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导数结合洛必达法则巧解高考压轴题13.04.02


2013-4-2 印人:L

10 级数学

申请人:魏鹏飞

4×1000



g'(x)≠0; (3) lim

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第 2 步,由不等式

恒成立来求参数的取值范围问题,分析难度大,但 ○ 用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介: 法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1) lim f ? x ? ? 0
x ?a

f ?? x? ?l, x ?? g ? ? x ? g ? x? f ? x?
= lim

那么 lim
x ??

f ?? x? ?l。 x ?? g ? ? x ?
x ?a

法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件: (1) lim f ? x ? ? ? 及

lim g ? x ? ? ? ;
x?a

(2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0; (3) lim
x ?a

及 lim g ? x ? ? 0 ;
x ?a

f ?? x? ?l, g?? x?
= lim
x ?a

(2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0; (3) lim
x ?a

f ?? x? ?l, g?? x?
= lim
x ?a

那么 lim
x ?a

g ? x?

f ? x?

f ?? x? ?l。 g?? x?

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一, 在解题中 应注意: 1 将上面公式中的 x→a,x→∞换成 x→+∞,x→-∞, x ? ○

那么 lim
x ?a

g ? x?

f ? x?

f ?? x? ?l。 g?? x?
x ??

法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件: (1) lim f ? x ? ? 0 及

a

?



lim g ? x ? ? 0 ;
x ??

x ? a 洛必达法则也成立。
2 洛必达法则可处理 ○

?

(2) ?A ? 0 ,f(x) 和 g(x)在 ? ??, A? 与 ? A, ??? 上可导,且
-1-

0 ? 0 ? 0 , ,0 ? ? ,1 ,? ,0 ,? ? ? 型。 0 ?

3 在着手求极限以前,首先要检查是否满足 ○

0 ? ? , , 0 ? ? ,1 , 0 ?

a ? 0, 即 a ? 从 而 当 1? 2

1 时 , f ' (x ) ? 0 x ? ( 2

, 0 )而

? ,0
0

0

, ? ? ? 型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满

f(0) ? , 0
于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由 e x ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e? x ? 1 ? x( x ? 0) . 从而当 a ? 时,

足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适 用,应从另外途径求极限。 4 若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。 ○ 二.高考题处理 1.(2010 年全国新课标理)设函数 f ( x) ? e ? 1 ? x ? ax 。
x 2

1 2

f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) ,
) , f ' (x )? 0 故 当 x ? ( 0 , l na2 时 , 而 f ( 0 )? 0 ,于是当 x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 .
综合得 a 的取值范围为 ? ??, ? 原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则处理如下: 另解:(II)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,对任意实数 a,均在 f ( x) ? 0 ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 等价于 a ? e 令 g ? x? ? e
x

(1) 若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围
x x 原解: (1) a ? 0 时, f ( x) ? e ? 1 ? x , f '( x) ? e ?1 .

? ?

1? 2?

当 x ? (??, 0) 时, f '(x ) ? 0;当 x ? (0, ?? )时, f '(x ) ? 0 . 故 f ( x ) 在 (??, 0) 单调减少,在 (0, ??) 单调增加 (II) f '( x) ? e ? 1 ? 2ax
x

x

? x ?1

由(I)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故
x

x

2

x

? x ?1

f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,

x

2

(x>0), 则 g ?( x) ?

xe ? 2e ? x ? 2

x

x

x

3

,令

h ? x ? ? xe ? 2e ? x ? 2? x ? 0 ? , 则 h ? ? x ? ? xe ? e ? 1 ,
x x x

-2-

h ?? ? x ? ? xe ? 0 ,
x

由 于 直 线 x ? 2y ?3 ? 0 的 斜 率 为 ?

1 , 且 过 点 (1,1) , 故 2

知 h? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, h? ? x ? ? h? ? 0? ? 0 ;知 h ? x ? 在

? 0, ?? ? 上为增函数, h ? x? ? h ?0? ? 0 ; ? g ? ? x ? ? 0 , g(x) 在 ? 0, ?? ? 上为增函数。
由洛必达法则知, 故a ?

? f (1)? 1, ? ? 1 即 f '(1)? ? , ? ? 2 ?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 解得 a ? 1 , b ? 1 。

lim
x ?0?

e

x

? x ?1

x
? ?

2

1 ? lim e ? lim e ? , 2 x ?0? 2 x x ?0? 2

x

x

1 2

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

综上,知 a 的取值范围为 ? ??, ? 。

1? 2?

f ( x) ? (

2. (2011 年全国新课标理)已知函数,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 值范围。

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x
(k ? 1)( x 2 ? 1) ( x ? 0) , x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

ln x k ? ,求 k 的取 x ?1 x

(k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 则 h '( x) ? 。 x2
( i ) 设 k ? 0 , 由 h '( x) ?

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)2 知,当 x ?1 时, x2

原解: (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x
-3-

h '(x )? 0 ,h(x)递减。而 h(1) ? 0 故当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,

1 h( x ) ? 0 ; 可得 1 ? x2
1 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时, ( f x) ( + ) >0, 即( f x) > + . x ?1 x x ?1 x
当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 (ii)设 0<k<1.由于 (k ? 1)( x ? 1) ? 2 x = (k ? 1) x ? 2 x ? k ? 1
2 2



g

(x)=
2

g?? x?
再 令

?x ? 2?

? 1? ln x ? x 2 ? 1

2 x ln x ?1 1 ? x2
2

(

x ? 0, x ? 1

),



?1 ? x2 ?



h ? x ? ? ? x 2 ? 1? ln x ? x 2 ? 1 ( x ? 0, x ? 1 ) , 则

h ? ? ?x? 2

的图像开口向下,且 ? ? 4 ? 4(k ? 1)2 ? 0 ,对称轴 x=

1 ?1 当 1? k .

1 1 lx n ? x ? , x h?? ? x ? ? 2 ln x ? 1 ? 2 , 易 知 x x 1 h?? ? x ? ? 2 ln x ? 1 ? 2 在 ? 0, ?? ? 上为增函数,且 h?? ?1? ? 0 ;故 x
当 x ? (0,1) 时, h?? ? x ? ? 0 ,当 x ? (1,+ ? )时, h?? ? x ? ? 0 ;

1 ' x ? (1, )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0,故 h (x)>0,而 h(1) 1? k 1 1 =0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与 1? k 1? x2
题设矛盾。 (iii)设 k ? 1.此时 x ? 1 ? 2 x , (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ? 0 ? h
2
'

? h? ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数,在 ?1, ?? ? 上为增函数;故

h? ? x ? > h? ?1? =0
? h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数 ? h ?1? =0 ? 当 x ? (0,1) 时, h ? x ? ? 0 ,当 x? (1,+ ? )时, h ? x ? ? 0 ? 当 x ? (0,1) 时, g ? ? x ? ? 0 ,当 x? (1,+ ? )时, g ? ? x ? ? 0
? g ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数,在 ?1, ?? ? 上为增函数

(x)>0,而 h(1)=0,故当 x ?(1,+ ? )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]

1 1? x2

原解在处理第(II)时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下:

2 x ln x ? 1 恒成立。 另解: (II)由题设可得,当 x ? 0, x ? 1 时,k< 1 ? x2

? 由洛必达法则知

-4-

limg ? x ? ? 2lim 1 ? x
x ?1 x ?1

x ln x
2

? 1 ? 2lim
x ?1

1 ? ln x ? 1? ?1 ? 2? ? ? ? ?1 ? 0 ?2 x ? 2?
由洛必达法则有

? k ? 0 ,即 k 的取值范围为(- ? ,0]

lim f ( x) ? lim
x ?0 x ?0

规律总结:对恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量
分离较易理解,但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻 烦, 利用洛必达法则可以较好的处理它的最值, 是一种值得借鉴的 方法。
解:应用洛必达法则和导数

x ? sin x 1 ? cos x sin x cos x 1 ? lim ? lim ? lim ? , 3 2 x ?0 x ?0 6 x x ?0 x 3x 6 6 1 1 ,即有 f ( x ) ? . 6 6

即当 x ? 0 时, g ( x ) ?

故a ?

1 ? 3 时,不等式 sin x ? x ? ax 对于 x ? (0, ) 恒成立. 6 2

x ? sin x 当 x ? (0, ) 时,原不等式等价于 a ? . 2 x3 x ? sin x 3sin x ? x cos x ? 2 x 记 f ( x) ? ,则 f '( x) ? . 3 x x4
记 g ( x) ? 3sin x ? x cos x ? 2 x ,则 g '( x) ? 2cos x ? x sin x ? 2 . 因为 g ''( x) ? x cos x ? sin x ? cos x( x ? tan x) ,

?

通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: ① 可以分离变量; ②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性; ③出现“

0 ”型式子. 0

g '''( x) ? ? x sin x ? 0 ,所以 g ''( x) 在 (0, ) 上单调递减,且 g ''( x) ? 0 , 2
所以 g '( x ) 在 (0,

?

?
2

) 上单调递减,且 g '( x) ? 0 .因此 g ( x) 在 (0, ) 上单调递减, 2 g ( x) x ? sin x ? ? 0 ,因此 f ( x ) ? 在 (0, ) 上单调递减. 4 3 x x 2
-5-

?

自编:若不等式 sin x ? x ? ax 对于 x ? (0,
3

?
2

)

恒成立,求 a 的取值范围.

且 g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ?

-6-


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