nbhkdz.com冰点文库

抽象函数的单调性专题


抽象函数的单调性专题突破
一类:一次函数型 例1、 函数满足:

f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? k 或

f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? k

f ( x) 对任意 x, y ? R 都有: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,当 x ?

0时, f ( x) ?0 ,又知 f (1) ? ?2 ,求 f ( x) 在

x ???3,3? 上的值域。

例 2、 f ( x ) 对任意实数 x 与 y 都有

f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ? 2 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2
5 ,解不等式 f (2a ? 3) ? 3 2

(1)求证: f ( x ) 在 R 上是增函数; (2)若 f (1) ?

【专练】 : 1、 已知函数 f ( x ) 对任意 x,y ? R 有 f ( x) ? f ( y) ? 2 ? f ( x ? y) , 当 x ? 0时,f ( x ) ? 2 ,f (3) ? 5 ,
求不等式 f (a ? 2a ? 2) ? 3 的解集。
2

2、定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对任意 x,y∈R 都有
x x x

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0时, f ( x) ? 0

(1)求证 f ( x ) 为奇函数; (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

1

二类:对数函数型

函数满足:

f (a? b) ? f (a) ? f (b) 或

a f ( ) ? f (a) ? f (b) b

例 1、 f ( x ) 是定义在 x>0 的函数,且 f(xy) = f(x) + f(y);当 x>1 时有 f(x)<0;f(3) = -1. (1) f (1) 和 f ( ) 的值; (2)证明 f(x)在 x>0 上是减函数; (3)解不等式 f(x) + f(2-x) < 2。

1 9

例 2、定义在 (0, ??) 上函数 y ? f ( x) 对任意的正数 a , b 均有: f ( ) ? f ( a ) ? f (b) ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , (I)求 f (1) 的值;(II)判断 f ( x) 的单调性,

a b

x 【专练】 : 1 、定义在 (0, ??) 上的函数 f(x) 对任意的正实数 x, y 有 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) 且当 0 ? x ? 1 时, y

f ( x ) ? 0.

求:(1) f (1) 的值.

(2)若 f (6) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 ;

1 x

2

2、 函数 f ( x) 的定义域是 x ? 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1 , x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f (x1 ) ? f (x2 ) ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, 又f (2) ? 1 , ( 1 )求证: f ( x) 是偶函数; ( 2 ) f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数( 3 )解不等式

f (2 x2 ?1) ? 2

3、设 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的函数,对任意 x, y ? (0, ??) ,满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 且当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 。 (1)求证: f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ;
x y

(2)若 f (5) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 1) ? f (2 x) ? 2.

3

三类:指数函数型

函数满足:

f (a ? b) ? f (a)?f (b) 或

f ( a ? b) ?

f (a) f (b)
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),

例 1、定义在 R 上的函数 f ( x) ,满足当 x ? 0 时, f ( x) ? 1, 且对任意 x, y ? R, 有 又知

(3)解不等式 f (3x ? x 2 ) ? 4 ; f (1) ? 2. (1)求 f (0) 的值; (2)求证:对任意 x ? R 都有 f ( x) ? 0 ;

? ) f ( n, ) 且当 x ? 0 时, 【专练】 : 1 、 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x) 对 任 意 的 m, n 都 有 f ( m? n) ? f ( m
x ? R 都有 f ( x) ? 0 ; , (I) 证明: (II) 求证:y ? f ( x) 在 R 上为减函数; (III) 解不等式 f(x)· f(2x-x2)>1。 0 ? f (x )? 1

2、若非零函数 f ( x) 对任意实数 a , b 均有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (1)求证: f ( x) ? 0 ; (2)求证: f ( x) 为减函数 (3)当 f ( 4) ?

1 1 2 时,解不等式 f ( x ? 3) ? f (5 ? x ) ? ; 16 4

4

四类:幂函数型

函数满足:

f (a? b) ? f (a)?f (b) 或

a f (a ) f( )? b f (b)

例 1、已知函数 f ( x) 满足:①对任意 x, y ? R ,都有 f ( xy) ? f ( x)?f ( y) ,② f (?1) ? 1, f (27) ? 9, 且当0 ? x ? 1 时, f ( x) ??0,1? 。 (I)判断 f ( x) 的奇偶性, (II)判断 f ( x) 在 ?0, ??? 上的单调性,并证明。 (III)若 a ? 0 , 且 f (a ? 1) ? 3 9 ,求 a 的取值范围。

五类:其他类数函数型 例 1、定义在 ??1,1? 上的奇函数 y ? f ( x) 有 f (1) ? 1 ,且当 m, n ?? ?1,1? 时,总有: (I) 证明: f ( x) 在 ??1,1? 上为增函数,(II)解不等式: f ( x ? ) ? f (

f ( m) ? f ( n ) ? 0, (m ? n) , m?n

1 2

1 ) ,(III)若 f ( x) ? t 2 ? 2at ?1 对所有 x ?1

x ???1,1? , a ???1,1? 恒成立,求实数 t 的取值范围.

5

例 2 、定义在(

)上的函数

满足,对任意

都有

,且当

时,有

, (1)试判断

的奇偶性; (2)判断

的单调性;

【专练】 :1、已知定义在 ? ??, ?1? ? (1, ??) 上的奇函数满足:① f (3) ? 1 ;②对任意的 x ? 2 ,均有 f ( x) ? 0 ;
③对任意的 x, y ? R ? ,均有 f ( x ? 1) ? f ( y ? 1) ? f ( xy ? 1) ; ( 1 ) 试 求 f ( 2) 的 值 ; ( 2 ) 求 证 : f ( x) 在 (1, ??) 上 是 单 调 递 增 ; ( 3 ) 已 知 对 任 意 的 ? ? (0,? ), 不 等 式
2 f (cos ? ? a sin ? ? ) 恒成立,求 3 a 的取值范围,

2、已知函数 f(x)的定义域为{x| x ≠ kπ,k ∈ Z},且对于定义域内的任何 x、y,有 f(x ? y)=

f (x)· f (y)+1 成立, f (y)-f (x)

且 f(a) = 1(a 为正常数) ,当 0 < x < 2a 时,f(x) > 0. (I)判断 f(x)奇偶性; (II)证明 f(x)为周期函数; (III)求 f (x)在[2a,3a] 上的最小值和最大值.

3、已知 f ( x) 是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若任意的 a、b ? [?1,1] ,总有 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 . ( 1 )判断函数 f ( x) 在 [-1,1] 上的单调性,并证明你的结论; ( 2 )解不等式: f ( x ? 1) ? f (1? 2x ); ( 3 )若 ,求实数 m 的取值范围. f ( x) ≤ m2 ? 2 pm? 1对所有的 x ? [?1,1] 恒成立,其中 p ? [?1,1] ( p 是常数)
6


抽象函数的单调性专题突破

抽象函数的单调性专题突破_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学思维训练专题 抽象函数的单调性专题突破一类:一次函数型 例1、 函数满足: f (a ? b) ? ...

抽象函数单调性专题

抽象函数单调性专题_数学_高中教育_教育专区。抽象函数单调性专项突破一、一次函数性: f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? k 或 f ( a? b ) ? f( ...

抽象函数的单调性专题

抽象函数的单调性专题_数学_高中教育_教育专区。抽象函数的单调性专题突破一类:一次函数型 例1、 函数满足: f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? k 或 f...

数学必修1专题1:抽象函数的单调性

数学必修1专题1:抽象函数的单调性_数学_高中教育_教育专区。抽象函数是高中数学的难点,很多同学第一上课时没能弄懂,在后期的学习中,就会在这一块知识上成为盲区。...

抽象函数的单调性专题突破

抽象函数的单调性专题突破_数学_高中教育_教育专区。抽象函数的单调性专题突破一类:一次函数型 例1、 函数满足: f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? k 或...

专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明

专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明_数学_高中教育_教育专区...

抽象函数的单调性.

抽象函数的单调性._高三数学_数学_高中教育_教育专区。抽象函数的单调性,奇偶性,周期性,对称性,零点,图象变换综合知识专题 1, 奇偶函数的定义域关于原点对称,周期...

抽象函数的单调性

4.(选做题)已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y)...单调性+抽象函数 6页 2下载券 抽象函数单调性专题 5页 1下载券 抽象函数...

2014高中数学抽象函数专题

2014高中数学抽象函数专题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014 高三数学专题 ...解析:由单调性的定义步骤设 x1<x2, 则 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-...

抽象函数—单调性

抽象函数单调性_数学_高中教育_教育专区。抽象函数单调性 1. 如果奇函数 ...专题推荐 2014造价工程师造价管理... 2014造价工程师工程计价... 2014造价工程...