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2014年高二数学2-3考试题(2)


2014 年高二数学 2-3 考试题(2)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为 1-8 题,共 40 分, 第Ⅱ卷为 9-20 题,共 110 分,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P( A ? B)

? P( A) ? P( B)

P(K2≥k0) k0

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

第Ⅰ卷 (选择题共 40 分)
一.选择题:本大题共 8 小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的. 1.设 P= 2 ,Q= 7 ? 3 ,R= 6 ? 2 ,那么 P、Q、R 的大小关系是( A.P >Q > R B.P > R > Q C.Q > P >R )

D.Q > R > P

2.把标号为 1,2,3,4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一个.事 件“甲分得 1 号球”与事件“乙分得 1 号球”是( ) A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.以上都不对 3.从 1,2,?,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数的概率是( ) A.

5 9
x y ? y x

B.

4 9
x2 ? 5 x ?4
2

C.

11 21


D.

10 21
?x

4.下列各式中,最小值等于 2 的是( A. B.

C. tan ? ?

1 tan ?

D. 2 ? 2
x

5.已知随机变量 ? 的分布列为

?
p

?2
1 12

?1

0

1

2

3

m

n

1 12


1 6

1 12

其中 m, n ? [0,1) ,且 E? ? A.

1 1 , 12 2

1 ,则 m, n 的值分别为( 6 1 1 1 1 B. , C. , 6 6 4 3

D.

1 1 , 3 4

6.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则不同 的选修方案共有( A.36 种 ) B.48 种 C.96 种 D.192 种

1

7.若 ? x cos ? ? 1? 的展开式中 x 2 的系数与 ? x ?
5

? ?

5? 3 ? 的展开式中 x 的系数相等,则 sin ? 4?

4

等于( A.

) B. ?

1 2
?

2 2
?

C. ?

3 2

D. ?

2 2
? ? ? ? 3 a ? kb ( k ? 0)

8.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,并满足关系 ka ? b ? 则 a 与 b 的夹角最大值是( A.

?

?

) C.

? 6

B.

? 3

2? 3

D.

5? 6

第Ⅱ卷 (非选择题共 110 分)
二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 设服从二项分布 B(n,p)的随机变量 ? 的期望和方差分别是 2.1 与 1.47,则二项分布的参 数 n= ,p= . 10.小于 50000 且含有两个 5,而其它数字不重复的五位数有
2 2 2

个(结果用数值表示) . .

11.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 2 , a ? 2b ? 3c ? 4 ,则 a 的取值范围是 12.某学校教师随机调查了高一年级一些学生文理分科的情况,具体数据如下表: 文理 性别 男生 女生 文科 12 20 理科 40 28

100(12 ? 28 ? 40 ? 20) 2 ? 3.96 ,判断学 52 ? 48 ? 32 ? 68 生选择文理科与性别有关系,则这种判断出错的可能性为_____________.
为了判断学生选择文理科是否与性别有关系,得到 k ?

1 1 1 1 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________. ? 10 ? 10 ? ?? ? 11 10 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?1 14.两封信随机投入甲、乙、丙三个空信箱,则甲信箱的信件数 ? 的方差 D ? 是 .
13.设 A ?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 解下列关于 x 的不等式: (1) x ? 7 ? 3x ? 4 ? 9 ? 0 ; 2

(2) x ? 2 ? a ? 2 ? 0(a ? R) .

16.(本题满分 12 分) 从 6 名男生和 4 名女生中选 5 人担任 5 门不同学科的课代表, 求符合下列条件的选法数: (1)女生必须少于男生; (2)某女生担任语文课代表; (3)某男生必须包含在内,但不担任英语课代表.

17.(本题满分 14 分)

1 已知 (3 x ? x 2 ) 2 n 的展开式的系数和比 (3 x ? 1) n 的展开式的系数和大 992, (2 x ? ) 2n 的 求 x
展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.

18.(本题满分 14 分) 设 a, b 均为正数,且 a ? b ? 1,

1 1 ? ? 4; a b 1 1 2011 (2)求证: 2010 ? 2010 ? 2 a b
(1)求证:

3

19.(本题满分 14 分) 甲、 丙三人进行射击运动, 乙、 甲每次击中目标的概率为 丙每次击中目标的概率为

1 1 , 乙每次击中目标的概率为 , 2 3

1 . 4

(1)若甲进行 3 次射击,求甲恰好击中目标 2 次的概率; (2)若乙进行 1 次射击,丙进行 2 次射击,记两人击中目标的次数为 ? ,求 ? 的概率分 布列及数学期望 E? ; (3)若由甲、乙、丙三人轮流对目标进行射击(每人只有一发子弹) ,目标被击中则停 止射击.请问三人的射击顺序如何编排才最节省子弹?试用数学方法说明你的结论.

20.(本题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n, Sn ) (n ? N* ) 均在函数 y ? x ? 2 的图象上. (1)求 an ;

3 ? 1 ? (2)证明: ? ?1 ? ? 2 ? an ? 1 ?

an ?1 2

?2.

参考答案
一、选择题答卷(每题 5 分,8 题共 40 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 D 6 C 7 B 8 B

二、填空题答卷(每题 5 分,4 题共 30 分) 4

9.

7,0.3 10.

1344 11. ? , 2 ? ?11 ?

?2

?

12. 5%

13.

A ?1

14.

4 9

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤
15. (本小题满分 12 分) 解:1)

?1?当x ? ?7时,则 ? x ? 7 ? 3x ? 4 ? 9 ? 0, 得x ? ?3, 所以x ? ?7
4 时,则x ? 7 ? 3 x ? 4 ? 9 ? 0, 得x ? 1, 所以 ? 7 ? x ? 1 3 4 3 3 ? 3?当x ? 时,则x ? 7 ? 3x ? 4 ? 9 ? 0, 得x ? , 所以x ? 3 2 2 3 综上, 原不等式的解集为{x | x ? 1或x ? } 2

? 2 ?当 ? 7 ? x ?

2)

原不等式可化为 x ? 2 ? 2 ? a,

?1? 若a ? 2, 则2 ? a ? 0, 原不等式的解集为R; ? 2 ? 若a ? 2, 则2 ? a ? 0, 原不等式的解集为{x | x ? 4 ? a或x ? a}
16 (本小题满分 12 分) 解:1、女生少于男生,则女生可不选,选 1 或选 2 人,则选法有
4 (C0 C5 ? C1 C6 +C2C3 )A5 ? 22320 4 6 4 4 6 5

2、某女生担任语文课代表,还需 4 人担任 4 门课代表,有 C9 A 4 ? 3024 种
4 4

3、除某男生外,还需 4 人,再将某男生先安排,则有 C9 C4 A 4 ? 12096 种
4 1 4

17 (本小题满分 14 分) 解:由题意 2 2 n ? 2 n ? 992 ,解得 n ? 5 。

1 ① (2 x ? )10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, x 1 5 即 T6 ? T5?1 ? C10 ? (2 x) 5 ? (? ) 5 ? ?8064 。 x
②设第 r ? 1项的系数的绝对值最大,

1 r r 则 Tr ?1 ? C10 ? (2 x)10?r ? (? ) r ? (?1) r ? C10 ? 210?r ? x10?2r x
r r r r ?C10 ? 210? r ? C10?1 ? 210? r ?1 ?C10 ? 2C10?1 ?11 ? r ? 2r ? ? ∴? r ,得 ? r ,即 ? 10? r r ?1 10? r ?1 r ?1 ?C10 ? 2 ?2C10 ? C10 ? C10 ? 2 ?2(r ? 1) ? 10 ? r ? ?



8 11 ? r ? ,∴ r ? 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项。即 3 3

5

1 3 T4 ? C10 (2 x) 7 (? ) 3 ? ?15360 x 4 。 x
18 (本小题满分 14) (I)证明:

1 1 a?b a?b b a b a ? ? ? ? 2? ? ? 2?2 ? ? 4 a b a b a b a b

1 1 a?b 1 a?b 2 1 1 , ab ? ( 而 则 又 则 ?4, ? ? ? ) , ab ? , a, b, 均为正数, 4 ab a b ab ab 2 1 1 从而 ? ? 4 a b
或由 ( II )

1 a
2010

?

1 b
2010

? 1 ? ?2 ? ? ? ab ?

2010

? 1 ? ? 2? ? ? ab ?

1005

,而由(I)证得

1 ?4 , 因 此 ab

1 a
2010

?

1 b
2010

? 22011 ;

19 (本小题满分 14) 解:(1)设“甲进行 3 次射击,求甲恰好击中目标 2 次”为事件 A,则

?1? 3 P ( A) ? C ? ? ? ? ?2? 8
2 3

3

(2)设“乙射击 1 次命中”为事件 B,“丙射击 1 次命中”为事件 C, ? 可能的取值为 0,1,2,3,故

2 3 3 3 ? ? ? 3 4 4 8 P (? ? 1) ? P ( B ) P (C ) P(C ) ? C1 P( B) P(C ) P(C ) 2 P (? ? 0) ? P( B) P(C ) P(C ) ? 1 3 3 2 1 3 7 ? ? ? ? 2? ? ? ? 3 4 4 3 4 4 16 1 P (? ? 2) ? C 2 P ( B ) P (C ) P (C ) ? P( B) P(C ) P(C ) 1 1 3 2 1 1 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? 3 4 4 3 4 4 6 1 1 1 1 P (? ? 3) ? P ( B ) P (C ) P(C ) ? ? ? ? 3 4 4 48
从而 ? 的分布列为

?
p

0

1

2

3

3 8

7 16

1 6

1 48

3 7 1 1 5 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ; 8 16 6 48 6
6

(3)甲、乙、丙由先而后进行射击时最省子弹。 甲、乙、丙由先而后进行射击时所用子弹的分布列为 ξ P 1 2 3

1 2

1 1 ? 2 3

1 2 1 ? ? 2 3 4

由此可求出此时所耗子弹数量的期望为: E(? ) ?

13 12

按其它顺序编排进行射击时,得出所耗子弹数量的期望值均高过此时, 因此甲、乙、丙由先而后进行射击时最省子弹。 20(本小题满分 14) 解:

? S ? 1) ? ? n, n ? 在y ? x ? 2的图象上, ? n ? ? S n ? n 2 ? 2n 当n ? 1时,an ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 1 当n ? 1时,a1 ? 3满足an ? 2n ? 1 综上,an ? 2n ? 1, n ? N * 2)由1)可知
n ? 1 ? 2 1 ? 1 ? 1? ? ?1 ? ? ? ? Cr r r ? ? n 2 n ? 2n ? r ?0 ? an ?1 ? n 1 n( n ? 1) ? ( n ? r ? 1) ?? r ? nr r ! r ?0 2 n an ?1

1 1 1 ?1? ? 0 ? 1 ?? ? n ? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 ?2?

n

?C
r ?0

n

r n

1 1 3 ? 1 ? C1 1 1 ? n r 2 n 2n 2
r an ?1 2

3 ? 1 ? ? ? ?1 ? ? 2 ? an ?1 ?

?2

7


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