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数列的概念与简单表示法-带答案

时间:2014-10-12


数列的概念与简单表示法 重点、难点:数列及其有关概念,通项公式及其应用 知识要点梳理 知识点一:数列的概念 ⒈ 数列的定义:按一定顺序排列的一列数叫做数列.\ 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同, 那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做

这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项,第 2 项,?,第 项,?.其中数列的第 1 项也叫作首项。 3. 数列的一般形式: 知识点二:数列的分类 1. 根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6 是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6,?是无穷数列 2. 根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列:从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 知识点三:数列的通项公式与前 项和 1. 数列的通项公式 如果数列 的第 项 与 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个 ,或简记为 ,其中 是数列的第 项

数列的通项公式. 如数列: 的通项公式为 的通项公式为 ( ( ) ; ) ;

的通项公式为



) ;

1

注意: (1)并不是所有数列都能写出其通项公式; (2)一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,?;

它的通项公式可以是

,也可以是

.

(3)数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. (4)数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项 的一般表示. 2. 数列 数列 当 时 的前 项和 的前 项逐个相加之和: ;当 时, , ; .



.

知识点四:数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 (或它的有限子集 )为定义域的函数 ,当自

变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来,对于函数 列 , , ,如果 ,?, ( )有意义,那么我们可以得到一个数

,?;通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给

了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 关于数列的一些问题常通过函数的相关知识方法解决,如:单调性,最值等. 知识点五:数列的表示方法 数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法(解析式法、图象法、列表法)有联系. 1. 通项公式法(解析式法) : 如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个

数列的通项公式。 2. 图象法: 数列是一种特殊的函数,可以用函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 为横坐 标,相应的项 为纵坐标,即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点。所得的数列的图

形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在 轴的右侧,而点的个数取决于 数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
2

3. 列表法 相对于列表法表示一个函数, 数列有这样的表示法: 用 用 表示第 项,依次写出成为 , ,?, 表示第一项, 用 . 表示第二项, ??,

,?,简记为

4. 递推公式法 递推公式:如果已知数列 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 与它的前一项 (或前

项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式 也是给出数列的一种方法。 如数列:3,5,8,13,21,34,55,89,?的递推公式为: . 规律方法指导 1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有相应的三个性质: (1)确定性:一个数是否数列中的项是确定的; (2)可重复性:数列中的数可以重复; (3)有序性:数列中的数的排列是有次序的. 2.数列是一个特殊的函数,其特殊性主要体现在定义域上,根据此特殊性可以判定一个数是 否数列中的项;数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式;跟不是所有的函数都有解析 式一样,不是所有的数列都有通项公式. 3. 递推公式也是给出数列的一种方法. 经典例题 考点 1 数列的通项公式 类型一:根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 例 1.写出下列各数列的一个通项公式,使其前四项分别是:

(1) 0, 解析:

, ,

,?; (2) 1,

, ,

,?; (3) 9, 99,999, 9999,?; (4) 6, 1, 6,1,?.

(1)将数列改写为







,?, 故 来表示;

.

(2)此数列奇数项为正,偶数项为负,可用

其绝对值中分子为奇数数列,分母是自然数的平方数列,故
3

.

(3)将数列改写为

,

,

,

,?,



.

(4)将数列每一项减去 6 与 1 的平均值 故 或

得新数列

, -

,

, -

,?,

总结升华:写通项时注意以下常用思路: ①若数列中的项均为分数,则先观察分母的规律再观察分子的规律,如(1);特别注意有 时分数是约分后的结果,要根据观察还原分数; ②注意(-1)n 在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现,如(2);(-1)n 作指数, 让数列中隔项出现倒数; ③(4)可视为周期数列,故想到找一个周期为 2 的函数为背景。 ④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律, 很多情况下是将已写出的项进行适当的变形, 使规律明朗化.

【变式 1】根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1) 3, 5, 9, 17, 33,?; (2)1, (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,?; (4)- 【答案】 (1) ; (2) a n ? (-1) n ?1 ?
1 ; n 1 1 1 , , - ,?; 2 3 4

2 1? 3



4 3? 5

,-

8 5? 7



16 7?9



?;

(3) 变式 2 ①an=
2 2



2n (4)an= (-1) (2n - 1)(2n? 1) 。
n

某数列{an}的前四项为 0, [1+(-1)n]

2

,0,
1 ? (?1)n

2

,则以下各式: ③an= ?
? ?0 2 ( n为偶数 ) ( n为奇数)

②an=

其中可作为{an}的通项公式的是( D ) A.① B.①② C.②③ D.①②③

【反思归纳】⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.⑵求数列的通项公式, 应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确,以及 观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多,应注意对每一数列认真找出规律和验证.
4

题型 2 已知数列的前 n 项和,求通项公式 【例 2】已知下列数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,分别求它们的通项公式 an . ⑴ Sn ? 2n 2 ? 3n ; ⑵ Sn ? 3n ? 1.

( ?S 1 n ? 1) 【解题思路】利用 a n ? ? ,这是求数列通项的一个重要公式. ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

【解析】⑴当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 12 ? 3 ? 1 ? 5 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n 2 ? 3n) ? 2(n ? 1)2 ? 3(n ? 1) ? 4n ? 1 . 当 n ? 1 时, 4 ? 1 ? 1 ? 5 ? a1 ,?an ? 4n ? 1 . ⑵当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 1 ? 4 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2 ? 3n?1 .

?

?

?4(n ? 1) 当 n ? 1 时, 2 ? 31?1 ? 2 ? a1 ,? an ? ? . n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2)

例 5.已知数列 (1) 思路点拨: 先由 验证

的前 项和公式 , (2)

,求通项 . ,求出

.

时, .

;再由当

时,

,求出

,并

是否符合所求出的 解析: (1)当 当 时, 时,

, ,



(2)当 当 ∴

时, 时, ( 求出 )为所求. 依据的是 的定义:
5

, ,

总结升华:已知

,分段求解,然后检验

结果能否统一形式,能就写成一个,否则只能写成分段函数的形式. 【变式 1】已知数列 的前 项和 ,求通项 .

【答案】当

时, 当 时, ,





.

【变式 2】已知数列 【答案】当

的前 项积 时,

,求通项 ,



时,





.

变式训练 2 已知数列的前 n 项和 Sn 满足 log2(Sn+1)=n+1,求{an}的通项公式 解:

?3 ? an ? ? n ?2

n ?1 n?2

?S (n ? 1) 【反思归纳】任何一个数列,它的前 n 项和 Sn 与通项 an 都存在关系: an ? ? 1 若 ?S n ? S n?1 (n ? 2)
a1 适合 an ,则把它们统一起来,否则就用分段函数表示.

6

题型 3 已知数列的递推式,求通项公式 【例 3】数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?
2an ?1 (n ? 2) ,求 a2 , a3 , a4 , a5 ,并归纳出 an . 2 ? an ?1

【解题思路】已知 ?an ? 的递推公式 an ? f (an?1 ) 求前几项,可逐步计算. 【解析】? a1 ? 1, an ?
? a2 ?
2an ?1 (n ? 2) , 2 ? an ?1

2a 3 2a 2 2a 4 2a1 2 2 2 2 ? , a3 ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? , 2 ? a2 4 2 ? a3 5 2 ? a4 6 2 ? a1 3

2 2 2 2 2 2 由 , , , , , ? ,可以归纳出 a n ? . 2 3 4 5 6 n ?1

【变式 2】已知数列 法一:

满足: ,

, ,

,写出前 5 项,并猜想 ,观察可得



法二:由

,∴



∴ ∴ 3、数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 , a5 ,并归纳出 an . 【解析】? a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1
? a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 , a3 ? 2a2 ? 1 ? 7 , a4 ? 2a3 ? 1 ? 15, a5 ? 2a4 ? 1 ? 31

由 1 ? 21 ? 1,3 ? 22 ? 1,7 ? 23 ? 1,15 ? 24 ? 1,31 ? 25 ? 1, ?,可以归纳出 a n ?

2 n ?1

【反思归纳】由递推公式求通项,可以考虑“归纳—猜想—证明”的方法,也可以构造新 数列.

7

考点 2 与数列的通项公式有关的综合问题 题型 1 已知数列通项公式,求项数及最大(最小)项 【例 4】数列 ?an ? 中, an ? n 2 ? 5n ? 4 .⑴ 18 是数列中的第几项?⑵ n 为何值时, an 有最 小值?并求最小值. 【解题思路】数列的通项 an 与 n 之间构成二次函数,可结合二次函数知识去探求. 【解析】⑴由 n 2 ? 5n ? 4 ? 18 ? n 2 ? 5n ? 14 ? 0 ,解得 n ? 7 ,? 18 是数列中的第 7 项.
5 9 ⑵? a n ? n 2 ? 5n ? 4 ? ( n ? ) 2 ? , n ? N ? ? n ? 2 或 n ? 3 时, (an ) min ? 22 ? 4 ? 2 ? 5 ? ?2 . 2 4

1、数列 ?an ? 中, an ? 3n 2 ? 28n ? 1 ,求 an 取最小值时 n 的值.

14 ? 193 ? 【解析】 an ? 3n 2 ? 28n ? 1 ? 3? n ? ? ? ,? n ? 5 时, an 取最小值. 3? 3 ?
【反思归纳】利用二次函数知识解决数列问题时,必须注意其定义域 n 为正整数. 题型 2 已知数列通项公式,判断数列单调性及有界性 例 6.已知数列 中 ,判断数列 的单调性,并给以证明.

2

思路点拨:选择数列中任意相邻两项作差比较即可.

解析:∵



∴ ∴数列 是递增数列.





总结升华:数列也是函数,可以用证明函数的单调性的方法来证明.

【变式 1】数列

中:

,





(1)写出它的前五项,并归纳出通项公式; (2)判断它的单调性. 【答案】 (1) , , , , ,∴ ;

(2)方法一:∵
8

,∴ 数列

是递减数列.

方法二:∵函数



上单调递减,∴ 数列

是递减数列.

【反思归纳】数列是特殊的函数,判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列. 巩固练习 一、选择题 1.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-1,则 a4 等于 A.7 C.9 B.8 D.17 ( )

解析:∵Sn=n2-1,∴a4=S4-S3=16-1-(9-1)=7. 答案:A 2.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是 A.107 1 C.108 8 解析:an=-2n2+29n+3=-2(n2- 29 2 292 =-2(n- ) +3+ . 4 8 当 n=7 时,an 最大且等于 108. 答案:B 1 3.在数列{an}中,a1= ,对所有 n∈N*都有 a1a2?an=n2,则 a3+a5 等于 ( 2 A. C. 31 15 25 16
2

(

)

B.108 D.109 29 n)+3 2

)

B. D.

25 9 61 16

{a1a2?an=n 解析:
答案:D

a1a2?an+1=(n+1)2 ?an+1=(

n+1 2 9 25 61 ) ?a3= , a5= , ∴a3+a5= . n 4 16 16

4.(2010·湖北黄冈质检)已知数列{an}的通项公式 an=n2+kn+2,若对于 n∈N*,都有

an+1>an 成立,则实数 k 的取值范围是
A.k>0 C.k>-2
9

( B.k>-1 D.k>-3

)

解析:∵an+1>an,∴an+1-an>0. 又 an=n +kn+2, ∴(n+1)2+k(n+1)+2-(n2+kn+2)>0. ∴k>-2n-1.又-2n-1(n∈N*)的最大值为-3, ∴k>-3. 答案:D 5.(2009·江西中学一模)数列{an}中,a1=1,a2=2,当 n∈N*时,an+2 等于 anan+1 的个位 数,若数列{an}的前 k 项和为 243,则 k 等于 A.61 C.63 解析:∵a1=1,a2=2, ∴a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,?. ∴数列{an}是从第 2 项起周期为 6 的数列,并且 a2+a3+a4+a5+a6+a7=24. 又 Sk=243,∴k=62. 答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn= 解析:∵Sn= 1 答案: 24 7. (2010·青岛模拟)数列{an}满足: a1=2, an=1- 解析:∵数列{an}满足 a1=2,an=1- 1 1 B.62 D.64 ( )
2

n+1 ,则 a5+a6=__________. n+2

n+1 6+1 4+1 1 ,∴a5+a6=S6-S4= - = . n+2 6+2 4+2 24

an-1

(n=2,3,4, ?), 则 a4=________;

1 1 ,∴a2=1- = ,a3=1-2=-1,a4=1+1=2; an-1 2 2 (1) Sn=2n2-3n (2) Sn= 3n-2

8 下面各数列的前 n 项和 Sn 的公式,求{an}的通项公式. 解: (1) a1 ? S1 ? ?1, 当 n≥2 时, an ? S n ? S n?1 ? 4n ? 5 由于 a1 也适合此等式,所以 an ? 4n ? 5 (2) a1 ? S1 ? ?1, 当 n≥2 时,

an ? S n ? S n?1 ? 2 ? 3n?1

n ?1 ? 1 ? an ? ? n ?1 n?2 ?2 ? 3
10

作业 1.下列解析式中不 是数列 1, ?1,1, ?1,1 . A. an ? (?1)n B. an ? (?1)n?1 ,的通项公式的是( )

C. an ? (?1)n?1

D. an ? 1,n为奇数 ?1,n为偶数 ) D. an ? 3n ? 3 )项.

?

2.数列 2,5, 的一个通项公式是( 2 2,11 , A. an ? 3n ? 3 B. an ? 3n ?1

C. an ? 3n ? 1

3.已知数列 ?an ? , an ? A. 9 B. 10

1 1 是这个数列的第( (n ? N ? ) ,那么 120 n(n ? 2)

C. 11

D. 12 )

4.数列 ?an ? , an ? f (n) 是一个函数,则它的定义域为( A. 非负整数集 C. 正整数集或其子集 B. 正整数集 D. 正整数集或 ?1,2,3,4,

, n?
) D. 第二项或第三项 )

5.已知数列 ?an ? , an ? 2n2 ?10n ? 3 ,它的最小项是( A. 第一项 B. 第二项 C. 第三项

6.已知数列 ?an ? , a1 ? 3 , a2 ? 6 ,且 an?2 ? an?1 ? an ,则数列的第五项为( A. 6 二.填空题 7.已知数列 ?an ? , an ? kn ? 5, 且a8 ? 11 ,则 a17 ? 8.已知 f ( x) ? log2 ( x2 ? 7) , an ? f (n) ,则 ?an ? 的第五项为 9.数列 15 , 24 , 35 , 48 , 63 ,
2 5 10 17 26 , 的一个通项公式为

B. ?3

C. ?12

D. ?6

. . . .

10.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?2 , an?1 ? 2 ? 2an ,则 a4 ?
1 ? an

三.解答题 11.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a10 ? 21 ,通项 an 是项数 n 的一次函数, ①求 ?an ? 的通项公式,并求 a2005 ; ②若 ?bn ? 是由 a2 , a4 , a6 , a8 ,

, 组成,试归纳 ?bn ? 的一个通项公式.

12.已知 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an?1 ? 2an ? 1 ,试写出该数列的前 5 项,并用观察法写出这个数列的 一个通项公式.

11

1.A

2.B

3.B

4.D

5.D

6.D

7.29

8.5

9. an ?

(n ? 3) 2 ? 1 n2 ? 1

10. ?

2 5

?k ? b ? 3 ?k ? 2 11.设 an ? kn ? b ,则 ? ,解得 ? ,∴ an ? 2n ? 1(n ? N ? ) ,∴ a2005 ? 4011 , ?10k ? b ? 21 ?b ? 1
又∵ a2 , a4 , a6 , a8 , 即为 5,9,13,17,?,∴ bn ? 4n ? 1 .

12. ∵ a1 ? 3 , an?1 ? 2an ? 1 ,∴ a2 ? 7 , a3 ? 15 , a4 ? 31, a5 ? 63 ,∴猜得 an ? 2n?1 ?1

12


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