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重庆一中高2013级11-12学年(下)期末试题——数学理

时间:2015-03-17


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2012 重庆一中高 2013 级高二下期期末考试

数学试题卷(理科)
数学试题共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2、答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。 3、答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4、所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、复数

1 的共轭复数为( ) 1? i 1 1 1 1 A、 ? i B、 ? i 2 2 2 2

C、 ?

1 1 ? i 2 2

D、 ? )

1 1 ? i 2 2

2、设随机变量 X ~ B ? n, p ? ,且 E ? X ? ? 1.6, D ? X ? ? 1.28 ,则( A、 n ? 8, p ? 0.2 B、n ? 4, p ? 0.4 C、n ? 5, p ? 0.32 )

D、n ? 7, p ? 0.45

3、在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是( A、 ?1,

? ?? ? ? 2?

B、 ?1, ?

? ?

??
? 2?

C、 ?1,0 ?

D、 ?1, ? ?

4、设重庆一中高二年级的女生体重 y (单位: kg )与身高 x (单位: cm )具有线性相关 关系,现测得一组样本数据 ? xi , yi ? ? i ? 1, 2,

, n? 用最小二乘法建立的回归直线方程为


的是( y ? 0.85x ? 85.71 ,则下列结论中不正确 ... A、 y与x 具有正的线性相关关系 B、回归直线过样本点的中心 x, y

? ?

C、若该年级某女生身高为 160cm ,则可断定其体重为 50.29kg D、若该年级某女生身高增加 1cm ,则其体重约增加 0.85kg 5、已知 a, b ? R, 且a ? 0, b ? 0 ,则“ a ?

1 ”是“ ab ? 1 ”的( b



A、充分不必要条件 C、必要不充分条件

B、充要条件 D、既不充分也不必要条件

6、从 1, 2,3, 4,5 中不放回地依次取 2 个数,事件 A ? “第一次取到的是奇数” , B ? “第二 次取到的是奇数” ,则 P ? B | A? ? ( A、 ) C、

1 2

B、

3 10

2 5

D、

1 5

7、某地区在端午期间安排甲、乙等 6 支队伍参加端午赛龙舟比赛,若在安排比赛赛道时不 将甲安排在第一及第二赛道上,且甲和乙不相邻,则不同的安排方法有( ) A、96 种 B、192 种 C、312 种 D、384 种 8、 函数 f ? x ? ? x3 ? x2 ? x ? 1在点 ?1, 2 ? 处的切线与函数 g ? x ? ? x2 围成的图形的面积等于 ( A、1 ) B、

4 3

C、

3 4

D、2

9、用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1, 2,

,9 的 9 个小正方形,

1 4 7

2 5 8

3 6 9

使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标 号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共 有( )种 A、18 C、72 B、36 D、108

10 、定义在区间 ? 0, a ? (其中 a 为正常数)上的函数 f ? x ? 的图象如右下图所示,记以 则函数 S ? x ? 的导 A? 0, f ? 0?? , B ? a, f ? a ?? , C ? x, f ? x ?? 为顶点的三角形面积为 S ? x ? , 函数 S ' ? x ? 的图象大致是( )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11 、 设 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N ? 0,1? , 若 P ?? ? 1 . ?3 ? ,9则 0.0 7

P ? ?1 . 3 ? ?

?? 0 ?



1 ? x? 3? t ? ? x ? 4cos ? 2 ? 12、已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 ? ? y ? 4sin ? ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2
( ? 为参数) 。若直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 长等于 13 、 已 知 二 次 函 数 f ? x ? ? ax2 ? 4x ? c ? 1 的 值 域 是 ?1, ?? ? , 则 是 。 。

1 9 ? 的最小值 a c

14、如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A, B ,其中

A 是切点,且 PB ? 7, C 是圆上一点使得 BC ? 5 , ?BAC ? ?APB ,
则 AB ?
m



2 15、若多项式 ?1 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ?

? am x m 满足:

a1 ? 2a2 ?

? mam ? 192 ,则不等式

1 2 ? ? a3 a3

?

n 3 ? 成立时, a3 4

正整数 n 的最小值为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答须写出必要的文字说明、证明过程和演算步 骤) 16、 (本题满分 13 分)在二项式 ( x ? (1)求展开式的常数项; (2)求展开式中各项的系数和。

1 n ) 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列。 2x

17、 (本题满分 13 分)设函数 f ? x ? ? x ?1 ? x ? a 。 (1)若 a ? ?1 ,解不等式 f ? x ? ? 3 ; (2)如果关于 x 的不等式 f ? x ? ? 2 有解,求实数 a 的取值范围。

18、 (本题满分 13 分)在 ?ABC 中, AB ? AC ,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P , 交 BC 延长线于点 D 。

PC PD ? ; AC BD (2)若 AC ? 3 ,求 AP ? AD 的值。
(1)求证:

19、 (本题满分 12 分)甲、乙两人参加某种选拔测试。在备选的 10 道题中,甲答对其中每 道题的概率都是

3 ,乙只能答对其中的 5 道题。规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽 5

出 3 道题进行测试,答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才 能入选。 (1)求乙得分的分布列和数学期望; (2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率。

20、 (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln ? ax ? 1? ? (1)若 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f ? x ? 的单调区间; (3)若 f ? x ? 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

2 ? 1 ? x ? 0 ? ,其中 a ? 0 。 1? x

21、 (本题满分 12 分)定义:设函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b ? 内可导, f '' ? x ? 为f ' ? x ? 的导数即

f ? x ? 的二阶导数,若函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的二阶导数恒大于等于 0 ,则称函数
。已知函数 f ? x ? ? x ln x 。 y ? f ? x? 是 ? a, b ? 内的下凸函数(有时亦称为凹函数) (1)证明函数 f ? x ? ? x ln x 是定义域内的下凸函数; (2)已知定义在某区间上的下凸函数 f ? x ? ,满足对该区间上的任意两个数 x1 , x2 总有不等 式

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2

?x ?x ? f ? 1 2 ? 恒 成 立 , 根 据 此 性 质 判 断 : x1 ln x1 ? x2 ln x2 与 ? 2 ?

? x1 ? x2 ? ? ?ln ? x1 ? x2 ? ? ln 2 ? ? 的大小关系;
(3)当 n 为正整数时,定义函数 N ? n? 表示 n 的最大奇因数。如 N ?3? ? 3, N ?10? ? 5, 记
2n



S ? n ? ? N ?1? ? N ? 2 ? ? N ? 3? ?

? N ? 2N ?
*





?x
i ?1

2n

i

?1









? x ln x
i ?1 i

i

? ln

1 3S ? n ? ? 2

? i, n ? N ? 。


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