 点 , 有

??? ? ??? ? ???? ? S ?OBC ? OA ? S ?OCA ? OB ? S ?OBA ? OC ? 0 .将它类比到空间的情形应该是:若 O 是三棱
锥 A ? BCD 内一点,则有*****. 三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ( x 2 ? a ) ,其图象记为曲线 C .曲线 C 在点 A(0, f (0)) 处切线的斜 率为 ?3 . (Ⅰ)求曲线 C 在点 A 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 的极值. 19.(本小题满分 10 分) 阅读材料: 已知 a1 , a2 ? R , a1 ? a2 ? 1 ,求 a12 ? a2 2 的取值范围. 解:设 f ( x) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a2 ) 2

f ( x) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a2 ) 2 ? 2 x 2 ? 2(a1 ? a2 ) x ? a12 ? a2 2
∵ f ( x) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a2 ) 2 ? 0 对 x ? R 恒成立 ∴ ? ? 4(a1 ? a2 ) 2 ? 8(a12 ? a2 2 ) ? 4 ? 8( a12 ? a2 2 ) ? 0

1 ,当且仅当 a1 ? a2 时等号成立 2 1 ∴ a12 ? a2 2 的取值范围是 [ , ??) 2 根据你对阅读材料的理解和体会,已知 a1 , a2 ,? , an ? R , a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,其中 n? 2,
∴ a12 ? a2 2 ? 且 n ? N * ,求 a12 ? a2 2 ? ? ? an 2 的取值范围.

20. (本小题满分 10 分) 数列 {an } 的通项 an

? (?1) n ?1 ? n 2 ,观察以下规律:

a1 ? 1 ? 1 a1 ? a2 ? 1 ? 4 ? ?(1 ? 2) a1 ? a2 ? a3 ? 1 ? 4 ? 9 ? 6 ? 1 ? 2 ? 3
??

3

试写出数列 {an } 的前 n 项和 S n 的公式,并用数学归纳法加以证明. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? 3 x 2 , a ? 0 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? e x f ( x) 在 [0, 上单调递减,求实数 a 的取值范围. 2] 22.(本小题满分 12 分) 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此,甲方有权 向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方 的年利润 x (元)与年产量 t (吨)满足函数关系 x ? 2000 t ,若乙方每生产一 吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格). (Ⅰ)实施赔付方案后,试将乙方的年利润 W (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并 求出乙方获得最大利润的年产量. (赔付后实际年利润=赔付前的年利润-赔付款 总额) (Ⅱ)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002t (元) ,在乙方按照获得最
2

大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要 求的赔付价格 s 是多少?(净收入=赔付款总额-经济损失金额) 23. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x , x ? 1 是 f ( x) 的一个极值点.
2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? m ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自 然对数的底数) ; ( Ⅲ ) 令 g ( x) ? f ( x) ? 3 x , 若 g ( x) 的 图 象 与 x 轴 交 于 A( x1 , 0) , B ( x2 , 0) ( 其 中

1 e

x1 ? x2 ),
求证:

5 7 ? x2 ? x1 ? . 2 2

(参考数据: ln 2 ? 0.7

e ? 2.7 )

4


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