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第一讲 期望方差的定义


第一讲

随机变量的数学期望和方差 P89 P98

在前面的课程中,我们讨论了随机变量及 其分布,如果知道了随机变量x的概率分布, 那么x的全部概率特征也就知道了

然而,在实际问题中,概率分布一般是 较难确定的. 而在一些实际应用中,人们并 不需要知道随机变量的一切概率性质,只要 知道它的某些数字特征就够了

>在这些数字特征中,最常用的是期望和方差

一 离散型随机变量的数学期望和方差
例1 设射击选手甲与乙在同样条件下进行射击其 命中环数是随机变量,分布表如下:
X 10 9 8 7 6 5 0 P 0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.05 0 Y 10 9 8 7 6 P 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 5 0 0.2 0.2

问: 如何评价甲和乙的技术? 下面从(一)平均命中环数和(二)从命中环数
的集中或离散程度角度进行分析

X 10 9 8 7 6 5 0 一 分析平均命中环数 P 0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.05 0

给甲100发子弹则 Y 10 甲命中总环数大约为:

9

8

7

6

5

0

P 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2

0.2 0.2

10 ? 50 ? 9? 20 ? 8?10 ? 7?10 ? 6? 5 ? 5? 5 ? 0 ? 0

? 885

平均每发命中环数估计为:
10 ? 50 ? 9 ? 20 ? 8 ?10 ? 7 ?10 ? 6 ? 5 ? 5 ? 5 ? 0 ? 0

? 10? 0.5 ? 9? 0.2 ? 8? 0.1 ? 7? 0.1? 6? 0.05 ? 5? 0.05 ? 0? 0 =8.85

100

称为随机变量X的数学期望 记为 EX =8.85 EY ? 10? 0.1 ? 9? 0.1 ? 8? 0.1 ? 7? 0.1 ? 6? 0.2 ? 5? 0.2 ? 0? 0.2 =5.6

评价: 因为 EX=8.85, EY=5.6 从平均命中环数看,甲的水平高于乙 这种反映随机变量取值平均的值恰好为 随机变 量的一切可能取值与相应概率乘积的和

二 从命中环数的集中或离散程度角度考虑 请看下列散点图

图(1) 图(1)比较集中,图(2)比较分散

图(2)

EX=8.85 请看下表:
偏离值
10-8.85 9-8.85 偏离值 (10 ? 8.85)2 (9 ? 8.85) 2 的平方 概率P 0.5

X 10

9

8

7

6

5

0

P 0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.05 0
8-8.85
(8 ? 8.85) 2

7-8.85
(7 ? 8.85) 2

6-8.85

5-8.85

0-8.85

2 (6 ? 8.85) 2 (5 ? 8.85) 2 (0 ? 8.85)

0.2

0.1

0.1

0.05

0.05

0

偏差平方的平均值为: DX= (10 ? 8.85)2 ? 0.5 ? (9 ? 8.85)2 ? 0.2 ? (8 ? 8.85)2 ? 0.1
2 ? (7 ? 8.85)2 ? 0.1? (6 ? 8.85)2 ? 0.05 ? (5 ? 8.85)2 ? 0.05? (5 ? 8.85) ? 0

=2.23 同理 DY=10.24 从偏差平方的平均值看:甲优于乙

二 离散型随机变量的数学期望和方差定义 P89 P98 设随机变量X概率分布表为
X
P

x1
p1

x2
p2

...
...

xk
pk

...
...

X数学期望(或均值)定义为:
EX=

x1 p1 ? x2 p2 +... ? xk pk +...

X方差定义为: DX= E ( x ? EX ) 2
2

+...? ( xk ? EX ) 2 pk+... ? ( x1 ? EX ) p1 ( x2 ? EX ) p2 ?
2

偏差的平方的平均值

例1 设x概率分布表为 求 E(x) D(x)

X P

0 0.2

1 0.4

2 0.4

解 EX ? 0 ? 0.2 ? 1? 0.4 ? 2? 0.4 ? 1.2

DX ? (0 ?1.2) ? 0.2? (1 ?1.2) ? 0.4 ? (2 ?1.2) ? 0.4
2 2 2

? 0.56

例2 设x概率分布表为 求 E(x) D(x)

X
P

0
q

1
p

(p+q=1)

解 EX ? 0 ? q ?1? p ? p

DX ? (0 ? p)2 ? q ? (1 ? p)2 ? p ? pq

例3 P90 按规定某车站每天8:00-9:00, 9:00-

10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随 机的,且相互独立,其规律为 到站 8:10 8:30 8:50 时刻 9:10 9:30 9:50 概率 1/6 3/6 2/6 旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望
解 X-候车时间

X 10 30 50 70 90 3 2 1 1 1 3 1 2 ? ? ? P 6 6 6 6 6 6 6 6

3 2 1 3 2 ? 27.22 EX ? 10 ? ? 30 ? ? 50 ? ? 70 ? ? 90 ? 6 6 36 36 36

例4 设有10个同种电子元件,其中2个废品。装配仪 器时,从这10个中任取1个,若是废品,扔掉后重取 1只,求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。 解:X的分布律为: X 0 2 1 即 8 2 8 2 1 P ? ? 10 10 9 10 9 4 8 1 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 5 45 45 X 0 4 P 5
2 9

1 8 45

2 1 45

例5 设一台机器一天内发生故障的概率为0.2,机器 发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障, 可获利10万元;发生一次故障获利5万元;发生2次故 障获利0元,发生3次或以上故障亏损2万元,求一周 内期望利润是多少? 解 X---一周5天内机器发生故障天数, X ~ B(5,0.2) Y----一周内所获利润 P{Y ? 10} ? P{X ? 0} ? 0.85 同理
Y pk ?2 0 5 10 0.057 0.205 0.410 0.328

EY ? 5.216

三 连续型随机变量的期望和方差定义 设连续型随机变量X概率密度函数为 X的数学期望(或均值)定义为:

P89 P98

? (x)

EX ? ?x?(x) dx ?
X的方差定义为:

?

??

DX ? (x-EX)2?(x) dx
??

?

??

例5 随机变量X的概率密度为 求 E(X) D(X) y 1
? ( x) ? 1
??

解 E ( X ) ? ? x? ( x)dx
??

??
?? ??

1 2 1? 1 xdx? x 0 0 2 2
2

1

0
?? ??

1

x

DX ? ? ( x ? EX ) ? ( x)dx ? ? ( x ? 0.5) 2 ? ( x)dx
1 1 31 ? ( x ? 0.5) dx ? ( x ? 0.5) ? 0 0 12 3

?

1

2