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高三数学解析几何解题技巧


高三数学解析几何解题技巧
解析几何是现在高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点。能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶 的重要条件。在解决此类问题时的要点主要有:用运动观点看待条件;挖掘出其中隐含的几何量之间关系;用代数语 言(通常即是方程或不等式)翻译几何量之间关系;注意根据题设条件分类讨论。其中对能力的要求主要体现在如何 选择变量和合理的运算路径上。三种运算:

坐标、向量和运用几何性质推理,如何选择?依据的不是必然的逻辑推理, 而是根据经验获得的合情推理。 解析几何的学科特征是“算”,它的第一步是把几何条件转化为代数语言,转换的桥梁大致有三类:①与线段长度 有关,用距离公式;②与线段比有关的用向量、坐标之间关系转换;③与角度有关用斜率或用向量夹角公式处理。一 经转化,解析几何问题就转化为方程或函数问题。如讨论一元二次方程根的情况,解方程组,求代数式的最大值或最 小值等等。 常见翻译方法: 距离问题:距离公式 | AB |? 几个特殊转换技巧: ①若一条直线上有若干点,如 A, B, C , D 等,它们之间距离存在比例关系,如满足条件 | AB | ? | CD |?| BC |2 , 则可 根据它们分别在两坐标轴之间距离关系,利用平行直线分线段成比例之关系转换为坐标关系:

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

| xA ? xB | ? | xC ? xD |? ( xB ? xC )2 , 当然也可转化为向量关系再转换为坐标关系等。
②利用向量求距离。 ③角度问题:若条件表述为所目标角 A 是钝角、直角或锐角,则用向量转化为简洁,即 AB ? AC 的值分别是小于 零、等于零或大于零。一般角度问题转化为向量夹角公式即: cos? ? ④面积问题:主要是三角形面积公式:在 ?OAB 中(O 是原点)

a ?b | a |?| b |

S?

1 1 a?b?c ab sin C ? ahO ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ( p ? ) 2 2 2 1 1 ? | OA |2 | OB |2 ? | OA ? OB |2 ? | x A y B ? xB y A | 2 2
x2 y2 ? ? 1的 a 2 b2

⑤特殊地,若三角形中有某条线段是定值,则可把三角形分解为两个三角形来分别求面积。如椭圆 左右焦点分别为 F1 , F2 , 过左焦点直线交椭圆于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 S ?ABF2 ? S ?AF1F2 ? S ?BF1F2 ?

1 | F1 F2 | (| y1 | ? | y2 |) ? c | y1 ? y2 | 2

⑥三点共线问题:一般来说,可直接写出过其中两点的直线方程,再把另一点的坐标代入即可,但在具体问题中, 用两点之间斜率相等(有时是用向量共线,可不用讨论斜率存在情况)更合适。 最后,针对广东高考命题特点,请同学们记住一句话:心中有数,不如心中有图,心中有图,不如会用图。

【例题训练】 1. (本小题满分 14 分)
1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 称圆心在原点 O,半径为 a2 ? b2 的圆是椭圆 C 的“准圆”,若椭圆 C 的一个 a 2 b2 焦点为 F ( 2,0), 其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3.
给定椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”的方程; (2)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点, 过点 P 作直线 l1 , l2 , 使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一个交点, 且 l1 , l2 分别交其 “准圆”于点 M,N. ① 当 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1 , l2 的方程; ② 求证: MN 为定值. 2. (本小题共 14 分) 已知动圆过定点 (1,0), 且与直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆的圆心轨迹 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使 l 过点 (0,1), 并与轨迹 C 交于 P,Q 两点,且满足 OP ? OQ ? 0 ? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 3. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1, 椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA, 求直线 AB 的方程.

参考答案
x2 ? y 2 ? 1, 1.解:(1)由题意得 c ? 2, a ? 3 ,所以 b ? 1, 故椭圆方程为 3
准圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ............................................................................2 分

(0, 2) (2)① 当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,它的坐标为
由题意知直线 l1, l2 的斜率均存在时,设其斜率分别为 k1 , k 2 过点 P 的直线 l 的方程分别为 y ? kx ? 2

联立方程组 ? x 2

? y ? kx ? 2 ? ? ?3
2

, 消去 y 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 9 ? 0 ? y ?1

因为直线 l 与椭圆有且只有一个公共点,
2 所以 ? ? 36k ? 36 ? 0, 解得 k ? ?1, ..............................................4 分

不妨设 k1 ? 1, k2 ? ?1 所以 l1, l2 的方程分别为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2. .......…………………5 分 ② (i)当 l1 , l2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率, 因为 l1 与椭圆只有一个公共点,则其方程为 x ? 3 或 x ? ? 3.
2

当 l1 的方程为 x ? 3 时, l1 与准圆交于点 ( 3,1), ( 3,?1), 此时经过点 ( 3,1) (或 ( 3,?1) )且与椭圆只有一个公共点的直线是 y ? 1 (或 y ? ?1 ),即 l 2 为 y ? 1 (或 y ? ?1 ),显然直线 l1 , l2 垂直, 同理可证 l1 的方程为 x ? ? 3 时,直线 l1 , l2 垂直.........................................8 分
2 2 (ii) l1 , l2 都有斜率时,设点 P( x0 , y0 ), 其中 x0 ? y0 ? 4.

设经过点 P( x0 , y0 ) 与椭圆只有一个公共点的直线为 y ? t ( x ? x0 ) ? y0 ,

? x2 ? ? y2 ? 1 则? 3 消去 y,得 (1 ? 3t 2 ) x2 ? 6t ( y0 ? tx0 ) x ? 3( y0 ? tx0 )2 ? 3 ? 0 ? ? y ? tx ? ( y0 ? tx0 )

? ? [6t ( y0 ? tx0 )]2 ? 4(1 ? 3t 2 )[3( y0 ? tx0 )2 ? 3] ? 0
2 化简,得 (3 ? x0 )2 t 2 ? 2x0 y0t ? 1 ? y0 ? 0. ................……………10 分 2 2 2 因为 x0 ? 3) ? 0. ? y0 ? 4, 所以 (3 ? x0 )2 t 2 ? 2x0 y0t ? ( x0

设 l1 , l2 的斜率分别为 t1 , t 2 , 因为 l1 , l2 与椭圆都只有一个公共点,
2 所以 t1 , t2 满足上述方程 (3 ? x0 )2 t 2 ? 2x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0,

所以 t1t 2 ? ?1, 即 l1 与 l 2 互相垂直 综合(i)、(ii)知:

...............................……………12 分

因为 l1 , l2 经过点 P( x0 , y0 ), 又分别交其准圆于点 M , N , 且 l1 , l2 垂直, 所以线段 MN 为准圆 x ? y ? 4 的直径,故 | MN |? 4. ……………14 分
2 2

2. 解:(1) 如图,设 M 为动圆圆心, F (1,0) 过点 M 作直线 x ? ?1 的垂线垂足为 N, 由题意知: | MF |?| MN | ……………2 分

即动点 M 到定点 F 与到定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线, 其中 F (1,0) 为焦点, x ? ?1 为准线, ∴动圆圆心的轨迹方程为 y ? 4 x
2

…………5 分

(2) 若直线 l 的斜率不存在,则与抛物线 C 相切, 只有一个交点,不合题意;
3

若直线 l 的斜率为 0,则与抛物线 C 相交, 只有一个交点,不合题意;…………………………6 分 故设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 (k ? ? 0) 由?

? y ? kx ? 1 ? y ? 4x
2

得 ky2 ? 4 y ? 4 ? 0

………8 分

? ? 16 ? 16k ? 0,? k ? 1 且 k ? ? 0 …………………9 分
2 4 y12 y2 1 ? 2 ……11 分 设 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ), 则 y1 y2 ? , x1 x2 ? 16 k k

由 OP ? OQ ? 0 , 即 OP ? ( x1, y1 ),OQ ? ( x2 , y2 ), 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? 0, …………………………………12 分

1 4 1 ? 2 ? 0, 解得 k ? ? ? 1 ……………………13 分 k k 4 1 ∴直线 l 存在,其方程为 y ? ? x ? 1 即 x ? 4 y ? 4 ? 0 ………………14 分 4


3.解: (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为

y2 x2 ? ? 1 (a ? 2) , a2 4

其离心率为

a2 ? 4 3 3 ,故 ? , 则 a ? 4, 2 2 a
y2 x2 ? ? 1 .........................................................................5 分 16 4

故椭圆 C2 的方程为

(2) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 由 OB ? 2OA, 得 x2 ? 2 x1 , y2 ? 2 y1 , ….....................6 分
2 2 2 由点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,得 x1 ? 4 y12 ? 4, 4x2 ? y2 ? 16, .........8 分 2 即 x1 ? 4 y12 ? 4 ①

4x12 ? y12 ? 4 ②
2 2

................................................9 分

2 2 由①②得 5( x1 ? y1 ) ? 8, x1 ? y1 ?

8 , 5

代入①②得 x1 ? y1 ?
2 2

4 .......................................................................................10 分 5

得 x1 ? ?1. ...............................................................................................………12 分 1 直线 AB 的方程为 y ?

y

y1 ? 0 x ? ? x, 即 y ? x 或 y ? ? x. .....................……14 分 x1 ? 0

4


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