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3.2一元二次不等式及其解法第三课时


第3课时

一元二次不等式及其解法习题课

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第三章 不等式

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第三章 不等式

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1.掌握一元二次不等式的解法. 2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用问 题.

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第三章 不等式

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1.一元二次不等式的应用是本课的热点.
2.多以解答题形式考查,属中低档题目.

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第三章 不等式

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第三章 不等式

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若关于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立,求实数a的

取值范围.

题目给出的不等式疑似一元二次不等式,需讨论a =0和a≠0两种情况.当a≠0时,由二次函数的图象可知, 要使不等式在R上恒成立,只需a>0且Δ<0.

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第三章 不等式

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[解题过程] 当 a=0 时, 原不等式可化为 2x+2>0, 其 解集不为 R,故 a=0 不满足题意,舍去; 当 a≠0 时,要使原不等式的解集为 R,
? ?a>0 只需? 2 ? ?Δ=2 -4×2a<0

1 ,解得 a> . 2

综上,所求实数 a

?1 ? 的取值范围为?2,+∞?. ? ?

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第三章 不等式

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[题后感悟] 此类问题的解决方法可总结如下:
? ?a>0 2 (1)ax +bx+c>0(a≠0)恒成立?? ? ?Δ<0 ? ?a<0 2 (2)ax +bx+c<0(a≠0)恒成立?? ? ?Δ<0



.

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第三章 不等式

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1.本例中若把不等式改为:“(a2-1)x2-(a-1)x-1<0在R 上恒成立”,求a的取值范围.
解析: (1)当 a2-1=0,即 a=± 1 时, 若 a=1,则原不等式为-1<0,恒成立. 若 a=-1,则原不等式为 2x-1<0, 1 即 x< ,不符合题目要求,舍去. 2

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第三章 不等式

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(2)当 a2-1≠0,即 a≠± 1 时,原不等式的解集为 R 的 条件是
2 ? ?a -1<0 ? 2 2 ? ?Δ=?a-1? +4?a -1?<0



3 解得-5<a<1. 3 综上所述,当-5<a≤1 时,原不等式的解为全体实数.

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第三章 不等式

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若不等式 ax +bx+c≥0 等式 cx2+bx+a<0 的解集.

2

? ? ? 1 的解集是?x?-3≤x≤2 ? ? ?

? ? ?, 求不 ? ?

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第三章 不等式

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由题目可获取以下主要信息:
①不等式中含有参数;

②不等式解集已知.
解答本题可先判断二次项系数的符号,然后根据三 个二次之间的关系求字母的取值,再进一步求解.

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第三章 不等式

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[ 解题过程 ]
? ? ? 1 ?x?- ? ? ? 3 ? ? ≤x≤2?知 ? ?

方 法一 : 由 ax2 + bx + c≥0 的解集为 a<0, c>0.

? 1? c 又?-3?×2=a<0,则 ? ?

1 又-3,2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根. b 5 b 5 ∴- = ,∴ =- , a 3 a 3 c 2 5 2 又a=-3,∴b=-3a,c=-3a.
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第三章 不等式

? 2 ? ? 5 ? 2 ∴不等式变为?-3a?x +?-3a?x+a<0, ? ? ? ?

即 2ax2+5ax-3a>0, 又∵a<0,∴2x2+5x-3<0.
? ? ? 1 ∴所求不等式的解集为?x?-3<x<2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

方法二:由已知得 a<0
? 1? c ?- ?×2= 知 a ? 3?

? 1? b ? ? 且 -3 +2=-a, ? ?

c>0.

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第三章 不等式

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设方程 cx2+bx+a=0 的两根分别为 x1,x2, b a 则 x1+x2=-c ,x1· x2=c, a 其中 =? c 1 , 1? ?- ?×2 ? 3?

b ? 1? -a ?-3?+2 b 1 1 ? ? -c= c =? 1? =? 1?+2. ? ? ? ? a ?-3?×2 ?-3?
∴不等式 cx
2

? ? ? 1 ? ? +bx+a<0(c>0)的解集为 x -3<x<2 ? ? ?

? ? ?. ? ?

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第三章 不等式

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[题后感悟]

(1)给出一元二次不等式的解集,则可知二

次项的符号和一元二次方程的两根,由根与系数的关系可知 a,b,c 之间的关系. (2)如果对一元二次不等式解的意义不理解,将不能由 y 1 =ax +bx+c(a≥0)的解集得出 ax +bx+c=0 的两根为- 3
2 2

和 2,即使知道,还有同学不能通过解集的形式得出 a<0,
? 1? c ? ? 又不能通过 -3 ×2=-a得出 ? ?

c>0,导致错解.

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第三章 不等式

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2.已知不等式 ax2+bx+2>0 求 2x2+bx+a<0 的解集.

? ? ? 1 1 的解集为?x?-2<x<3 ? ? ?

? ? ?, ? ?

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第三章 不等式

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1 1 解析: ∵ax +bx+2>0 的解为-2<x<3,
2

1 1 ∴- , 是方程 ax2+bx+2=0 的两实根. 2 3 b ? 1 1 ?-2+3=-a 由根与系数的关系得? ?-1×1=2 ? 2 3 a
? ?a=-12 ,解得? ? ?b=-2

.

∴ 2x2 + bx + a < 0 ? 2x2 - 2x - 12 < 0 ? x2 - x - 6 < 0 ? (x -3)(x+2)<0?-2<x<3. ∴2x2+bx+a<0 的解集为{x|-2<x<3}.
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第三章 不等式

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汽车在行驶时,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑 行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车 距离是分析交通事故的一个重要因素.在一个限速40 km/h的弯 道上,甲、乙两车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还

是相碰了.事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,
乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系: s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2. 试判断甲、乙两车有无超速现象,并根据所学数学知识给 出判断的依据.
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第三章 不等式

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由题目可获取以下主要信息: ①限速40 km/h;②刹车距离s甲>12 m,s乙>10 m; ③刹车距离s甲、s乙与车速关系确定. 解答本题可将刹车距离直接代入关系式分别得到一 个关于x的一元二次不等式,解此不等式即可求出x的范围, 即汽车刹车前的车速范围.

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第三章 不等式

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[规范作答] 由题意,对于甲车,有0.1x+0.01x2>12,2分
即x2+10x-1 200>0. 解得x>30或x<-40(舍去).4分 这表明甲车的车速超过30 km/h,但根据题意刹车距离略超 过12 m,由此估计甲车不会超过限速40 km/h.6分 对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,8分 即x2+10x-2 000>0.

解得x>40或x<-50(舍去).10分
这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.12分

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第三章 不等式

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[题后感悟]

(1)实际应用问题是新课标下考查的重点,突出

了应用能力的考查,在不等式应用题中常以函数模型出现,如 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型.解题时要弄清题 意,准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解. (2)解不等式应用题,一般可按如下四步进行:

①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等
关系; ②引进数学符号,用不等式表示不等关系 (或表示成函数关 系) ; ③解不等式(或求函数最值); ④回扣实际问题.
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第三章 不等式

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3.国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行征收附加税政 策,现知某种酒每瓶70元,不加收附加税时,每年大约产销100 万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税R元(叫做税率 R%),则每年的销售将减少10R万瓶,要使每年在此项经营中所 收附加税金不少于112万元,问R应怎样确定?

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解析:

设产销量为每年x万瓶,则销售收入为每年70x万元,

从中征收的税金为70x·R%万元,其中x=100-10R. 由题意,得70(100-10R)R%≥112, 整理,得R2-10R+16≤0. ∵Δ=36>0,方程R2-10R+16=0的两个实数根为x1=2, x2=8. 然后画出二次函数 y = R 2 -10 R+ 16 的图象,由图象得不等

式的解集为{R|2≤R≤8}.
答:当 2≤R≤8时,每年在此项经营中所收附加税金不少于 112万元.
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第三章 不等式

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一元二次不等式的解集与二次函数和二次方程之间的关系: (1)从函数观点看(以a>0的二次函数为例) 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集,就是二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合,同时也 是二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标 x

的集合,而一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根就是二次函数
图象与x轴交点的横坐标.

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第三章 不等式

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(2)从方程观点看 设一元二次不等式 ax2+bx+c>0 和 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集分别为{x|x<x1 或 x>x2}、{x|x1<x<x2}(x1<x2), b ? ?x1+x2=-a, 则有? c ?x1· x2= , a ? 程的根.

即不等式解集的端点值是相应方

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第三章 不等式

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(3)当一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为R时,意味 着ax2+bx+c>0恒成立.由图象可知:关于这类恒成立问题只需 考虑开口方向和判别式 Δ 即可,而不必利用最值转化的思路求 解.

[注意]

解一元二次不等式时,要将二次不等式以及与其对

应的二次方程、二次函数的图象联系起来,真正做到 “ 数形结

合”.

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第三章 不等式

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◎若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对x∈R恒成立,求实数 a的取值范围.

【错解】 成立,

不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对 x∈R 恒

? ?a-2<0, 则只需? ? ?Δ<0,

? ?a<2, 即? 2 ? ?4?a-2? -4?a-2??-4?<0,

解得-2<a<2.

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第三章 不等式

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【错因】 当a-2=0时,原不等式不是一元二次不等式,
不能应用根的判别式.
【正解】 因为 a=2 时,原不等式为-4<0,所以 a=2 时成立. 当 a≠2
? ?a-2<0, 时,由题意得? ? ?Δ<0



? ?a<2, 即? 2 ? 4 ? a - 2 ? -4?a-2??-4?<0 ?

,解得-2<a<2.

综上两种情况可知-2<a≤2.

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