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2.2.1向量加法运算及其几何意义(市级比赛课件)


由于台北和上海没有直航,因此春节探亲,乘 飞机要先从台北到香港,再从香港到上海, 则飞机 的位移是多少? 上海
? b
上海 香港 台北 香港

? c
台北

? a

? ? a+ b

=

? c

3

/> 4

5

问题3:如图所示的两个向量 作出它们的和吗? 由此,你能概括出一般的两个向量a、 b的和吗?

? ? a与b ,你能

6

向量加法的三角形法则
? ? b a
A

?? ?? ? ? ? 已知向量 a , b, 求作向量a + b
作法(1)在平面内任取一点O ??? ? ?? ??? ? ? ? (2)作 OA = a , AB = b ??? ? ? ? (3)作OB = a + b

首 首 尾 尾 相 连o 接

B

位移的合成可以看 这种作法叫做向量 作向量加法三角形 加法的三角形法则 法则的物理模型

还有没有其他的做法?

问题5:还有什么方法可以求两个向量的和?

? a

? b

? ? 作法:以同一点O为起点的两个已知向量a、 b为邻边作平行 ??? ? ? ? 四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。

这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

8

? ? 试一试:如下图,求作 a ? b

9

向量加法的平行四边形法则
b a

起点o 相同 连对 角

A

作法(1)在平面内任取一点O ??? ? ?? ? ? ???? (2)作 OA = a ,OB = b ??? ? ? ? (3)作 OC = a + b
C

B

力的合成可以看作向 这种作法叫做向量加 量加法的平行四边形 法的平行四边形法则 法则的物理模型

文字表述为:以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形, 则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。

2.向量的加法法则
向量加法的三角形法则: 首尾相连 1.将向量平移使得它们首尾相连. 2.和向量即是第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 向量加法的平行四边形法则: 同一起点 1.将向量平移到同一起点. 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线. a b

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练习

? ? 如图,已知 a , b,用向量加法的三角形法则作出 a ? b ? ? (1) (2) b b ? ? a a
(3) (4)

? b

? a ? b

? a ? b
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问题6:实数满足加法交换律和结合律,向 量的加法是否也满足交换律和结合律呢?
实数的加法 向量的加法
? ? ? ? ? ? (a ? b)+c ? a ? (b+c)

交换律 结合律

a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)

? ? ? ? a ? b =b + a

试一试 化简: (1)BC+AB(2)OA+CB+AC

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? ? ? ? 通过求a与b的和得到了一个新的向量a +b, ? ? ? ? ? 那么|a +b|、 |、|满足什么关系? |a |b ?? a A o· b ? ? ? a b a+ b
B

三角形的两边之和大于第三边
? ? ? ? | a+ b|< | a|+ |b|

? ? ? ? 判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小

2、 共线
(1)同向
a
? ? a+ b
b

(2)反向
a
b

? ? a+ b

? ? ? ? | a + b |= | a | + | b |

? ? ? ? ? ? | a + b |= | b | - | a (或 a - b ) |

? ? ? ? \ | a + b |? | a | | b |

探究

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例2.如图,一艘船从江的南岸A点出发,以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。 C ???? ??? ? D 解:(1)如图, 表示船速, 表示水速, AD AB

以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD, ???? 则 AC表示实际航行的速度.

???? ??? 2 ? ??? 2 ? ?| AC |? | AB | ? | BC | ? 2 2 ? (2 3) 2 ? 4
? tan ?CAB ?

??? ? ??? ? (2)在Rt ?ABC中,AB |? 2,| BC |? 2 3 |
2 3 ? 3 2 ?

A

B

??CAB ? 60 .

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答:船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60? 。

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尝试小结:
在这节课学习中, 学到了哪些数学知识? 用到了哪些数学思想?

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课后作业
(1)课本习题1,2,3;
(2)寻找生活中应用向量加法的例子。

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