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高中数学必修一教案§1.2.1函数的概念

时间:2014-07-31


课题:函数的概念
一.课题:1.2.1 函数的概念.(人教版 必修一). 二.教学目标 1.知识目标: 理解函数的概念,明确函数是两个变量之间的一种依赖关系;掌握求定义域、函数 值的方法;理解函数的三要素及符号 y ? f ( x) . 2.能力目标: 会求分式型和偶次根式型函数的定义域;通过给定的自变量 x 值,能求出函数值; 能利用函数的思想辩证法考虑实际问题. 3.情感目标: 通过学习函数概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学生学 习数学的兴趣和抽象概括能力;通过课堂活动培养学生团队意识,明确团队的力量依赖 于每一个人的智慧,揭示函数之间的依赖关系;在函数概念深化的过程中,体会数学形 成和发展的一般规律,由函数所揭示的因果关系,培养学生的辨证思想. 三.教材分析 1.教学重点:正确理解函数的概念. 2.教学难点:函数定义域和值域的求法以及用区间表示. 3.关键:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型 .高中阶段不仅把函数看成变量 之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言来刻画函数,函数的思想方法将贯穿于高 中数学课程的始终. 四.课型与教法 1.课型:讲授课. 2.教法:通过学生熟悉的函数知识引入课题,为概念学习创设情境,拉近未知与已知的 距离,通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁,使学生心理上得到认同,建立新 的认识结构. 五.教学过程 1.创设情景,揭示课题. 在初中我们已经学习过函数的概念, 并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系. 初中学过的函数的传统定义是什么?初中学过哪些函数?
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设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ,如果对于每一个 x 值, y 都有唯一的值与 它对应,那么就说 x 是自变量, y 是 x 的函数.并将自变量 x 取值范围的集合叫做函数的 定义域, 和自变量 x 的值对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合叫做函数的值域.这种用 变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过的函数:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等. 2.互动交流,研讨新知. (1)一枚炮弹发射后,经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高(指斜抛运动中物 体飞行轨迹最高点的高度)为 845 m ,且炮弹距地面的高度 h (单位 m )随时间 t (单位

s )变化的规律是 h ? 130t ? 5t 2 .
提出问题:你能得出炮弹飞行 5s 、10 s 、 20 s 时距地面多高吗?其中,时间 t 的变化 范围是什么?炮弹距离地面高度 h 的变化范围是什么?
5s 时距地面高度为 525 m , 10 s 时距地面高度为 800 m , 20 s 时距地面高度为 600 m ,

根据题意可知炮弹飞行时间 t 的变化范围是数集 A ? {t 0 ? t ? 26} ,炮弹距地面的高度 h 的变化范围是数集 B ? {h 0 ? h ? 845 }. 从问题的实际意义可知,对于数集 A 中的任意一个时间 t ,按照对应关系
h ? 130t ? 5t 2 ,在数集 B 中都有唯一确定的高度 h 和它对应,满足函数定义,应为函数,

发现解析式可以用来刻画函数. (2)近十几年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题.图 1 中的曲 线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从 1979 ~ 2001 年的变化情况.
S 30 26 25 25 20 15 10 5 O
1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001

t

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图1

提出问题: 观察分析图中曲线,时间 t 的变化范围是多少?臭氧层空洞面积 s 的变 化范围是多少?尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系. 根据图中曲线可知,时间 t 的变化范围是数集 A ? {t 1979? t ? 2001 } ,臭氧层空洞面 积 s 的变化范围是数集 B ? {S 0 ? S ? 26} . 引导学生看图启发,从图中明显得知,对于数集 A 中的每一个时刻 t 在数集 B 中都 有唯一确定的臭氧层空洞面积 s 与之对应,满足函数定义,也应为函数,发现图像也可 以来刻画函数. (3)国际上常用恩格尔系数(食物支出金额/总支出金额)反映一个国家人民生活 质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高 .表 1 ? 1 中恩格尔系数随时间(年)变化 的情况表明, “八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
时间(年) 城镇居民家庭 恩格尔系数 (%) 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

表1 ? 1 提出问题:恩格尔系数与时间(年)之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之 间的关系相似?如何用集合与对应的语言来描述这个关系?请仿照(1) (2)描述表中 恩格尔系数和时间(年)的关系. 根据上表,可知时间 t 的变化范围是数集 A ? {t 1991 ? t ? 2001, t ? N ?} ,恩格尔系数

y 的变化范围是数集 B ? {y 37.9 ? y ? 53.8} .
引导学生探讨交流发现,对于表格中的任意一个时间 t 都有唯一确定的恩格尔系数 与之对应,即在数集 A 中的任意一个时间 t 在数集 B 中都有唯一确定的恩格尔系数与之 对应,满足函数定义,应为函数,发现表格也可以用来刻画函数. 3.问题探讨,归纳概括. (1)以上三个实例有什么不同点和共同点? 归纳以上三个实例,可看出其不同点是:实例(1)是用解析式刻画变量之间的对 应关系,实例(2)是用图像刻画变量之间的对应关系,实例(3)是用表格刻画变量之 间的对应关系.
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其共同点是:①都有两个非空数集 A , B ;②两个数集之间都有一种确定的对应关 系; ③对于数集 A 中的每一个 x , 按照某种对应关系 f , 在数集 B 中都有唯一确定的 y 值 和它对应. 记作 f : A ? B . 引导学生思考:在三个实例中,大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间 的依赖关系,其中一个变量都是另一个变量的函数,你能否用集合与对应的语言来刻画 函数,抽象概括出函数的概念呢? (2)函数的概念. 一般地,设 A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y ? f ( x), x ? A . 其中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值,函数值的集合 { f ( x) x ? A} 叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (3)我们所熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分 别是什么?
① .一次函数 f ( x) ? ax ? b (a ? 0) :定义域 R, 值域 R; ② .反比例函 f ( x) ?

k (k ? 0) :定义域 ?x | x ? 0?, 值域 ?x | x ? 0?; x

③ .二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) :定义域 R,

? ? 4ac ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? a ? 0 值域:当 a ? 0 时, ? y | y ? ;当 时, y | y ? ? ? ?. 4a ? 4a ? ? ?
(4)设 a , b 是两个实数,而且 a ? b .我们规定:
① 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 [a, b] ; ② 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为 (a, b) ; ③ 满足不等式 a ? x ? b 或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间, 表示为 [a, b) ,

( a, b] .

这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点.
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定义
{x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b}

名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间

符号

数轴表示
? a ? a ? a ? a ? b ? b

[ a, b] ( a, b) [ a, b) ( a, b]

{x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b}

? b
? b

用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点. 实数集 R 可以用区间表示为 (??,??) , “ ? ”读作“无穷大” , “ ? ? ”读作“负无穷 大” , “ ? ? ”读作“正无穷大”. 我们可以把满足 x ? a ,x ? a ,x ? b ,x ? b 的实数集合分别表示为 [a,??) ,(a,??) ,
(??, b] , (??, b) .

定义域和值域可以用集合表示,也可以用区间表示. 4.质疑答辩,排难解惑. 例 1.已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? (1)求函数的定义域;
2 (2)求 f (?3) , f ( ) 的值; 3

1 , x?2

(3)当 a ? 0 时,求 f (a ) , f (a ? 1) 的值. 解: (1)定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域.使根式 x ? 3 有 意义的实数 x 的集合是 ?x x ? ?3? ,使分式 以,这个函数的定义域就是
1 有意义的实数 x 的集合是 ?x x ? ?2? .所 x?2

?x x ? ?3?? ?x x ? ?2?
? ?x x ? ?3 ,且 x ? ?2? .
(2) f (?3) ? ? 3 ? 3 ?
1 ? ?1 ; ?3? 2

2 2 1 3 33 f( )? ?3 ? ? ? . 2 3 3 3 ?2 8 3
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(3)因为 a ? 0 ,所以 f (a ) , f (a ? 1) 有意义.
f (a ) ? a ? 3 ? 1 ; a?2
1 1 ? a?2 ? . a ?1? 2 a ?1

f (a ? 1) ? a ? 1 ? 3 ?

由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域.由于值域 是由定义域和对应关系决定的, 所以, 如果两个函数的定义域相同, 对应关系完全一致, 我们就称两个函数相等. 例 2.下列函数中哪个与函数 y ? x 相等? (1) y ? ( x )2 ; (3) y ? x 2 ; (2) y ? 3 x 3 ; (4) y ?
x2 . x

解: (1) y ? ( x )2 ? x( x ? 0) ,这个函数与函数 y ? x( x ? R) 虽然对应关系相同,但是定 义域不相同.所以,这个函数与函数 y ? x( x ? R) 不相等. (2) y ? 3 x3 ? x( x ? R) ,这个函数与函数 y ? x( x ? R) 不仅对应关系相同,而且定义 域相同.所以,这个函数与函数 y ? x( x ? R) 相等.

? x, x ? 0, (3) y ? x 2 ? x ? ? 这个函数与函数 y ? x( x ? R) 的定义域都是实数集 R , ? x , x ? 0 . ?
但是当 x ? 0 时,它的对应关系与函数 y ? x( x ? R) 不相同 . 所以,这个函数与函数
y ? x( x ? R) 不相等.

(4) y ?

x2 的定义域是 ?x x ? 0?,与函数 y ? x( x ? R) 的对应关系相同但定义域不 x

相同.所以这个函数与函数 y ? x( x ? R) 不相等. 小结:函数的概念是一般地,设 A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关 系 f ,使对于集合 A 中任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那 么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数, 记作 y ? f ( x), x ? A .定义域和值域是

x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,
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函数值的集合 { f ( x) x ? A} 叫做函数的值域. 区间是①满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集 合叫做闭区间,表示为 [a, b] ;②满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示 为 (a, b) ;③满足不等式 a ? x ? b 或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,表示为
[ a, b) , ( a, b] .

5.布置作业. (1)举出生活中函数的例子(三个以上),并用集合与对应的语言来描述函数,同 时说出函数的定义域、对应关系和值域. (2)课本 P 19 习题 1、2、3 六.板书设计

课题:函数的概念 一、复习反思 二、实例分析、问题探讨 三、归纳概括 1.函数的概念 2.定义域和值域 3.区间 4 函数相等 四、课后作业

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