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增长率问题的“三类型”

时间:2014-12-29


增长率问题“三类型”
增长率问题是一元二次方程实际应用的一类重要题型, 以当前的社会热点为 背景, 对增长率问题进行考查是中考命题的显著特点。下面就这类问题的三种类 型举例予以说明。 一、平均增长率问题 例1 某省为解决农村饮用水问题,省财政部门对各市的农村饮用水的“改水 工程”予以一定比例的补助。2010 年,A 市在省财政补助的基础上投入 600 万元用于“改水工程”计划以后每年以相同的增长率投资,2012 年 该市投资“改水工程”1176 万元,求 A 市投资“改水工程”的年平均增 长率。 分析:设 A 市投资“改水工程”的年平均增长率是 x,因为 2010 年 A 市投入 600 2 万元,所以 2011 年该市投资 600(1+x)万元,2012 年该市投资 600(1+x) 万 元。根据 2012 年该市投资“改水工程”1176 万元列方程求解。 解:设 A 市投资“改水工程”的年平均增长率是 x,则 600(1+x)2=1176 解得:x1=0.4,x2= -2.4(不合题意,舍去)。 故 A 市投资“改水工程”的年平均增长率是 40%. 温馨提示: 一般地,若增长前的量为 a,平均增长率为 x,经过连续两次增长后的量为 b,则有公式 a(1+x)2=b,其中 a<b。对于平均增长率问题,可直接运用公式求 解。另外,由于增长率不能为负数,若方程的解小于 0,必须舍去。 二、平均降低率问题 例 2 为解决群众看病贵问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为 256 元,设平均每次降价的百分率为 x,则 下面所列方程正确的是( ) 2 A.289(1-x) =256 B.256(1-x)2=289 C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 分析:本题为平均降低率问题。题目已设平均降低率为 x,经过第一次降价后 的价格为 289(1-x)元,第二次降价后的价格为 289(1-x) (1-x)=289(1-x) 2 2 元,由题意可列方程得:289(1-x) =256 解:A 温馨提示: 一般地,若降价前的量为 a,平均降价率为 x,经过连续两次降价后的量为 b, 则有公式 a(1-x)2=b,其中 a>b。解决降低率问题时,可以直接运用此公式求 解,但要注意降低率不能大于 1. 二、累计增长率问题 例 3 为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋” ,某市加快了廉租房的建 设力度。2011 年市政府共投资 2 亿元人民币建设了廉租房,预计到 2013 年底三 年累计投资 9.5 亿元人民币建设廉租房,若在两年内每年投资的增长率相同,求 每年是政府投资的增长率。 分析:本题为累计增长率问题,可设平均每年是政府投资的增长率 x,因为增长 前的量为 2 亿元,所以 2012 年市政府共投资 2(1+x)亿元,2013 年市政府共投 资 2(1+x)2 亿元。根据 2013 年底三年累计投资 9.5 亿元即可列出方程。

解:设平均每年是政府投资的增长率 x,根据题意得: 2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5 解得:x1=0.5,x2= -3.5(舍去) 所以平均每年是政府投资的增长率 50%. 温馨提示:一般地,若增长前的量为 a,平均增长率为 x,三次增长后的数量之 和为 b,则有公式 a+a(1+x)+a(1+x)2=b,其中 a<b。


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