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数列的概念与简单表示法-带答案


数列的概念与简单表示法 重点、难点:数列及其有关概念,通项公式及其应用 知识要点梳理 知识点一:数列的概念 ⒈ 数列的定义:按一定顺序排列的一列数叫做数列.\ 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同, 那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做

这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项,第 2 项,?,第 项,?.其中数列的第 1 项也叫作首项。 3. 数列的一般形式: 知识点二:数列的分类 1. 根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6 是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6,?是无穷数列 2. 根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列:从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 知识点三:数列的通项公式与前 项和 1. 数列的通项公式 如果数列 的第 项 与 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个 ,或简记为 ,其中 是数列的第 项

数列的通项公式. 如数列: 的通项公式为 的通项公式为 ( ( ) ; ) ;

的通项公式为



) ;

1

注意: (1)并不是所有数列都能写出其通项公式; (2)一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,?;

它的通项公式可以是

,也可以是

.

(3)数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. (4)数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项 的一般表示. 2. 数列 数列 当 时 的前 项和 的前 项逐个相加之和: ;当 时, , ; .



.

知识点四:数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 (或它的有限子集 )为定义域的函数 ,当自

变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来,对于函数 列 , , ,如果 ,?, ( )有意义,那么我们可以得到一个数

,?;通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给

了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 关于数列的一些问题常通过函数的相关知识方法解决,如:单调性,最值等. 知识点五:数列的表示方法 数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法(解析式法、图象法、列表法)有联系. 1. 通项公式法(解析式法) : 如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个

数列的通项公式。 2. 图象法: 数列是一种特殊的函数,可以用函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 为横坐 标,相应的项 为纵坐标,即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点。所得的数列的图

形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在 轴的右侧,而点的个数取决于 数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
2

3. 列表法 相对于列表法表示一个函数, 数列有这样的表示法: 用 用 表示第 项,依次写出成为 , ,?, 表示第一项, 用 . 表示第二项, ??,

,?,简记为

4. 递推公式法 递推公式:如果已知数列 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 与它的前一项 (或前

项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式 也是给出数列的一种方法。 如数列:3,5,8,13,21,34,55,89,?的递推公式为: . 规律方法指导 1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有相应的三个性质: (1)确定性:一个数是否数列中的项是确定的; (2)可重复性:数列中的数可以重复; (3)有序性:数列中的数的排列是有次序的. 2.数列是一个特殊的函数,其特殊性主要体现在定义域上,根据此特殊性可以判定一个数是 否数列中的项;数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式;跟不是所有的函数都有解析 式一样,不是所有的数列都有通项公式. 3. 递推公式也是给出数列的一种方法. 经典例题 考点 1 数列的通项公式 类型一:根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 例 1.写出下列各数列的一个通项公式,使其前四项分别是:

(1) 0, 解析:

, ,

,?; (2) 1,

, ,

,?; (3) 9, 99,999, 9999,?; (4) 6, 1, 6,1,?.

(1)将数列改写为







,?, 故 来表示;

.

(2)此数列奇数项为正,偶数项为负,可用

其绝对值中分子为奇数数列,分母是自然数的平方数列,故
3

.

(3)将数列改写为

,

,

,

,?,



.

(4)将数列每一项减去


,.1的瞧骄倒 阑
的眯慢列
, ,-
,

,
,-
,


棺芙嵘: 写ㄏ罟时⒁猓韵盥常用思路 "偃酏列中的项示铸, 则先观察帜甘墓芈煞再观察帜子墓芈煞纾1) ;特别⒁猓 数狈铸J窃挤趾的唤峁因据使鄄旎乖铸, ⑵冖意(-1)n 谙叩档南饔茫侨肥兄械囊项正、负交替鱿.纾12 ;(-1)n 作指 史数列中蹈粝铞现.倒 ⑵郇4)娇墒为浦芷数列惮故
想到找桓鍪周剖 2的钳数段尘埃 娶芄槟刹孪氲关霞谴迂殊行任パ罢一赴阖律番 很多情肯铝是将已闯鱿南钏进行适当谋礓危 数关律访骼驶

【变式 1】菔下檬械南凹赶钚的郑闯鍪械囊桓鐾ㄏ罟 1) 03, , {, 917, 33?; (2)矗3 () 9, , 6, , 6, , ; (2)剑 【鸢竉】1) 0 (2) na? '(-1)na? 1 ?
10 (n.1򂐍惮 , ,-,?,唬23 4

2 1?

.

4 3? 5
.


8 5? 7
.

16 7?9
.



() 9变式 2"賏n=
2



2n(2)絘n='(-1)n(2n(- 1)(2n? 1) 。
n

呈列{an}南凹南罘 #1 [1+(-1)n]
2
.
,1
10 '(?1)n
2
.
则韵盥魇 症踑n='?
? ?0 2( n为际 )n( n为媸)

②an=
其拘可易魑獅an}南ㄏ罟降淖是 ) .① B.①② C.②③ D.①②③
【反思归纳】⑴惦和转皇撬由阎认识未滥两种行虻奈思维椒ㄖ.⑵笫兄南ㄏ罟降 用υ擞霉鄄臁⒎治觥⒐槟伞⒀橹さ慕法.易错之处在于每鍪械由凹赶钚找芈煞不准确蛟及 观察、分析、归纳、验证这烁鍪环节紫南补会叮应⒁猓对恳幌械认真找出芈煞和验证.
4

题型 2Q知数列 那 蟦项和 殷ㄏ罟 馈君 12】阎铝懈 ?n c?的前 蟦项和 Sn(ǚ帜别求蔷耐ㄏ罟 萵 c ⒉ Sn(? 2n(2(? 3n( ⑵ Sn(? 3n(? 1

(2 ?S1祅(? 1) 【解题思路】梅 na? '?(ǚ这是笫兄ㄏ罟囊恍鍪重要椒.(? S祅(? S祅(?1n( n(? 2)

【解析】⑴ 蕁(? 1时, 10 'S10 '2(? 12(? 3(? 1? 5, , 蕁(? 2时, n(? Sn(? Sn 1 ?n(2n(2(? 3n)0 '2(n(? 1)2(? 3(n(? 1)(? 4n(? 1 递 蕁(? 1时, ? '1 ?n1? 5?10? c?4n(? 1 耽票 蕁(? 1时, 10 'S10 '3(? 1? 4, , 蕁(? 2时, n(? Sn(? Sn 1 ?n(3n(? 1)0 '(3n 1 ?n1)0 '2(? 3n 1

?
?
?4(n(? 1)( 蕁(? 1时, 2(? 31 1 ?n2(? a10? n c?? 礱? 1 ?2(? 3((n(? 2)

15.阎 胆1) 思路点拨: 先由 验证
的桶 项和 椒, ,12
.
殷ㄏ罟 惮
殷出
.



(辉儆傻

.
殷出
.虎
狈袷符合所殷出的解析:
(1)脖 时 时, 1,
.




(2)幢 时 省
1, 1, ( 殷出 )为所殷. 依据氖的迁义:
5
.



总结升唬 阎
.
分段求解缁后煅槟

结果能否统恍┦剑含能就闯錾恍鍪
否则只苄闯錾分段慕┦剑. 【变式 1】阎 的蛋 项和 惮
殷ㄏ罟

【鸢竉】当
保 时 时, ,






【变式 2】阎 怠攫案_】当
耐 项夯保
.
殷ㄏ罟尸
.当

.





变式训练 2Q知数列 那 蟦项和 Sn(满足logS2(Sn+1)=n+1,求{an}南ㄏ罟降解

(?3(? n c??蕁(?2
.a? 1 n?2
.?S(n(? 1)(【反思归纳】任阂幌鍪械那 蟦项和 Sn(与ㄏ罟蕁 c即箧在叵担 n c??1 若 ?S祅(? S祅?1n(n(? 2)
a10适合 n c 则把蔷统恍起矗否则就梅窒段硎镜

6

题型 3Q知数列 那萃乒剑含殷ㄏ罟 馈君 13】 ?n c?抵惮耍a10 ', 6n c?
2n c?1n(n(? 2)惮
殷 a2 6n3 6n4 6n5, 并归纳出 n c 2(? a c?1

【解题思路】阎?n c?的禽推公式 襫 c?礷 (an 1 ) 殷凹赶睿┛捎逐步计算. 【解析】? a10 ', 6n c?
? a2(?
2n c?1n(n(? 2)惮
2(? a c?1

2a 3(2a 2
a 4
a1 2


?(ǚ6n3 ??狮6n ? '?狮6n5??狮62(? a2 4
(? a3 5
(? a4

2(? a10

.2


2
由 ,
,
,
,
,?狮飞以殴槟沙 n祅(? 2(3 4 56礱? 1
【变式 2】阎 捣一负

,满足 (
.

.
闯鍪 5项,?⒉宦想( 观察可


2
法菏由
.



∴省 3、 ?n c?抵惮耍a10 ', 6n 1 ?n2n c?10?殷 a2 6n3 6n4 6n5, 并归纳出 n c ⅰ窘馕觥? a10 ', 6n 1 ?n2n c?1
? a2(?
a1 ?n1? 3(ǚ6n3 ?2a2(? 1? 7狮6n ? '2n3 ?1 ?n1,86n5?2n ? '1? 31
由 1 ?n210 ', 3 ?22(? 1,7 ?23 ?1,15?2 ? '1,31 ?n25?, 6,
梢耘归纳出 n祅(?
.2 a? 1
【反思归纳】由低乒轿殷ㄏ罟
梢耘考虑“归纳—宦想—证明”谋椒ㄖ部梢允构造新数列

7
. 嫉 1
与兄南ㄏ罟降泄馗南髹合侍獬 题型 1Q知数列 ㄏ罟剑求钍及状笥(仔∮O钚 【 14】 ?n c?抵惮耍a c?祅(2(? 5 c?4 .才 18是数列档的系诟项)科 n为横蔚时冬86nn有亲 兄凳?并求仔∮. 1【解题思路】兄南ㄏ罟6nn有 n萎间倒钩啥委数惮
梢结合二次斗去探殷. 【解析】⑴由 n(2(? 5 c?4 ?,8c?祅(2(? 5 c?1 ? '0狮方獾玫n(? 7狮?,8c鞘械档南第 7暑.
5 9⑵? a祅(? n(2(? 5 c?4 ?( n(? )
?(ǚ6n(? N(? ? n(?n2(或 n(?n31, (nn) in' ?22(? ? '2(? 5(? ?2 2(4

1、 ?n c?抵惮耍an(?n3n(2(? 28 c?10?殷 an 取仔∮. 祅的侵.

1 ? '193 ?怠窘馕觥 n c?3n(2(? 28 c?10?3? n(?n??狮? n(?n5时, n(取仔∮. 3.? 3(? 【反思归纳】梅二次斗饩觯械侍獬倍8匦氩⒁猓其ㄒ逵蛏 n为糊整数. 题型 2Q知数列 ㄏ罟剑卸ㄏ兄牡餍裕及薪忡性 16.阎 敌 ,卸ㄏ兄的第调性,撞⒏重っ

2
.思路点拨:选允兄械我庖相邻两项作差冉希即可

馕觯

.

埂嗍∴ 凳禽增数列

(2


总结升唬  彩歉
梢杂煤丐明慕诘餍裕谋椒ㄖ来丐明

【变式 1】忻
,值

,
(2


1)泊出庶蹦前 五睿?⒉归纳出ㄏ罟剑 (2)倚定宵蹦勤调性. 【鸢竉】(1) ,
,
,
,
∴驶

栓2)唇法只负

8
.
∴数列
狈菁跏校

=法筑:省忒数



上诘餍菁跏
∴数列
狈菁跏校

【反思归纳】械是厥獾暮卸ㄏ慕诘餍裕、薪忡性谋椒ㄖ同样适用谑械 规塘废 一、选允獬 .腥酏列謠an}南凹蟦项和 Sn=n2-1 则 a4
等 蔄.7 C.9 B.8 D.17(
.馕觯
∵Sn=n2-1 ∴a4=S4-S3=16-1(9-1)=7. 鸢竉:A 2.兄{an}值an=-2n2+29n+,2源耍兄状笥钚的郑礎.107 1.108 8解析:
an=-2n2+29n+,剑2(n2- 29

92 =-2(n- 0猾, 4 8奖 蕁=7时, n c状笥且等 108. 鸢竉:B 13.谑兄{an}值a1='杂懈 n∈N*加型 a1a2 =n2 则 a,玭55融 (
A. C 3.115
5 16
2
.(


.B.108 D.109
9n)n猾


.B. D

25 96116

{a1a2 =n解析:

鸢竉:D

a1a2 +1=(n+1)2(?n +1=(
.a+1
9
561 ) ?a,罚 ,a5, ,∴a,玭5 礱?41616

4.(0130·湖北黄钢剩检)阎 {an}南ㄏ罟降絥 =n2+ka+2 若杂诹 n∈N*杂型

aa+1>n c闪舰 则实 k的怠值史段

A.k>0.k>-2
9
.( B.k>-1 D.k>-

.
. 馕觯
∵aa+1>n
∴n +1-an>0. 又 n =n0猾ka+2 ,∴(n+1)2猾k(n+1)+2-(n2+ka+2)>0. ∴k>-2n-.与郑2n-.(n∈N*)南鞔笥值涵,2,∴k>-
. 鸢竉:D15.(0109·江西中学荒辏)兄{an}值a1=1 a2=2 蕁∈N*保 n +25融 蔭nn +1的蹈鑫皇 若兄{an}南凹蟢项和 24,2源 k的融 蔄.61 C.63解析:
∵a1=1 a2=2 ,∴a,2 a4=,5n5,1a62 a7=6 a82 a92 ?. ∴ {an}是从 2 项起V芷湿 6的谍列惮瞬⑶ a2n,玭4n5a6a7=2. 涤 Sk=2.,2∴k=6. 宛案_:B 二、填空题(每小獬 5 郑含共 20 郑 6,.阎 {an}南凹蟦项和 n=解析:
∵Sn=1宛案_:2 ?7.,12130·青岛模拟)兄{an}满足 1=2 n =1-解析:
∵ {an}满足la1=2 n =1-򚷍礏.62 D.64(
2
.a+1担 则 a5a6__________ 礱+2
.a+161 411惮 ∴a5a6S6-S47, = 礱+262(42(24

n -1
(n=2,3,,5 ?)5 则 a4________

1
1惮 ∴a2=1-浆罚 a,1-2=-1 a41+1=2; n -1 2
1) 0S=20n2-3n(2) 1S=23n-2
.8 下檬魇械囊 蟦项和 Sn(倒厥椒,求{an}南ㄏ罟降.解
1) 0a10 'S10 '?, 6 蕁≥2时 6n c? S祅(? S祅 1 ?n4n(? 5 由 蔭1Q彩屎洗说冉,哉6n c? 4n(? 5 2) 1a10 'S10 '?, 6 蕁≥2时

n c? S祅(? S祅 1 ?n2(? 3n 1
.a? 1 '1? n c??蕁(?1 n?2 ?2(? 3
10
注饕 .新列糕析式P并皇械, 61,1 61,1. 盇. n c?(?1)n B. n c?(?1)n 1 毕ㄏ罟降淖是 )

C 3n c?(?1)n 1

D 3n c?1 n为媸61 n为际 ┙ D 3n c?3n(? 3(ㄏ钚

?
2.兄 25,8的一蚌通项公式 是 2
131惮 . n c?3n(? 3(B. n c?3n(?1
C 3n c?3n(? 1

3.阎 担n c?惮86nn?. 9 B 1.0

1登这个数列帜系讪 (n(? N(? 0荒敲次 120 n(n(? 2)

C 311

D 312(

4. ?n c?惮86nn? (n)0且蝗龊 运挠ㄒ逵蛏酣. 非负  3 或其蛹  1  3 或61,2,3,

,
,n?)  3诙睿或第认钗(

5.阎 担n c?惮86nn?0n2610n(? 3(ㄋ那仔∮钍侨酣. 谝幌睿 1诙睿 C 3第认钗
6.阎 担n c?惮86n1? 3(ǚ6n2(? 60?乙 an?2 ? an?1? n c 则柿兄南第五睿酣. 6 二.填空题 7.阎 担n c?惮86nn?n(? 5, 且a8c?31惮 则 a17? 8.阎礷 ( x)0 'ogS2 ( x2 ? 7 0荒6nn? (n)0 则 ?n c?的堑谖孱* 9数列实15,2 ?, 35,48,63,.2 5 10917 26,D一蚌通项公式

 1?

.C 3?12
.D 3?6

.

0.阎 担n c?德鉲a1(? ?2 荒6nn 1 ?n2(? 2n c 则 a4
?
10? an

三.解答獬 1.阎 担n c?抵惮耍a10 '3(ǚ6n109?n210ㄏ罟6nn忧相数 蝞的且淮委数惮
"僖 ?n c?的迁项公式,詹⑶ a2005, ⑵谌 ?bn?G擞 a2 6n4 6n6,8c

,
,槌闪古归纳 ?bn?D一蚌通项公式

2.阎?n c?德鉲a1(? 3(ǚ6nn 1 ?n2n c?10?试闯鍪檬兄那 5项,?⒉用观察法闯鍪飧鍪械南 一鐾ㄏ罟



1.A
2.B

3.B

4.D

5.D

6.D

7.29
.8.5
.9 3n c?
(n(? 3)
?(1 n
?(1

0.c?
2 5
?k ?(b(? 3(?k ?(2 11.设6nn?n(? b ,则 ? ,解得? ,∴蕁n?2n(?(1(n(? N(? 0,∴蕁2005? 4113,#10k ?(b(? 210 b(? 1
又∵ a2 6n4 6n6,8c

5,9,13,17,?,∴蔮n?4n(? 1

2. ∵ a1? 3( 6n 1 ?n2n c?10,∴蕁2 ? 7 6n3 ?n1 6n4 ? 31 6n5? 63( ∴猜得祅n?2n 1 ?1



3

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