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2016高三数学总复习2-5对数与对数函数 72张(人教A版)


第二章

函 数

第二章
第五节 对数与对数函数

基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

/> 基础梳理导学

重点难点

引领方向

重点:1.对数的概念、性质、运算法则、换底公式. 2.对数函数的概念、图象与性质. 难点:1.对数的换底公式. 2.对数函数图象、性质的应用. 3.简单对数方程、不等式的求解.

夯实基础 一、对数

稳固根基

1.由定义知:ab=N?b= logaN N>0).

(a>0,a≠1,

2.性质:(1)负数和零没有对数;(2)1的对数为 0 ; (3)底的对数为 1 . 3.恒等式: (1) = N ,(a>0,a≠1,N>0)

(2)logaab= b .

4.运算法则: (1)loga(MN)= M (2)loga = N

logaM+logaN ;


logaM-logaN

(3)logaNn= nlogaN ;

1 n logaN (4)loga N= n .
(其中M>0,N>0,a>0且a≠1,n∈N*)

logcb 5.换底公式:logab=log a(c,a>0且c,a≠1,b>0) c m 1 由换底公式得:logab=log a,loganbm= n logab.
b

另外:log10N=lgN,logeN=lnN(e=2.71828?)分别 叫做常用对数和自然对数.

二、对数函数的图象与性质
定义 y=logax(a>0,a≠1) (x>0)

图象

定义

y=logax(a>0,a≠1) (x>0) (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过点(1,0),即当x=1时,y=0.

性质

a>1 时,在(0,+∞)上是增函数; (4)当______ 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数. 当_________
x>1 a>1 0<a<1
y>0 ____

0<x<1
y<0 _____

_____ y<0

______ y>0

同底的指数函数与对数函数互为反函数,图象关于 直线y=x对称,单调性相同.

三、反函数的概念与性质 1.若函数y=f(x)的定义域为A,值域为B,对于B中 的每一个元素y0,在A中都有唯一的元素x0与之对应,则 函数y=f(x)存在反函数,记为y=f-1(x),且y=f-1(x)的定 义域、值域分别为y=f(x)的值域、定义域. 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0 且a≠1)互为反函数.

2.互为反函数的图象之间的关系
y=x 对称. (1)y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线_______ (b,a) 在y= (2)若点P(a,b)在y=f-1(x)的图象上,则P′_______

f(x)的图象上.
-1 a = f (b) . 若y=f(x)存在反函数y=f (x),则f(a)=b?_________

-1

疑难误区

点拨警示

1.忽视底数a>1与0<a<1时性质的区别及函数的定义域 致误. 2.只有一一对应的函数才存在反函数. 3.解答对数的运算及对数函数的问题,要时刻牢记对数 运算法则中的限制条件和对数函数的定义域.

思想方法技巧

一、转化的思想 指数式ab=N与对数式logaN=b(a>0且a≠1,N>0)可以互 化,在解决与指数式、对数式有关的问题时,利用指对互化 (或等式两端取同底的对数)结合换底公式常能起到事半功倍 的效果.

二、数形结合的思想 有关指数(或对数)与三角函数或(一次、二次函数、幂函 数)构成的方程解的个数讨论,不等式恒成立等问题,常通过 作出相应基本初等函数的图象,用数形结合法求解. 三、解题技巧 1.注意对数恒等式、换底公式及对数运算法则的灵活运 用及指对互化的应用.

2.(1)同底数的对数比较大小用单调性. (2)同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数 式. (3)作差或作商法 (4)利用中间量0、1比较. 3.对数函数图象在第一象限内底数越小,图象越靠近y 轴(逆时针底数依次变小),在直线x=1右侧,底大图低(区分x 轴上方与下方).

4.在对数运算中,常常先利用幂的运算把底数或真数进 行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再 运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底和指对 互化的运用.

考点典例讲练

对数的运算与性质

[例1] ________.

(文)(2011· 苏北四市二模)(lg2)2+lg2lg5+lg5=

分析:注意到lg2+lg5=1,可通过提取公因式产生lg2 +lg5求解.

解析:(lg2)2+lg2lg5+lg5=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5 =1.

答案:1

(理)(1)lg25+lg2· lg50+(lg2)2; (2)(log32+log92)· (log43+log83). 分析:(1)观察各数特点不难发现,25=52,50=2×52,又 lg2+lg5=1,故可利用此特点用对数的运算法则化简,也可 全部化为lg2(或lg5)的表达式,再化简. (2)由9=32,4=22,8=23可知,待求值的式中各项可用对数 的运算法和性质全部化为2和3的表示式,再化简或先用换底 公式变换后再化简.

解析:(1)原式=lg52+(1+lg5)lg2+(lg2)2=(lg2+lg5+ 1)lg2+2lg5=(1+1)lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.
?lg2 lg2? ?lg3 lg3? ? +lg8? (2)原式=?lg3+lg9?· lg4 ? ?? ? ?lg2 lg2 ? ? lg3 lg3 ? 3lg2 5lg3 5 ? ?= + =?lg3+2lg3?· · = . ? ? ?2lg2 3lg2? 2lg3 6lg2 4

(2012· 安徽文,3)(log29)· (log34)=( 1 A.4 C.2 1 B.2 D.4

)

解析:本题考查了对数的运算性质、换底公式等. (log29)(log34)=(log232)(log34)=2(log23)(log34) lg3 lg4 =2· lg2· lg3=4. n logmb 对数运算公式中,loga b = logab及logab= 经常用 m logma
m n

到,应理解掌握.
答案:D

对数函数的图象

[例2]

(文)已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则

ab=________.

? ?logab=1, 解析:由图象知? ? ?loga?b-2?=0,

得a=b=3,

所以ab=33=27.

答案:27

(理)(2011· 湖北六市联考)已知函数f(x)=loga(2x+b- 1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )

A.0<a 1<b<1


B.0<b<a 1<1


C.0<b 1<a<1


D.0<a 1<b 1<1
- -

分析:观察图形可见f(x)为增函数,-1<f(0)<0,y=0时 x>0,可依据以上信息结合解析式讨论.

解析:∵t=2x+b-1单调增,f(x)单调增,∴a>1. 由图知-1<f(0)<0,∴-1<logab<0, ∴a-1<b<1,故选A.

答案:A

(文)(2012· 济南市高三模拟)若loga2<0(a>0,且a≠1),则函 数f(x)=loga(x+1)的图象大致是( )

解析:由loga2<0,得0<a<1,所以f(x)=loga(x+1)的图象 为B.

答案:B

(理)函数y=lg|x-1|的图象是(

)

解析:由解析式可知,x=0或2时,y=0,排除B、D;x =-1时,函数有意义排除C,故选A.

答案:A

对数函数的单调性与最值

[例3]

(文)设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最 )

1 大值与最小值之差为 ,则a=( 2 A. 2 B.2

C.2 2 D.4

解析:因为a>1,所以f(x)=logax在区间[a,2a]上为增函 1 数,最大值为loga2a,最小值为logaa.因此loga2a-logaa= 2 , 1 即loga2= ,解得a=4. 2

答案:D

(理)设a>0且a≠1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大 1 值与最小值之差为2,则a等于( A. 2 1 B.2或 2 )

1 C.2 2 D.4或4 分析:∵a>1与0<a<1时,f(x)的单调性不同,∴最小值、 最大值也不同,故需分类讨论.

解析:当0<a<1时,f(x)在[a,2a]上单调递减,由题意得, 1 1 1 logaa-loga2a=2,∴loga2=-2,∴a=4. 当a>1时,∴f(x)=logax在[a,2a]上为增函数, 1 ∴loga2a-logaa= ,解得a=4,故选D. 2
答案:D

(2011· 江苏四市联考)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m、n满 足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则 m、n的值分别为( 1 A.2、2 2 C. 2 、 2 )

1 B.2、4 1 D.4、4

? ?log2x,x≥1 解析:f(x)=|log2x|=? ? ?-log2x,0<x<1



根据f(m)=f(n)及f(x)的单调性知,0<m<1,n>1, 又f(x)在[m2,n]上的最大值为2, 1 故f(m )=2,易得n=2,m=2.
2

答案:A

利用对数函数的单调性比较大小

[例4]

(文)设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p )

=loga(2a),则m,n,p的大小关系为( A.n>m>p B.m>p>n

C.m>n>p D.p>m>n

解析:由a>1得a2+1>2a>a-1>0, ∴loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1).

答案:B

(理)已知log 2 x1=logax2=loga+1x3>0,0<a<1,则x1、x2、x3
a

的大小关系是( A.x3<x2<x1 C.x1<x3<x2

) B.x2<x1<x3 D.x2<x3<x1

1 解析:取a= 满足条件,则 2 log4x1=log1 x2=log3 x3>0,画出图象后知选D.
2 2

答案:D

已知0<a<1,logam<logan<0,则( A.1<n<m C.m<n<1 B.1<m<n D.n<m<1

)

解析:由0<a<1得函数y=logax为减函数. 又由logam<logan<0=loga1,得m>n>1,故应选A.

答案:A

反函数的概念

[例5]

设函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1)的图象过点 ) D.3

(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b等于( A.6 B.5 C.4

分析:反函数的图象和原函数的图象关于直线y=x对 称.点P(a,b)在原函数y=f(x)的图象上?点P′(b,a)在反 函数y=f 1(x)的图象上.解答该题不需要求出反函数.


解析:由题意得, 于是a+b=4,选C.

? ?loga?b+2?=1, ? ? ?loga?b+8?=2,

解得a=3,b=1.

答案:C

点评:新课标对反函数要求很低,只要了解以下基本内 容即可: ①反函数的定义域和值域分别是原来函数的值域和定义 域. ②反函数的图象与原来函数的图象关于直线y=x对称, 即若点P(a,b)在反函数的图象上,则点P′(b,a)在原来函数 的图象上. ③由函数的定义知,只有一一对应的函数才存在反函 数.

函数y=lg(x-1)的反函数的图象为(

)

解析:解法1:∵函数y=lg(x-1)的图象过点(2,0),故反 函数图象过点(0,2),排除A、B、D,选C. 解法2:函数y=lg(x-1)的反函数为y=10x+1,故选C.

答案:C

对数方程与不等式

[例6]

(2011· 浙江省“百校联盟”交流联考卷)已知 )

0<a<1,loga(1-x)<logax则( A.0<x<1 1 B.x<2

1 1 C.0<x<2 D.2<x<1 分析:底数相同,真数不同,可利用对数函数y=logax 的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解.

解析:∵0<a<1时,y=logax为减函数, ?1-x>0, ? ∴原不等式化为?x>0, ?1-x>x, ? 1 解得0<x<2.

答案:C

x ?x>0?, ? ?log1 已知f(x)= ? 3 若f(m)>f(-m),则m的取 ? ?log3?-x? ?x<0?, 值范围是________.

解析:m>0时,由f(m)>f(-m)得,log1 m>log3m, 3 ∴log3m<0,∴0<m<1; 当m<0时,由f(m)>f(-m)得,log3(-m)>log1 (-m), 3 ∴log3(-m)>0,∴-m>1,∴m<-1. 综上知,m的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
答案:(-∞,-1)∪(0,1)

课堂巩固训练

一、选择题 1.(文)(2011· 北京西城一模)设a=log23,b=log43,c= 0.5,则( ) B.b<c<a

A.c<b<a

C.b<a<c D.c<a<b

[答案]

A

[解析]

a=log23,b=log43=log2

1 3,c= =log2 2 ,而 2

y=log2x在(0,+∞)上是增函数,所以a>b>c.

(理)设a=log32,b=ln2,c=5 A.a<b<c C.c<a<b B.b<c<a D.c<b<a



1 2

,则(

)

[答案]

C

[解析] 又c=5


ln2 a=log32= <ln2=b, ln3
1 2

1 1 = <2, 5 1 3= ,因此c<a<b. 2

a=log32>log3

2.若定义域为区间(-1,0)的函数f(x)=log2a(x+1),满足 f(x)>0,则a的取值范围是( 1 A.(0,2) 1 B.(0,2] )

1 C.( ,+∞) D.(0,+∞) 2

[答案]

A

[解析]

∵-1<x<0,∴0<x+1<1.由对数函数性质知,要

使f(x)=log2a(x+1)在(-1,0)上满足f(x)>0,则必有0<2a<1,即 1 0<a<2.

x-3 3.(文)为了得到函数y=ln 的图象,只需把函数y= e lnx的图象上所有的点( )

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
[答案] D

[解析]

x-3 由y=ln 得到y=ln(x-3)-1,由y=lnx图象 e

上所有点向右平移3个单位,得到y=ln(x-3)的图象,再向下 平移一个单位得到y=ln(x-3)-1的图象.故选D.

(理)(2011· 浙江杭州月考)已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx, h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的图象交点的横坐 标分别是x1、x2、x3,则x1、x2、x3的大小关系是( A.x2<x3<x1 C.x1<x2<x3
[答案] A

)

B.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1

[分析]

可依据在同一坐标系中,对数函数“底大图

低”的特性求解. [解析] 所示: 在同一坐标系中,作出三个函数的图象,如图

由图可知,x2<x3<x1.

二、解答题 4.已知函数f(x)=loga(3-ax). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范 围. (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为 减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不 存在,请说明理由.

[解析] a>0且a≠1,

(1)由题意,3-ax>0对一切x∈[0,2]恒成立,∵

∴g(x)=3-ax在[0,2]上是减函数,从而g(2)=3-2a>0得
? 3? 3 a< .∴a的取值范围为(0,1)∪?1,2?. 2 ? ?

(2)假设存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为 减函数,并且最大值为1. 由题设f(1)=1,即loga(3-a)=1,
? 3 ? 3 ∴a= ,此时f(x)=log3 ?3-2x?,当x=2时,函数f(x)没有 2 ? 2 ?

意义,故这样的实数a不存在.

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