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2015高中数学 第1部分 4.2.2-4.2.3圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用课时达标检测 新人教A版必修2

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【三维设计】 2015 高中数学 第 1 部分 4.2.2-4.2.3 圆与圆的位置关 系 直线与圆的方程的应用课时达标检测 新人教 A 版必修 2
一、选择题 1. 已知 0<r< 2+1, 则两圆 x +y =r 与(x-1) +(y+1) =2 的位置关系是( A.外切 C.外离
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)

>B.相交 D.内含

解析:选 B 设圆(x-1) +(y+1) =2 的圆心为 O′, 则 O′(1,-1).圆 x +y =r 的圆心 O(0,0),两圆的圆心距离 dOO′= 1 +?-1? = 2.显然有|r- 2|< 2< 2+r.所以两圆相交. 2.半径长为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x +(y-3) =1 内切,则此圆的方程为( A.(x-4) +(y-6) =6 B.(x±4) +(y-6) =6 C.(x-4) +(y-6) =36 D.(x±4) +(y-6) =36 解析: 选 D ∵半径长为 6 的圆与 x 轴相切, 设圆心坐标为(a, b), 则 b=6.再由 a +3 =5,可以解得 a=±4,故所求圆的方程为(x±4) +(y-6) =36. 3.点 P 在圆 C1:x +y -8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 C2:x +y +4x+2y+1=0 上, 则|PQ|的最小值是( A.5 C.3 5-5
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)

) B.1 D.3 5+5
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解析:选 C 圆 C1:x +y -8x-4y+11=0,即(x-4) +(y-2) =9,圆心为 C1(4,2); 圆 C2:x +y +4x+2y+1=0,即(x+2) +(y+1) =4,圆心为 C2(-2,-1),两圆相离, |PQ|的最小值为|C1C2|-(r1+r2)=3 5-5. 4.一辆卡车宽 2.7 米,要经过一个半径为 4.5 米的半圆形隧道(双车道,不得违章), 则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( A.1.4 米 C.3.6 米 B.3.0 米 D.4.5 米
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)

解析:选 C 可画出示意图,如图所示,通过勾股定理解得 OD= OC -CD =3.6(米), 故选 C.

5. 过点 P(2,3)向圆 C: x +y =1 上作两条切线 PA, PB, 则弦 AB 所在的直线方程为(

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)

A.2x-3y-1=0 C.3x+2y-1=0

B.2x+3y-1=0 D.3x-2y-1=0
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解析:选 B 弦 AB 可以看作是以 PC 为直径的圆与圆 x +y =1 的交线,而以 PC 为直径

? 3?2 13 2 的圆的方程为(x-1) +?y- ? = .根据两圆的公共弦的求法,可得弦 AB 所在的直线方程 ? 2? 4 ? 3?2 13 2 2 2 为:(x-1) +?y- ? - -(x +y -1)=0,整理可得 2x+3y-1=0,故选 B. ? 2? 4
二、填空题 6.若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________. 1 解析:由已知,两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为 y= ,利用圆心(0,0)
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a

到直线的距离 d= 答案:1

?1? ?a? ? ?
1

= 2 -? 3? =1,解得 a=1.

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7.已知圆 C1:x +y -6x-7=0 与圆 C2:x +y -6y-27=0 相交于 A,B 两点,则线 段 AB 的中垂线方程为________. 解析:AB 的中垂线即为圆 C1、圆 C2 的连心线 C1C2,又 C1(3,0),C2(0,3),C1C2 的方程为

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x+y-3=0,即线段 AB 的中垂线方程为 x+y-3=0.
答案:x+y-3=0 8. 已知实数 x、 y 满足 x +y -4x+1=0, 则 的最大值为________, 最小值为________. 解析: 由 x +y -4x+1=0 得(x-2) +y =3,表示以(2,0)为圆心, 半径为 3的圆. 设
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y x

y |2k-0| =k, 即 y=kx, 当直线 y=kx 与圆相切时, 斜率 k 取最大值或最小值, 此时有 = 3, x k2+1
解得 k=± 3,故 的最大值为 3,最小值为- 3. 答案: 3 三、解答题 9.圆 O1 的方程为 x +(y+1) =4,圆 O2 的圆心 O2(2,1). (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程,并求内公切线方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 2,求圆 O2 的方程. 解:(1)由两圆外切,∴|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2( 2-1), 故圆 O2 的方程是(x-2) +(y-1) =12-8 2. 两圆的方程相减,即得两圆内公切线的方程为 x+y+1-2 2=0.
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y x

- 3

(2)设圆 O2 的方程为:(x-2) +(y-1) =r2. ∵圆 O1 的方程为 x +(y+1) =4,此两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线的 方程:4x+4y+r2-8=0.① 1 作 O1H⊥AB,则|AH|= |AB|= 2, 2 |O1H|= |O1A| -|AH|
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|r2-12| = 2 -? 2? = 2.又圆心(0,-1)到直线①的距离为 = 2, 4 2 得 r2=4 或 r2=20,故圆 O2 的方程为(x-2) +(y-1) =4 或(x-2) +(y-1) =20. 10.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公 路,从基地中心 O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点 A,接着向东再走 7 km 到达公路 上的点 B;从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选 一点 D,修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE,求 DE 的最短距离.
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2

解:以 O 为坐标原点,过 OB,OC 的直线分别为 x 轴和 y 轴,建立平 面直角坐标系,则圆 O 的方程为 x +y =1.因为点 B(8,0),C(0,8),所以 直线 BC 的方程为 + =1,即 x+y=8.当点 D 选在与直线 BC 平行的直线 8 8 |0+0-8| (距 BC 较近的一条)与圆的切点处时,DE 为最短距离.此时 DE 长的最小值为 -1 2 =(4 2-1)km.
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x y


...圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用

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