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2014年山东省潍坊市高考数学一模试卷(理科)


2014 年山东省潍坊市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?东营一模)若复数 i 满足 z(1+i)=2i,则在复平面内 z 对应的点的坐标是( A. (1,1) B. (1,﹣1) C. (﹣1,1) D. (﹣1,﹣1)

>x

) )

2. (5 分) (2014?东营一模)设全集 U=R,集合 A={x|2 >1},B={x||x﹣2|≤3},则(?UA)∩ B 等于( A.[﹣1,0) B. (0,5] C.[﹣1,0] D.[0,5] 3. (5 分) (2014?东营一模)已知命题 p、q,“≦p 为真”是“p∧q 为假”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分) (2014?东营一模)若圆 C 经过(1,0) , (3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的方程为( A. (x﹣2) +(y±2) =3 B. D. 5. (5 分) (2014?东营一模)运行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 为( )
2 2



C. (x﹣2) +(y±2) =4

2

2

A.1007 B.1008 C.2013 D.2014 6. (5 分) (2014?东营一模)函数 y=a 与 y=sinax(a>0 且 a≠1)在同一直角坐标系下的图象可能是 (
|x|



A.

B.

C.

D.

7. (5 分) (2014?四川模拟)三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA⊥ 平面 ABC,AB⊥ BC, 又 SA=AB=BC=1,则球 O 的表面积为( )

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www.jyeoo.com A. B. C.3π D.12π (sinx﹣cosx) dx, 若 (1﹣kx)=a0+a1x+a2x +…+a8x , 则 a1+a2+a3+…+a8=
8 2 8

8. (5 分) (2014?东营一模) 设 k= ( ) A.﹣1 B.0

C.l D.256 ,设 f(x)=(x ﹣1) )
2

9. (5 分) (2014?东营一模)对任意实数 a,b 定义运算“?”:

?(4+x) ,若函数 y=f(x)+k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点,则 k 的取值范围是( A. (﹣2,1) B.[0,1] C.[﹣2,0) D.[﹣2,1)
2

10. (5 分) (2014?东营一模)如图,已知直线 l:y=k(x+1) (k>0)与抛物线 C:y =4x 相交于 A、B 两 点,且 A、B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M、N,若|AM|=2|BN|,则 k 的值是( )

A.

B.

C.

D.2

二、填空题:本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分) (2014?东营一模)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 _________

12. (5 分) (2014?东营一模)若 x、y 满足条件 13. (5 分) (2014?东营一模)若 ,则

,则 z=x+3y 的最大值为 _________ . 的最大值为 _________ .

14. (5 分) (2014?东营一模)如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分,其中一个数 字被污损,则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为 _________ .

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www.jyeoo.com 15. (5 分) (2014?四川模拟)已知函数 y=f(x)为奇函数,且对定义域内的任意 x 都有 f(1+x)=﹣f(1 ﹣x) .当 x∈(2,3)时,f(x)=log2(x﹣1) ,给出以下 4 个结论: ① 函数 y=f(x)的图象关于点(k,0) (k∈Z)成中心对称; ② 函数 y=|f(x)|是以 2 为周期的周期函数; ③ 当 x∈(﹣1,0)时,f(x)=﹣log2(1﹣x) ; ④ 函数 y=f(|x|)在(k,k+1) ( k∈Z)上单调递增. 其中所有正确结论的序号为 _________ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2014?东营一模)已知函数 f(x)=sinx+cosx. (Ⅰ )求函数 y=f(x)在 x∈[0,2π]上的单调递增区间; (Ⅱ )在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 =(a,b) , =(f(C) ,1)且 ∥ ,求 B. 17. (12 分) (2014?东营一模)如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,EA⊥ 平面 ABCD,AB∥ CD,AD=BC= AB, ∠ ABC= .

(Ⅰ )求证:△ BCE 为直角三角形; (Ⅱ )若 AE=AB,求 CE 与平面 ADE 所成角的正弦值.

18. (12 分) (2014?东营一模)某次数学测验共有 10 道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选 项是正确的,评分标准规定:每选对 1 道题得 5 分,不选或选错得 0 分.某考生每道题都选并能确定其中 有 6 道题能选对,其余 4 道题无法确定正确选项,但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项,另 2 道只 能排除一个错误选项,于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答,且各题 作答互不影响. (Ⅰ )求该考生本次测验选择题得 50 分的概率; (Ⅱ )求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望. 19. (12 分) (2014?东营一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an+n ﹣1,数列{bn}满足 3 ?bn+1=(n+1)an+1 ﹣nan,且 b1=3. (Ⅰ )求 an,bn; (Ⅱ )设 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn,并求满足 Tn<7 时 n 的最大值. 20. (13 分) (2014?东营一模)已知双曲线 C: 的焦距为 ,其一条渐近
2 n

线的倾斜角为 θ,且 (Ⅰ )求椭圆 E 的方程;

.以双曲线 C 的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为 E.

(Ⅱ ) 设点 A 是椭圆 E 的左顶点, P、 Q 为椭圆 E 上异于点 A 的两动点, 若直线 AP、 AQ 的斜率之积为 问直线 PQ 是否恒过定点?若恒过定点,求出该点坐标;若不恒过定点,说明理由.
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www.jyeoo.com 3 21. (14 分) (2014?东营一模)已知函数 f(x)=x ﹣x﹣ (I)求函数 y=f(x)的零点的个数; (Ⅱ )令 g(x)=



+lnx,若函数 y=g(x)在(0, )内有极值,求实数 a 的取值范围;

(Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,对任意 t∈(1,+∞) ,s∈(0,1) ,求证:g(t)﹣g(s)>e+2﹣ .

2014 年山东省潍坊市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?东营一模)若复数 i 满足 z(1+i)=2i,则在复平面内 z 对应的点的坐标是( ) A.(1,1) B.(1,﹣1) C.(﹣1,1) D.(﹣1,﹣1) 解答: 解:由 z(1+i)=2i,得 . ∴ 在复平面内 z 对应的点的坐标是(1,1) . 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (5 分) (2014?东营一模)设全集 U=R,集合 A={x|2 >1},B={x||x﹣2|≤3},则(?UA)∩ B 等于( A.[﹣1,0) B.(0,5] C.[﹣1,0] D.[0,5] 解答: 解:由 A 中的不等式变形得:2x>1=20,得到 x>0,即 A=(0,+∞) , ∵ 全集 U=R,∴ ?UA=(﹣∞,0], 由 B 中的不等式变形得:﹣3≤x﹣2≤3,即﹣1≤x≤5, ∴ B=[﹣1,5], 则(?UA)∩ B=[﹣1,0]. 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3. (5 分) (2014?东营一模)已知命题 p、q,“≦p 为真”是“p∧q 为假”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 解答: 解:若?p 为真,则 p 且假命题,则 p∧q 为假成立, 当 q 为假命题时,满足 p∧q 为假,但 p 真假不确定,∴ ¬p 为真不一定成立, ∴ “≦p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件. 故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用复合命题真假之间的关系是解决本题的关键,比较基础, 4. (5 分) (2014?东营一模)若圆 C 经过(1,0) , (3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的方程为( 2 A.(x﹣2) +(y±2) B. C.(x﹣2)2+(y±2) D.
2 x





=3

2

=4

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www.jyeoo.com 解答: 解:∵ 圆 C 经过(1,0) , (3,0)两点, ∴ 圆心在直线 x=2 上. 可设圆心 C(2,b) . 又∵ 圆 C 与 y 轴相切, ∴ 半径 r=2. ∴ 圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣b) =4. ∵ 圆 C 经过点(1,0) , ∴ (1﹣2) +b =4. 2 ∴ b =3. ∴ . ∴ 圆 C 的方程为 . 故选:D. 点评: 本题考查圆的标准方程,直线与圆相切的性质等知识,属于中档题. 5. (5 分) (2014?东营一模)运行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 为( )
2 2 2 2

A.1007

B.1008

C.2013


D.2014

解答: 解:由程序框图知:程序运行的功能是求 S=1﹣2+3﹣4+…+(﹣1)k 1?k, 当 n=2014 时,不满足条件 n<2014,程序运行终止,此时 k=2014, 2012 ∴ 输出的 S=1﹣2+3﹣4+…(﹣1) ?2013=1+1006=1007. 故选:A. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据计算变量 n 判断程序终止运行时的 k 值是解答本题的关键. 6. (5 分) (2014?东营一模)函数 y=a 与 y=sinax(a>0 且 a≠1)在同一直角坐标系下的图象可能是( A. B. C. D.
|x|



解答: 解:当 a>1 时,函数 y=a|x|与 y=sinax(a>0 且 a≠1)在同一直角坐标系下的图象为:

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当 0<a<1 时,函数 y=a 与 y=sinax(a>0 且 a≠1)在同一直角坐标系下的图象为:

|x|

比照后,发现 D 满足第一种情况, 故选 D 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,其中熟练掌握函数图象的对折变换及伸缩变换是解答的关键. 7. (5 分) (2014?四川模拟) 三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上, SA⊥ 平面 ABC, AB⊥ BC, 又 SA=AB=BC=1, 则球 O 的表面积为( ) A. B. C.3π D.12π

解答: 解:三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA⊥ 平面 ABC,AB⊥ BC,又 SA=AB=BC=1, 三棱锥扩展为正方体的外接球,外接球的直径就是正方体的对角线的长度, ∴ 球的半径 R=
2

=



球的表面积为:4πR =4 故选:C.

=3π.

点评: 本题考查三棱锥 S﹣ABC 的外接球的表面积,解题的关键是确定三棱锥 S﹣ABC 的外接球的球心与半径. 8. (5 分) (2014?东营一模)设 k= ( ) A.﹣1 解答: 解: (sinx﹣cosx)dx,若(1﹣kx) =a0+a1x+a2x +…+a8x ,则 a1+a2+a3+…+a8=
8 2 8

B.0 =

C .l =2,

D.256

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www.jyeoo.com 令 x=0 得,a0=1, 令 x=1 得,a0+a1+a2+a3+…+a8=1, ∴ a1+a2+a3+…+a8=0. 故选:B. 点评: 求二项展开式的系数和问题常用的方法是通过观察给二项式中 x 的赋值即赋值求系数和.

9. (5 分) (2014?东营一模)对任意实数 a,b 定义运算“?”: 若函数 y=f(x)+k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点,则 k 的取值范围是( A.(﹣2,1) B.[0,1] C.[﹣2,0) 解答: 解:当(x ﹣1)﹣(x+4)<1 时,f(x)=x ﹣1, (﹣2<x<3) , 2 当(x ﹣1)﹣(x+4)≥1 时,f(x)=x+4, (x≥3 或 x≤﹣2) , 函数 y=f(x)= 的图象如图所示:
2 2

,设 f(x)=(x ﹣1)?(4+x) , ) D.[﹣2,1)

2

由图象得:﹣2≤k<1,函数 y=f(x)与 y=﹣k 的图象有 3 个交点, 即函数 y=f(x)+k 的图象与 x 轴恰有三个公共点; 故答案选:D. 点评: 本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象,体现了化归与转化、数形结合的数学思想,属于基础题. 10. (5 分) (2014?东营一模)如图,已知直线 l:y=k(x+1) (k>0)与抛物线 C:y =4x 相交于 A、B 两点,且 A、 B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M、N,若|AM|=2|BN|,则 k 的值是( )
2

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www.jyeoo.com A.

B.

C.

D.2

解答: 解:设抛物线 C:y2=4x 的准线为 l:x=﹣1 直线 y=k(x+1) (k>0)恒过定点 P(﹣1,0) 如图过 A、B 分别作 AM⊥ l 于 M,BN⊥ l 于 N, 由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|, 点 B 为 AP 的中点、连接 OB, 则|OB|= |AF|, ∴ |OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 , ∴ 点 B 的坐标为 B( , 把 B( , 解得 k= 故选:C. ) ,

)代入直线 l:y=k(x+1) (k>0) , .

点评: 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法,考查抛物线的性质,是中档题,解题时要注意等价转化思想的合 理运用. 二、填空题:本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分) (2014?东营一模)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 12

解答: 解:由三视图知几何体为三棱柱,且三棱柱的高为 4, 底面是直角三角形,且直角三角形的两直角边长分别为 3,2, ∴ 几何体的体积 V= ×3×2×4=12.

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www.jyeoo.com 故答案为:12. 点评: 本题考查由三视图求几何体的体积,解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量.

12. (5 分) (2014?东营一模)若 x、y 满足条件

,则 z=x+3y 的最大值为 11 .

解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=x+3y,得 平移直线 ,由图象可知当 ,经过点 C 时,直线截距最大,此时 z 最大.





,即 A(2,3) ,

此时 z=x+3y=2+3×3=11, 故答案为:11.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 13. (5 分) (2014?东营一模)若 ,则 的最大值为 .

解答:

解:∵ ∴ =

,∴ tanα>0. = = = .

故答案为: 点评: 本题考查了三角函数基本关系式、基本不等式,属于基础题. 14. (5 分) (2014?东营一模)如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分,其中一个数字被污损, 则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为 .

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www.jyeoo.com 解答: 解:由茎叶图可得甲的 5 次得分分别为 18,19,20,21,22, 则甲的平均得分: (18+19+20+21+22)=20 设污损数字为 x 则乙的 5 次得分分别为 15,16,18,28, (20+x) 则乙的平均成绩: (15+16+18+28+20+x)=19.4+ , ∵ 0≤x≤9,x∈Z,当 x=3,4,5,6,7,8,9 时, 甲的平均得分≤乙的平均得分, ∴ 甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为 故答案为: . ;

点评: 本题考查了平均数与茎叶图以及古典概型概率计算公式问题,是基础题. 15. (5 分) (2014?四川模拟)已知函数 y=f(x)为奇函数,且对定义域内的任意 x 都有 f(1+x)=﹣f(1﹣x) .当 x∈(2,3)时,f(x)=log2(x﹣1) ,给出以下 4 个结论: ① 函数 y=f(x)的图象关于点(k,0) (k∈Z)成中心对称; ② 函数 y=|f(x)|是以 2 为周期的周期函数; ③ 当 x∈(﹣1,0)时,f(x)=﹣log2(1﹣x) ; ④ 函数 y=f(|x|)在(k,k+1) ( k∈Z)上单调递增. 其中所有正确结论的序号为 ① ② ③ . 解答: 解:令 x 取 x+1 代入 f(1+x)=﹣f(1﹣x)得,f(x+2)=﹣f(﹣x) ∵ 函数 y=f(x)为奇函数,∴ f(x+2)=f(x) ,则函数是周期为 2 的周期函数, 设 0<x<1,则 2<x+2<3, ∵ 当 x∈(2,3)时,f(x)=log2(x﹣1) , ∴ f(x)=f(x+2)=log2(x+1) , 设﹣1<x<﹣0,则 0<﹣x<1, 由 f(x)=﹣f(﹣x)得,f(x)=﹣log2(﹣x+1) , 根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象:

由上图得,函数 y=f(x)的图象关于点(k,0) (k∈Z)成中心对称; 且函数 y=|f(x)|的图象是将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴对称过去,其他不变, 则函数 y=|f(x)|是以 2 为周期的周期函数; 故① ② ③ 正确, 而函数 y=f(|x|)= ,则图象如下图:

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由图得,图象关于 y 轴对称,故 y=f(|x|)在(k,k+1) ( k∈Z)上不是单调递增的, 故④ 不正确, 故答案为:① ② ③ . 点评: 本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性的综合应用,以及对数函数的图象,考查了数形结合思想和转化能 力,难度较大. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2014?东营一模)已知函数 f(x)=sinx+cosx. (Ⅰ )求函数 y=f(x)在 x∈[0,2π]上的单调递增区间; (Ⅱ )在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 =(a,b) , =(f(C) ,1)且 ∥ ,求 B.

解答:

解: (Ⅰ )∵ f(x)=sinx+cosx= ∴ 由 得 当 k=0 时, k=1 时, ∵ x∈[0,2π], ∴ , ,

sin(x+

) , ,



, ;

∴ 函数 y=f(x)在 x∈[0,2π]上的单调递增区间为 (Ⅱ )∵ f(C)=sinC+cosC,且 ∥ , ∴ a﹣f(C)b=0, 即 a=b(sinC+cosC) , 由正弦定理得 sinA=sinB(sinC+cosC) , 即 sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC, 即 cosBsinC=sinBsinC, ∵ sinC≠0, ∴ cosB=sinB, 即 tanB=1,∴ B= .

点评: 本题主要考查三角函数的化简以及正弦定理的应用,综合考查学生的运算能力.
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www.jyeoo.com 17. (12 分) (2014?东营一模) 如图, 在四棱锥 E﹣ABCD 中, EA⊥ 平面 ABCD, AB∥ CD, AD=BC= AB, ∠ ABC= (Ⅰ )求证:△ BCE 为直角三角形; (Ⅱ )若 AE=AB,求 CE 与平面 ADE 所成角的正弦值. .

解答: (Ⅰ )证明:在△ ABC 中, ∵ BC= AB,∠ ABC= ∴ 由余弦定理,得 ∴ AC= BC,∴ AC +BC =AB ,∴ AC⊥ BC, 又∵ EA⊥ 平面 ABCD,∴ EA⊥ BC, 又∵ AC∩ AE=A, ∴ BC⊥ 平面 ACE,∴ BC⊥ CE, ∴ △ BCE 为直角三角形. (Ⅱ )由(Ⅰ )知:AC⊥ BC,AE⊥ 平面 ABCD, 以点 C 为坐标原点, 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,
2 2 2

, =3BC ,
2

建立空间直角坐标系, 设 BC=a,则 AE=AB=2a,AC= a, 如图 2,在等腰梯形 ABCD 中, 过点 C 作 CG⊥ AB 于点 G,则 GB= ∴ CD=AB=2GB=a, 过点 D 作 DH⊥ BC 于 H, 由(Ⅰ )知∠ DCH=60°, ∴ DH= ∴ D( ,CH= , ,﹣ 0) . ,0,0) ,B(0,a,0) ,E( , =(0,0,2a) , , =( ,0,2a) , ,0,2a) , ,

又∵ C(0,0,0)A( ∴

设平面 ADE 的一个法向量为 则 ,

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www.jyeoo.com ∴ ,∴ =( ) ,

设 CE 与平面 ADE 所成角为 θ, 则 sinθ=|cos< , >|= =| |= ,

∴ 直线 CE 与平面 ADE 所成角的正弦值为



点评: 本题考查三角形为直角三角形的证明,考要查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要注意向量法的 合理运用. 18. (12 分) (2014?东营一模)某次数学测验共有 10 道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确 的,评分标准规定:每选对 1 道题得 5 分,不选或选错得 0 分.某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对, 其余 4 道题无法确定正确选项,但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项,另 2 道只能排除一个错误选项,于是 该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答,且各题作答互不影响. (Ⅰ )求该考生本次测验选择题得 50 分的概率; (Ⅱ )求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望. 解答: 解: (Ⅰ )设选对一道“能排除 2 个选项的题目”为事件 A, 选对一道“能排除 1 个选项的题目”为事件 B, 则 P(A)= ,P(B)= , 该考生选择题得 50 分的概率为: P(A)P(A)P(B)P(B)= (Ⅱ )该考生所得分数 X=30,35,40,45,50, P(X=30)= P(X=35)= P(X=40)= P(X=45)= P(X=50)= ∴ X 的分布列为:
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=



= , = , + = , = , = ,

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www.jyeoo.com X P EX= 30 35 40 45 50

=



点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望,是中档题,在历年的高考中都是必考题 型. 19. (12 分) (2014?东营一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an+n ﹣1,数列{bn}满足 3 ?bn+1=(n+1)an+1﹣nan,且 b1=3. (Ⅰ )求 an,bn; (Ⅱ )设 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn,并求满足 Tn<7 时 n 的最大值. 解答: 解: (Ⅰ )由 ,得 (n≥2) , 两式相减得,an=an﹣an﹣1+2n﹣1, ∴ an﹣1=2n﹣1,则 an=2n+1. n 由 3 ?bn+1=(n+1)an+1﹣nan, n ∴ 3 ?bn+1=(n+1) (2n+3)﹣n(2n+1)=4n+3. ∴ .
2 n

∴ 当 n≥2 时, 由 b1=3 适合上式, ∴ ;



(Ⅱ )由(Ⅰ )知,





① .

② .

① ﹣② 得,

=



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www.jyeoo.com ∴ .

∵ ∴ Tn<Tn+1,即{Tn}为递增数列. 又 ,





∴ Tn<7 时,n 的最大值 3. 点评: 本题是数列与不等式的综合题,考查了数列递推式,训练了利用数列的前 n 项和求通项公式,考查了错位 相减法求数列的和,求解(Ⅱ )的关键是说明数列{Tn}为递增数列,是中高档题.

20. (13 分) (2014?东营一模)已知双曲线 C:

的焦距为

,其一条渐近线的倾斜

角为 θ,且

.以双曲线 C 的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为 E.

(Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )设点 A 是椭圆 E 的左顶点,P、Q 为椭圆 E 上异于点 A 的两动点,若直线 AP、AQ 的斜率之积为 线 PQ 是否恒过定点?若恒过定点,求出该点坐标;若不恒过定点,说明理由. 解答: 解: (Ⅰ )双曲线 的焦距 2c=2 ,则 c= ,∴ a +b =7,①
2 2

,问直

渐近线方程 y=
2 2

,由题知 tanθ= =

,②

由① ② 解得 a =4,b =3, ∴ 椭圆 E 的方程为 .

(Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ 的方程为 y=kx+m,
2 2 2



,消去 y 得: (3+4k )x +8kmx+4m ﹣12=0,

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 x1+x2=





又 A(﹣2,0) ,由题知 则(x1+2) (x2+2)+4y1y2=0,且 x1,x2≠﹣2, 则 x1?x2+2(x1+x2)+4+4(kx1+m) (kx2+m) =

=



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2 2

=0

则 m ﹣km﹣2k =0, ∴ (m﹣2k) (m+k)=0, ∴ m=2k 或 m=﹣k. 当 m=2k 时,直线 PQ 的方程为 y=kx+2k=k(x+2) . 此时直线 PQ 过定点(﹣2,0) ,显然不适合题意. 当 m=﹣k 时,直线 PQ 的方程为 y=kx﹣k=k(x﹣1) ,此时直线 PQ 过定点(1,0) . 当直线 PQ 的斜率不存在时,若直线 PQ 过定点(1,0) ,P、Q 点的坐标分别为 满足 . , ,

综上,直线 PQ 过定点(1,0) . 点评: 本题是圆锥曲线和直线位置关系的常见类型,都是通过设而不求的方法,联立方程组,再由题目中给定的 等式,寻求量与量之间的关系,从而求得定点.另外,直线的斜率是否存在也是需要讨论的情况.这在高 考中是常考题型. 21. (14 分) (2014?东营一模)已知函数 f(x)=x ﹣x﹣ (I)求函数 y=f(x)的零点的个数; (Ⅱ )令 g(x)=
3



+lnx,若函数 y=g(x)在(0, )内有极值,求实数 a 的取值范围;

(Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,对任意 t∈(1,+∞) ,s∈(0,1) ,求证:g(t)﹣g(s)>e+2﹣ .

解答: 解: (Ⅰ )∵ f(0)=0,∴ x=0 是 y=f(x)的一个零点, 当 x>0 时,f(x)=x(x ﹣1﹣
2

) ,设 φ(x)=



φ'(x)=2x+

>0,∴ φ(x)在(0,+∞)上单调递增.

又 φ(1)=﹣1<0,φ(2)=3﹣

>0,

故 φ(x)在(1,2)内有唯一零点, 因此 y=f(x)在(0,+∞)内有且仅有 2 个零点; (Ⅱ )g(x)= +lnx= +lnx=lnx+ ,

其定义域是(0,1)∪ (1,+∞) , 则 g'(x)=
2

=

=



设 h(x)=x ﹣(2+a)x+1,要使函数 y=g(x)在(0, )内有极值,则 h(x)=0 有两个不同的根 x1, x2 , ∴ △ =(2+a) ﹣4>0,得 a>0 或 a<﹣4,且一根在(0, )内,不妨设 0<x1< ,
2

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www.jyeoo.com 又 x1x2=1,∴ 0<x1< <e<x2, 由于 h(0)=1,则只需 h( )<0,即 解得 a>e+ ﹣2; (Ⅲ )由(Ⅱ )可知,当 x∈(1,x2)时,g'(x)<0,g(x)递减,x∈(x2,+∞)时,g'(x)>0,g(x) 递增, 故 y=g(x)在(1,+∞)内的最小值为 g(x2) ,即 t∈(1,+∞)时,g(t)≥g(x2) , 又当 x∈(0,x1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,x∈(x1,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 故 y=g(x)在(0,1)内的最大值为 g(x1) ,即对任意 s∈(0,1) ,g(s)≤g(x1) , 由(Ⅱ )可知 x1+x2=2+a,x1x2=1, 因此,g(t)﹣g(s)≥g(x2)﹣g(x1)=lnx2+ ,x2∈(e,+∞) , ﹣ +1<0,

=
2

= >0,

(x2>e) ,

设 k(x)=lnx +x﹣ =2lnx+x﹣ ,k'(x)= +1+ ∴ k(x)在(e,+∞)内单调递增,

故 k(x)>k(e)=2+e﹣ ,即 g(t)﹣g(s)>e+2﹣ . 点评: 本题考查利用导数研究函数的零点、极值、最值,考查转化思想,考查学生综合运用数学知识分析解决问 题的能力,综合性强,能力要求比较高.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123;sllwyn;maths;zhtiwu;清风慕竹;翔宇老师;qiss;刘长柏;whgcn; zlzhan;孙佑中;742048;gongjy;任老师;wyz123(排名不分先后)
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