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第一讲 集合、命题与充要条件(学生)

时间:2014-10-27


第一讲 集合、命题与充要条件 一、 公式及重要结论 1. ① 理解集合、子集、补集、交集的概念;② 了解空集和全集的意义;③ 了解属于、包含、相等关系的意义.掌 握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 2. 集合的元素具有无序性、互异性和确定性. 3. 元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 4. 对集合 A

, B, A
B ? ? 时,你是否注意到“极端”情况: A ? ? 或 B ? ? ;求集合的子集时是否注意到 ? 是任何

集合的子集、 ? 是任何非空集合的真子集. 5. 集合 {a1 , a2 , ???, an } 的子集个数共有 2n 个,真子集有 2 n ? 1 个,非空子集有 2 n ? 1 个,非空真子集有 2 n ? 2 个. 6. 包含关系: A
B? A? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ? ? (CU A) B ?U .

7. 德摩根公式:交的补等于补的并,即 CU ( A 8. 容斥原理: | A
B |?| A | ? | B | ? | A

B) ? CU A CU B ;并的补等于补的交,即 CU ( A ? B) ? CU A ? CU B

B | ( | A | 表示集合 A 的元素的个数).

9. 常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 或 对所有 x,成立 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 且 存在某 x,不成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 且 对任何 x,不成立 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有 (n ? 1) 个 至少有 (n ? 1) 个 或 存在某 x,成立

10. 命题的否定只否定结论:否命题是条件和结论都否定 11. 充要条件:(1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件;(2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 的必要条件; (3)充要条件:若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件.注:如果甲是乙的充分条件,则乙必是甲的必要条 件;反之亦然 12. 若 A ? B ,则 x ? A 是 x ? B 的充分条件 13. 反证法步骤:假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立 14. 原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假;一个命题的四种形式中,一定有偶数个真命题;偶 数个假命题 二、 基础练习 1. (2010 年 1 月浦东新区)已知集合 A ? {x || x |? 1} , B ? {x | ?2 ? x ? 0} ,则 A B ? _______. 2. (2010 年 1 月长宁)已知全集 U 为实数集, A ? {x | x2 ? 2 x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A CU B ? _______. 3. (2010 年 1 月普陀)集合 A ? {?1,0,1} , B ? { y | y ? 3x , x ? A} ,则 A 4. (2010 年 1 月嘉定)若集合 A ? {0, m2 } , B ? {1, 2} ,则“ m ? 1 ”是“ A
B ? _______.

B ? {0,1, 2} ”的_______条件.

5. (2010 年 4 月卢湾)设集合 A ? {x |1 ? x ? 2} , B ? {x | x ? a} ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是_____. 6. (2010 北京文)集合 P ? {x ? Z | 0 ? x ? 3} , M ? {x ? Z | x2 ? 9} ,则 P
M ? _______.

7. (2009 重庆卷文)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是_______________. 三、 例题选讲 1. (2010 年 1 月金山)集合 A ? {( x, y) | y ? x ? 2} , B ? {( x, y) | y ? ? x} ,则 A B ? _______.
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2. (2009 全国卷Ⅰ 文)设集合 A ? {4,5,6,7,9} , B ? {3, 4,7,8,9} ,全集 U ? A _______个.

B ,则集合 CU ( A

B) 中的元素共有

3. (2010 年 4 月长宁)已知集合 A ? {x | log2 x ? 2} ,B ? (??, a) , 若 A ? B 则实数 a 的取值范围是_______. 4. (2009 年 1 月浦东新区)集合 A ? {y y ? x 2 , x ? R} , B ? {?2, ?1,1, 2} ,则下列结论正确的是( A. A
B ? (0, ??)



B. (CR A)

B ? (??,0]

C. A CR B ? [0, ??) D. (CR A)

B ? {?2, ?1}

5. (2009 天津卷理)命题“存在 x0 ? R , 2 x0 ? 0 ”的否定是____________. 6. (2009 重庆卷文 ) 若 U ? {n n 是小于 9 的正整数 } , A ? {n ?U n 是奇数 } , B ? {n ?U n 是 3 的倍数 } ,则
CU ( A B) =_____.
B ? {3} ,CU B

7. (2010 辽宁理)已知 A, B 均为集合 U ? {1,3,5,7,9} 的子集, 且A 8. (2009 年 1 月黄浦) ? : 与整数的差为

A ? {9} , 则 A ? ______.

? 1 ? ? n ? 1 1 n ? n, Z ? ? ,B ? ? x x ? , n ? Z ? , 的数;? : 整数的 . 若 A ? ?xx ? 2 2 2 2 ? ? ? ?

则 A __ B .所以 ? 是 ? 的_______条件 9. (2009 年 1 月长宁)已知命题 p : ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,命题 q : x2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,若命题 p 是命题 q 的充分 不必要条件,则实数 m 的范围是_______. 10. (2009 陕西卷文)某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参 加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有 6 人,同时参加物理和化 学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有_______人. 11. (2009 年 1 月卢湾)若集合 A ? {x | x2 ? (k ? 3) x ? k ? 5 ? 0, x ? R} ,A 12. (2009 江西卷理)已知全集 U ? A
B 中有 m 个元素,(CU A)

R? ? ? , 则实数 k 的取值范围为____.
B 非空,则 A B的

(CU B) 中有 n 个元素.若 A

元素个数为_______个. 13. (2007 江西卷理)若集合 M ? {0,1, 2} , N ? {( x, y) | x ? 2 y ? 1 ? 0且x ? 2 y ? 1 ? 0, x, y ? M } ,则 N 中的元素个数为 _______个. 14. (2006 山东)定义集合运算: A
B ? {z | z ? xy( x ? y), x ? A, y ? B} ,设集合 A ? {0,1} , B ? {2,3} ,则集合 A
B

的所有元素之和为_______.
? ? x2 y 2 ? ? 15. (2010 湖北理)设集合 A ? ?( x, y ) 则A ? ? 1? ,B ? ( x, y) y ? 3x , 4 16 ? ? ? ?

?

?

B 的子集的个数是_______个.

16. (2007 湖北卷文)已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件,q 是 r 的充分条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要 条件,现有下列命题:① s 是 q 的充要条件;② p 是 q 的充分条件而不是必要条件;③ r 是 q 的必要条件而不是 充分条件;④ r 是 s 的充分条件而不是必要条件.则正确的命题的序号是_______. 17. (2009 天津卷文)设全集 U ? A ______. 18. (2010 福建文)设非空集合 S ?| x | m ? x ? l | 满足:当 x ? S 时,有 x2 ? S .给出如下三个命题工:① 若 m ? 1 ,则
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B ?m | ?n 2 ?1 n , ?0 ,1 ,2 ,3 ,4 B ? {x ? N * | lg x ? 1} ,若 A C U ? m

? ,则集合 B ? _

1 1 1 S ?|1 | ;② 若 m ? ? ,则 ? l ? 1 ;③ 若 l ? ,则 ? 2 4 2 19. (2010 广东文)在集合 {a, b, c, d } 上定义两种运算 ? 和 ? 如下, 那么 d ? (a ? c) ? _______.
20. (2009 年 1 月静安文)设集合 Sn ? ?1,2,3,
, n? ,若

2 ? m ? 0 .其中正确命题的个数是_____个. 2 a b c d a b c d ? ?
a b c a a a a a b c d a c c a a d a d a b c d a b c d b b b b c b c b d b b d

X ? Sn ,把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量

d

(若 X 中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为 0).若 X 的容量为奇(偶)数,则称

X 为 Sn 的奇(偶)子集.若 n ? 4 ,则 Sn 的所有奇子集的容量之和为_______.
21. (2010 湖北文)记实数 x1 , x2 ,…, xn 中最大数为 max{x1 , x2 ,…, xn } ,最小数为 min{x1 , x2 ,…, xn } .已知△ ABC 的三边
?a b c ? ?a b c ? 边长为 a、b、c(a ? b ? c) ,定义它的倾斜度为 t ? max ? , , ? ? min ? , , ? .则“ t ? 1 ”是“△ ABC 为等边三 b c a ? ? ?b c a ? 解形”的_______条件.

22. (2010 年 1 月普陀)(本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? lg( x2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A ,函数 g ( x) ? 域为集合 B .已知 ? : x ? A

3 ? 1 的定义 x B , ? : x 满足 2 x ? p ? 0 ,且 ? 是 ? 的充分条件,求实数 p 的取值范围

四、 全真练习 1. (2010 安 徽 文 ) 若 A ? {x | x ? 1 ? 0} , B ? {x | x ? 3 ? 0} ,则 A B ? _______. 2. (2009 广东文)已知全集 U ? R , 则正确表示集合
M ? {?1,1,0} 和 N ? {x | x2 ? x ? 0} 关 系 的 韦 恩

(Venn)图是( ) 3. (2009 湖南文)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱, 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_______. 4. (2009 陕西文)设不等式 x 2 ? x ? 0 的解集为 M ,函数 f ( x) ? ln(1? | x |) 的定义域为 N ,则 M 5. (2010 浙江理)设 P ? {x | x ? 4} ,Q ? {x | x2 ? 4} , 则 (
N 为_____.

) (A)P ? Q(B)Q ? P(C)P ? CR Q(D)Q ? CR P

6. (2010 辽宁文)已知集合 U ? {1,3,5,7,9} , A ? {1,5,7} ,则 CU A ? _______. 7. (2010 江西理)若集合 A ? {x || x |? 1, x ? R} , B ? { y | y ? x2 , x ? R} ,则 A
B ? _______.

8. (2010 山东文)已知全集 U ? R ,集合 M ? {x | x2 ? 4 ? 0} ,则 CU M ? _______. 9. (2010 湖南文)下列命题中的假命题 是( ... ) (* ? 表示“存在”、 ? 表示“任意”)

(A) ?x ? R,lg x ? 0 (B) ?x ? R, tan x ? 1 (C) ?x ? R, x3 ? 0 (D) ?x ? R, 2 x ? 0 10. (2010 天津文)设集合 A ? {x || x ? a |? 1, x ? R} , B ? {x |1 ? x ? 5, x ? R} ,若 A
B ? ? ,则实数 a 的取值范围是

_______. 11. (2009 广 东 卷 ) 已知全集 U ? R ,集合 M ? {x | ?2 ? x ? 1 ? 2} 和 N ? {x | x ? 2k ? 1, k ? 1, 2,...} 的 关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有_______个. 12. (2009 江西卷文)下列命题是真命题的为( )
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A.若

1 1 ? ,则 x ? y B.若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 C.若 x ? y ,则 x ? y x y

D.若 x ? y ,则 x2 ? y 2 )

13. (2010 年 1 月金山)若函数 f ( x) 、g ( x) 的定义域和值域都是 R, 则“ f ( x) ? g ( x), x ? R ”成立的充要条件是 ( (A)存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) (C)对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? (B)有无数多个实数 x ,使得 f ( x) ? g ( x) (D)不存在实数 x ,使得 f ( x) ? g ( x)

1 ? g ( x) 2

14. (2007 年 1 月黄浦)由实数 x, ? x,| x |, x2 , 3 x3 , ? 3 x3 , | x |2 所组成的集合,最多含有____个元素. 15. (2007 年 1 月闵行)集合 A ? {x | 0 ? x ? 3, x ? Z } 的真子集的个数是_______个. 16. (2007 年 12 月十二校文)已知等差数列 {an } 的首项为 1,公差为 d ,等比数列 {bn } 的首项为 1,公比为 q ,集合
A ? {a1 , a2 , a3 },集合 B ? {b1 , b2 , b3 } ,若 A ? B ,则 q 的值是_______.

五、扩展练习 1. 设集合 P ? {3, 4,5} , Q ? {4,5,6,7} ,定义 P

Q ? {(a, b) | a ? P, b ? Q} ,则 P

Q 中元素的个数为___.

2. 已知集合 M ? {( x, y) | y ? 9 ? x2 } , N ? {( x, y ) | y ? x ? b} ,且 M

N ? ? ,则 b 应满足的条件是_____.

3. 已知集合 M ? {x | x ? a2 ? 2a ? 4, a ? R} , N ? { y | y ? b2 ? 4b ? 6, b ? R} ,则 M、N 之间的关系是______.
? y ?3 ? ? 1? , N ? {( x, y) | y ? 3 ? x ? 2} ,那么 (CI M ) 4. 设全集 I ? {( x, y ) | x, y ? R} ,集合 M ? ?( x, y ) x?2 ? ?

N 是___.

5. 设 U ? Z 为全集,集合 A ? {a,0} , B ? {x ? Z | x2 ? 3x ? 0} .若 A (CU B) ? ? ,则 a ? _______. 6. 已知 P ? {x | x ? 3k , k ? Z } , Q ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z } , S ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z } ,若 a ? P, b ? Q, c ? S 则( (A) a ? b ? c ? P (B) a ? b ? c ? Q (C) a ? b ? c ? S (D) a ? b ? c ? ( P Q) 7. 设全集 I ? R , M ? {x | x2 ? 2 ? x} , N ? {x | x ? 1 ? 2} ,则 (CI M )
N 为_______.



8. 50 名学生参加跳远和铅球两项测验,跳远和铅球两项及格的分别是 40 人和 31 人,两项测验均不及格的有 4 人,两项测验部分都及格的人数是_______人. 9. 同时满足(1) M ? {1, 2,3, 4,5} ,(2)若 a ? M ,则 (6 ? a) ? M 的非空集合 M 有_______个. 10. 在下列各结论中,正确的结论为( ) ① “p 且 q”为真是“p 或 q”为真的充分不必要条件 ③ “p 或 q”为真是“ p ”为假的必要不充分条件 ② “p 且 q”为假是“p 或 q”为假的充分不必要条件 ④ “ p ”为真是“p 且 q”为假的必要不充分条件

A.① ② B.① ③ C.② ④ D.③ ④ 11. 已知: a、b ? R ,则 | a ? b |?| a | ? | b | 成立的充要条件为_______. 12. 从正整数 1~20 这 20 个数中,任取两个数相加,得到的和作为集合 M 的元素,则 M 的非空真子集共有_个. 13. 设 M 是 满 足 下 列 两 个 条 件 的 函 数 f ( x) 的 集 合 : ① f ( x) 的 定 义 域 是 [?1,1] ; ②若 x1 , x2 ?[?1,1] , 则
| f (x ? f (x ?| 4 x |1 ? x | g ( x) ? x2 ? 2x ? 1( x ?[?1,1]) 与 M 的关系? 1 ) 2 ) 2 .试问:函数

14. 已知 f ( x) ? ax2 ? b ,a,b,x 均为实数,且 A ? {x | f ( x) ? x} , B ? {x | f [ f ( x)] ? x} .(1)求证 A ? B;(2)当 A≠B, 并且 A、B 均不为空集时,求 a 2 ? b2 的取值范围
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