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2016(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法


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高中数学排列组合问题常用的解题方法
一、相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列. 例 1 五人并排站成一排,如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么 不同的排法种数有 种。 分析:把甲、乙视为一人,并且乙固定在甲的右边,则本题相当于 4 人
4 的全排列, A4 ? 24 种。

r />
二、相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把 规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端. 例2 七个人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同排法的 种数是 。
5 2 分析: 除甲乙外,其余 5 个排列数为 A5 种,再用甲乙去插 6 个空位有 A6

5 2 种,不同的排法种数是 A5 A6 ? 3600 种。

三、定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序, 可用缩小倍数的方法. 例 3 A、B、C、D、E 五个人并排站成一排,如果 B 必须站 A 的右边(A、 B 可不相邻),那么不同的排法种数有 。 分析:B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是 5 个元 1 5 ? 60 种。 素全排列数的一半,即 A5 2 四、标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再 排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 例 4 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里,每格 填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。 分析:先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方 格的对应数字填入其它三个方格, 又有三种方法; 第三步填余下的两个数字, 只有一种填法,共有 3×3×1=9 种填法。 五、有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,可用逐步下量分组法。 例 5 有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需 1 人承担,从 10 人中选出 4 人承担这三项任务,不同的选法总数有 。 分析: 先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务, 再从剩下的 8 人中选 1 人承 担乙项任务,第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有
2 1 1 C10 C8C7 ? 2520 种。

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六、多元问题分类法 元素多,取出的情况也有多种,可按结果要求,分成不相容的几类情况 分别计算,最后总计。 例 6 由数字 0,1,2,3,4,5 组成且没有重复数字的六位数,其中个 位数字小于十位数字的共有 个。 分析:按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有
5 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 个, A4 A5 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3 个,合并总计 300 个。

例 7 从 1,2,3,?100 这 100 个数中,任取两个数,使它们的乘积能 被 7 整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种? 分析: 被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时, 他们的乘积就能被 7 整除, 将 这 100 个 数 组 成 的 集 合 视 为 全 集 I, 能 被 7 整 除 的 数 的 集 合 记 做

A ? ?7,14, 21,

98? 共 有 14 个 元 素 , 不 能 被 7 整 除 的 数 组 成 的 集 合 记 做

A ? ?1, 2 , 3, 4 ,

,1 0 0 86 个元素;由此可知,从 A 中任取 2 个元素的取法有 ? 共有

2 1 1 ,从 A 中任取一个,又从 A 中任取一个共有 C14 ,两种情形共符合要求的 C14 C86

2 1 1 取法有 C14 ? C14 C86 ? 1295 种。

例 8 从 1,2,?100 这 100 个数中,任取两个数,使其和能被 4 整除 的取法(不计顺序)有多少种? 分析:将 I ? ?1, 2, 3

,100 ? 分成四个不相交的子集,能被 4 整除的数集 97? ,能被 4 除余 2 的数 99? ,易见这四个集合中

A ? ?4, 8,12,
集 C ? ?2,6,

100 ? ;能被 4 除余 1 的数集 B ? ?1,5,9, ,98? ,能被 4 除余 3 的数集 D ? ?3,7,11,

每一个有 25 个元素;从 A 中任取两个数符合要;从 B, D 中各取一个数也符合要 求;从 C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求
2 1 1 2 的取法共有 C25 种。 ? C25 C25 ? C25

七、交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式
n( A? B) ? n( A) ? n( B)? n( A? B。 )

例 9 从 6 名运动员中选出 4 个参加 4×100m 接力赛,如果甲不跑第一 棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同参赛方法? 分析:设全集Ⅰ={6 人中任取 4 人参赛的排列} ,A={甲第一棒的排 列} , B= {乙跑第四棒的排列} , 根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:

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n( Ⅰ) -n(A) - n(B) +n(A∩B) =P64 ? P53 ? P53 ? P42 =252( 种) .
八、定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置,可先排这个(几个)元素,再排其他 元素。 例 10 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照像留念,若老师不在两端, 则有不同的排法有_______ _种。
4 1 分析: 老师在中间三个位置上选一个有 A3 种, 4 名同学在其余 4 个位置上有 A4 1 4 种方法;所以共有 A3 A4 ? 72 种。

九、多排问题单排法 把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑,再分段处理。 例 11 6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法 种数是 。 分析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排
6 成一排,共 A6 ? 720 种。

例 12 8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素 要排在前排,某 1 个元素要排在后排,有多少种排法?
2 分析:看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A4 种,某 1 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有 A4 种,其余 5 个元素任排 5 个位置上 5 1 2 5 有 A5 种,故共有 A4 A4 A5 ? 5760 种排法。

十、 “至少”问题间接法 关于“至少”类型组合问题,用间接法较方便。 例 13 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取出 3 台, 其中至少要甲型和 乙型电视机各一台,则不同取法共有 种。 分析 1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种
3 3 3 型号的电视机,故不同的取法共有 C9 ? C4 ? C5 ? 70 种。

分析 2: 至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况: 甲型 1 台乙型 2 台;
2 1 1 2 甲型 2 台乙型 1 台;故不同的取法有 C5 C4 ? C5 C4 ? 70 种。

十一、选排问题先取后排法 从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定位置上,可用先 取后排法。 例 14 四个不同的球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个 空盒的放法共有_____ ___种
2 分析:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C4 种,再排:在

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3 2 3 四个盒中每次排 3 个有 A4 种,故共有 C4 A4 ? 144 种。

例 15 9 名乒乓球运动员,其中男 5 名,女 4 名,现在要进行混合双打 训练,有多少种不同分组法?
2 2 分析:先取男女运动员各 2 名,有 C52C4 种,这四名运动员混和双打练习有 A2

2 2 2 中排法,故共有 C5 C4 A2 ? 120 种。

十二、部分合条件问题排除法 在选取总数中,只有一部分合条件,可从总数中减去不合条件数,即为 所求。 例 16 以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。 分析:正方体 8 个顶点从中每次取四点,理论上可构成 C84 四面体,但 6 个表 面和 6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有

C84 ?12 ? 58 个。
例 17 四面体的顶点和各棱中点共 10 点,在其中取 4 个不共面的点,不同 的取法共有 种。
4 分析:10 个点中任取 4 个点共有 C10 种,其中四点共面的有三种情况:①在 4 4 四面体的四个面上,每面内四点共面的情况为 C6 ,四个面共有 4C6 个;②过空

间四边形各边中点的平行四边形共 3 个;③过棱上三点与对棱中点的三角形共 6
4 4 个;所以四点不共面的情况的种数是 C10 ? 4C6 ? 3 ? 6 ? 141 种。

十三、复杂排列组合问题构造模型法 例 18 马路上有编号为 1,2,3?9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关 掉相邻的二盏或三盏, 也不能关掉两端的两盏, 求满足条件的关灯方案有多少种? 分析: 把此问题当作一个排对模型,在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮
3 的灯 C5 种方法。所以满足条件的关灯方案有 10 种。

十四、利用对应思想转化法 例 19 圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个? 分析:因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内 接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的
4 10 个点可以确定多少个不同的四边形,显然有 C10 个,所以圆周上有 10 点,以 4 这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 C10 个。

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