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安徽省六安市霍邱中学2013届高三下学期第一次月考数学(理)试题


霍邱中学高三数学(理科)
一.选择题(每题 5 分,共 40 分,请把答案填在第 3 页表中) 1.设集合 A ? ? ,2?,则满足 A ? B ? ? ,2,3?的集合 B 的个数是( ) 1 1 ( A) 1 (B ) 3 (C ) 4 (D) 8 2 2 2.给出下列命题 :① ?x ? R? x ? x ;② ?x ? R? x ? x ; ③ 4 ? 3 ;

④“ x2 ? 1 ”的充要条件是“ x ? 1 ,或 x ? ?1 ”, 其中正确命题的个数是 ( )
( A) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D) 3

3. 设非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b , ,则 a 与 a ? b 的夹角为(
( A) 30° (B ) 60° (C ) 90° (D) 120°



4.已知等差数列 {an } 的前 20 项的和为 100,那么 a7 a14 的最大值为( ) ( A) 25 (B ) 50 (C ) 100 (D) 不存在 ? 5.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位长度,向上平移 1 个单位长度,所 4 得图象对应的函数解析式是(
( A) y ? 2cos2 x (B ) y ? cos 2 x

)
(C ) y ? ? cos 2 x (D) y ? ?2cos2 x

6.若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 2 ? 4x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内的

部分有交点,则 k 的取值范围是(
( A) 0 ? k ? 5 (B ) ? 5 ? k ? 0

)
(C ) 0 ? k ? 13 (D) 0 ? k ? 5

7.函数 f ( x) ? loga x ? b 是偶函数,且在区间 ?0 , ? ?? 上单调递减,则 f (b ? 2) 与

f (a ? 1) 的大小关系为( ) ( A) f (b ? 2) ? f (a ? 1) (B ) f (b ? 2) ? f (a ? 1) (C ) f (b ? 2) ? f (a ? 1) (D) 不能确定 8.一根竹竿长 2 米,竖直放在广场的水平地面上,在 t1 时刻测得它的影长为 4 米,在 t 2 时刻的影长为 1 米。这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子 是椭圆,问在 t1 、 t 2 这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率 之比为( ) ( A) 1:1 (B ) 2 :1 (C ) 3 :1 (D) 2:1

二.填空题(每题 5 分,共 30 分,请把答案填在第 3 页表中) ? ? 9.函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ) cos( 2 x ? ) 的最小正周期为 6 3 10.与 a ? (3, ? 4) 垂直的单位向量为______________

? y ? x, ? 11.已知 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ? ?1 ?

12. 已知当 x ? 4 时,f ( x) ? 2 x?1 , f (4 ? x) ? f (4 ? x) 恒成立, 且 则当 x ? 4 时,f (x) = 13.已知点 P ? 2, 2 ? 在曲线 y ? ax3 ? bx 上,如果该曲线在点 P 处切线的斜率为 9 , 那么 ab ?
3 ,此时函数 f ? x ? ? ax3 ? bx , x ? [ ? , 3] 的值域为 2

C1 B1 14.一个正方体形状的无盖铁桶 ABCD? A1 B1C1 D1 的 2 A1 D1 容积是 V ,里面装有体积为 V 的水,放在水平的 3 地面上(如图所示). 现以顶点 A 为支撑点,将铁 B 桶倾斜,当铁桶中的水刚好要从顶点 A1 处流出时, C 棱 AA 与地面所成角的余弦值为 A D 1 三.解答题(共 80 分) 15.某车间甲组 10 名工人,其中 4 名女工人,乙组 5 名工人,其中 3 名女工人, 现采用分层抽样方法,从甲乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核 (1) 求从甲乙两组各抽取的人数 (2) 求从甲组抽取的 2 人中恰有 1 名女工的概率 (3) 用 X 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 X 的分布列及数学期望

B C B 16. ?ABC 中, 、 、 为角 A 、 、 的对边, 在 已知 A 、 为锐角, cos 2 A ? 且 a b c

3 , 5

sin B ?

10 10 (1)求 A ? B 的值 (2)若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a 、 b 、 c 的值

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17. 如图①, 正三角形 ABC 边长 2,CD 为 AB 边上的高,E 、F 分别为 AC 、BC 中点,现将 ?ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B ,如图② (1)判断翻折后直线 AB 与面 DEF 的位置关系,并说明理由 (2)求二面角 B ? AC ? D 的余弦值 (3)求点 C 到面 DEF 的距离
[来源:学优高考网 GkStK]

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[

图 ①

图 ②

[

6 x2 y 2 18.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点的 a b 3 距离为 3 ,直线 l : y ? kx ? m 交椭圆于不同的两点 A , B
(Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求 ?AOB 面积的最大值 2

19.已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ? x2 ? ax, a ? 0 , 1 (Ⅰ)若 x ? 是函数 f (x) 的一个极值点,求 a ; 2 (Ⅱ)讨论函数 f (x) 的单调区间;
1 (Ⅲ) 若对于任意的 a ? [1, 2] , 不等式 f ? x ? ≤ m 在 [ , 1] 上恒成立, m 的 求 2 取值范围.

[来源:学优高考网 GkStK]

20.已知数列 ?an ? 和 ?bn ? , an ? n , bn ? 2n ,定义无穷数列 ?cn ? 如下: a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 ,…, an , bn ,…

(1) 写出这个数列 ?cn ? 的一个通项公式(不能用分段函数) (2) 指出 32 是数列 ?cn ? 中的第几项,并求数列 ?cn ? 中数值等于 32 的两项之间 (不包括这两项)的所有项的和 (3) 如果 c x ? c y ( x , y ? N ? ,且 x ? y ), 求函数 y ? f (x) 的解析式,并计算

c x?1 ? c x?3 ? ? ? c y (用 x 表示)

高三数学(理科)答案

1.C 9.

4 3 ,? ) 11.3 5 5 22 13.-3 [-2,18] 14. 11 15. 解: (1)甲组 2 人,乙组 1 人 C 1C 1 8 (2) 6 2 4 ? 15 C10 (3) X 可能取值为 0,1,2,3 C 2C1 2 P( X ? 0) ? 4 31 ? 2 C10 C5 25
10. ( , ) , (?

? 2

2.C

3.D

4.A

5.A

6.A

7.C

8.A 12. 2
7? x

4 3 5 5

P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ?
分布列为 X P
EX ? 8 5

1 1 1 2 1 C6 C4 C3 ? C4 C2 28 ? 2 1 75 C10 C5 1 1 1 2 1 C6 C4 C2 ? C6 C3 31 ? 2 1 75 C10 C5 2 1 C6 C 2 2 ? 2 1 C10 C5 15

0 2 25

1 28 75

2 31 75
[

3 2 15

16.解: (Ⅰ)? A 、 B 为锐角, sin B ?

10 3 10 ,? cos B ? 1 ? sin 2 b ? 10 10
3 , 5

2 又 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ?

? sin A ?

5 2 5 , cos A ? 1 ? sin 2 A ? , 5 5 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

? cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?

?0 ? A ? B ? ? ? A ? B ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ? 由正弦定理

?
4

?????????????6 分

3? 2 ,? sin C ? . 4 2
[来源:高[考∴试﹤题∴库 GkStK]

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b

Q a ? b ? 2 ? 1, ? 2b ? b ? 2 ?1 ,? b ? 1
17.解: (1)平行(证明略) (2)取 AE 中点 M,角 BMD 即所求,余弦值为
21 7 21 7

(3) VC ? DEF ? VE ?CDF ,可得点 C 到面 DEF 的距离为

?c 6 ? ? 18. 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ,解得 c ? 2 . ?a? 3 ? 2 2 2 由a ? b ? c ,得b=1. x2 2 ? 所求椭圆方程为 ? y ? 1. 3
(Ⅱ)由已知

m 1? k
2

?

3 3 , 可得 m 2 ? (k 2 ? 1) . 4 2

将y ? kx ? m 代入椭圆方程 ,
整理得(1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 .

? ? ? 6km ? ? 4 ?1 ? 3k 2 ?? 3m2 ? 3? ? 0 (?)
2

? x1 ? x2 ?
2

?6km 3m2 ? 3 , x1 ? x2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 )2 ? (1 ? k 2 )[

36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ] (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1 12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2 12k 2 12 12 ? 3? 4 ? 3? ? 3? ? 4 (k ? 0) 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k 1 3 当且仅当9k 2 ? 2 , 即k ? ? 时等号成立 . k 3 3 经检验,k ? ? 满足(*)式 . 3 当k ? 0时, ? 3 . AB
综上可知 AB max ? 2 ,

1 3 3 ?当 AB 最大时,?AOB的面积取最大值S ? ? 2 ? ? 2 2 2 .

19.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 因为 x ?

2ax2 ? (2 ? a 2 ) x ax ? 1

?????????????????2 分

1 1 2 是函数 f (x) 的一个极值点,所以 f ?( ) ? 0 ,得 a ? a ? 2 ? 0 . 2 2 因为 a ? 0 ,所以 a ? 2 . ????????????????????3 分 1 (Ⅱ)因为 f (x) 的定义域是 (? , ? ?) , a a2 ? 2 2ax ( x ? ) 2 2 2ax ? (2 ? a ) x 2a . ?( x) ? f ? ax ? 1 ax ? 1
(1) 当 a ?

2 时,列表

x
f ?(x) f (x)

1 ( ? , 0) a
+ 增
2

(0,

a2 ? 2 ) 2a
- 减

(

a2 ? 2 , ? ?) 2a
+ 增

1 a ?2 a2 ? 2 ( ? , 0) , ( , ? ?) 是增函数; f (x) 在 (0, ) 是减函数. f (x) 在 a 2a 2a
(2) 当 a ?

2 时, f ?( x) ?
2 时,列表

2 2 2 x2 , ? ?) 是增函数. ≥ 0 , f (x) 在 (? 2 2x ?1

(3) 当 0 ? a ?

x
f ?(x) f (x)
2

1 a2 ? 2 (? , ) a 2a
+ 增

(

a2 ? 2 , 0) 2a
- 减

(0, ? ?)
+ 增
2

1 a ?2 a ?2 ) , (0, ? ?) 是增函数; f (x) 在 ( , 0) 是减函数. ??9 分 f (x) 在 (? , a 2a 2a

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