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2012全国高中数学联赛模拟试题10


模拟试题(10)参考答案

(一试)
一、填空题 1. 关于实数 x , y 的表达式
x ? y ? 2x ? 2 y ? 2
2 2

? ?

x ? y ? 2x ? 4 y ? 2 3y ? 8 ? 4 3
2 2

x ? y ? 8 x ? 4 3

x ? 4 y ? 32 ? 16 3
2 2

的最小值是___________。 2. 3. 已知实数 x , y , z 满足 x ? y ? 2 z ? 5, xy ? yz ? zx ? 3 ,则 z 的取值范围是_______。 将函数 f ( x ) ?
1 3 ? ( x ? 2 ) ? 3(0 ? x ? 4 ) 的图像绕原点逆时针旋转锐角 ? 后,仍然
2

得到一个函数的图像,则 ? 的最大值是____________。 4. 在 四 面 体 A B C D , 棱 A D 和 B C 互 相 垂 直 , B C? 2 , A ? 2 , 且 中 D c
B D ? A? C C ?D, a a , c 为常数, 2 其中 则四面体 A B C D 的体积的最大值是_______。
?1 ? ? a ? ??

A B?

5.

对于给定的正整数 a , 定义数列 x1 ? a , x n ? 1 ? ? ? x n ? ? ? ? ? , 其中 [ x ] 是高斯函数。 ? ? ?2 ? ? xn ? ? ? ? ?

给出下列命题:①对数列 { x n } ,存在正整数 k ,使得当 n ? k 时,总有 x n ? x k ;②当 n ? 1 时, x n ?
a ? 1 ;③对某个正整数 k ,若 x k ? 1 ? x k ,则 x k ? [ a ] 。其中真命题的序号是

_____________。 6. 设 N ? 2 ( n 是不小于 2 的正整数) ,将 N 个数 x1 , x 2 , ? , x N 依次放入编号为1, 2, ? , N
n

的 N 个位置,得到排列 P0 ? x1 x 2 ? x N 。将该排列中分别为奇数和偶数位置的数取出,并按 原顺序依次放入对应的前
N 2

和后

N 2

个位置,得到排列 P1 ? x1 x 3 ? x N ?1 x 2 x 4 ? x N ,将此操
N 2

作称为 C 变换。 P1 分成两段, 将 每段 时,将 Pi 分成 2 段,每段
i

个数, 并对每段作 C 变换, 得到 P2 ; 2 ? i ? n ? 2 当

N 2
i

个数,并对每段作 C 变换,得到 Pi ? 1 ,如当 N ? 8 时,

P2 ? x1 x 5 x 3 x 7 x 2 x 6 x 4 x,此时 x 7 位于 P2 中的第 4 个位置。 (1)当 N ? 1 6 时, x 7 位于 P2 中的 8

第_______个位置;(2)当 N ? 2 ( n ? 8) 时,求 x1 7 3 位于 P4 中的第________个位置。
n

7.

已知平面上四个点 A1 (0, 0) , A2 ( 2 3 , 2 ) , A3 ( 2 3 ? 4, 2 ) , A 4 ( 4, 0 ) 。设 D 是四边形

A1 A 2 A3 A4 及其内部的点构成的点的集合,点 P0 是四边形对角线的交点,若集合 S ? { P ? D | | P P0 |? | P Ai | , i ? 1, 2, 3, 4} ,则集合 S 所表示的平面区域的面积为__________。

8.

已知集合 M ? {1, 2, 3}, S ? {1, 2, 3, 4, 5} ,设函数 f ( x ) 的定义域为 M ,且 f ( x ) ? S 。
( 1 B) ) , f ( 2 C , ( 2 ) ? A B C ( 的 , 外 (接 圆 )圆 心 为 O 1 , 且 f, ) , 3 3 )

若 点 A ( 1 ,f

O 1 A ? O 1 C ? ? O 1 B ( ? ? R ) ,则满足条件的函数 f ( x ) 有____________个。

二、解答题 9. 设点 P ( ? 4, y 0 )( y 0 ? ? 3) 是圆 C 1 : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 9 外的动点,过点 P 作 C 1 的两条切线,
2

分别与抛物线 y ? 2 0 x 相交于点 A , B 和 C , D 。求证: A , B , C , D 的纵坐标之积为定值。 10. 若集合 A 具有以下性质: 0 ? A , ? A ; ① ②若 x , y ? A , x ? y ? A , x ? 0 时, 则 且 1
1 x ? A ,则称集合 A 是“好集”。

(1)分别判断集合 B = {- 1, 0,1} ,有理数集 Q 是否是“好集”,并说明理由; (2)设集合 A 是“好集”,求证:若 x , y ? A ,则 x ? y ? A ,且 xy ? A 。
3 ? an 2

11. 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 0 ,且 a n ? 1 ?



(1)求 a 1 的取值范围,使得 a n ? 1 ? a n 对任意正整数 n 都成立; (2)若 a 1 ? 4 ,求证: ? | a i ? 1 ? a i | ?
i ?1 n

5 2



(二试)
, 一 、 在 ? A B C 中 , 点 A1 , B 1 C 1分 别 是 三 边 上 的 点 , 点 G , G a , G b , G c 分 别 是 ? A B C , ? A B1C 1 , ? B A1C 1 , ? C A1 B1 的重心,点 G 1 , G 2 分别是 ? A1 B1C 1 , ? G a G b G c 的重心。

(1)求证:点 G , G 1 , G 2 共线; (2)直线 A G a , B G b , C G c 共点的充要条件是直线 A A1 , B B1 , C C 1 共点。

二、已知 m , n ? N ,且 x ? [0,1] ,求证: (1 ? x ) ? [1 ? (1 ? x ) ] ? 1 。
* n m m n

三、设矩阵 A ? ( a ij ) m ? n 满足: ①对任何 i ? 1, 2, ? , m 和 j ? 1, 2, ? , n ,都有 a ij ? 1 ; ②?
m

i ?1

?

n

a ij ? 0 。对任何 i ? 1, 2, ? , m 和 j ? 1, 2, ? , n ,记 ri ( A ) ?

j ?1

?

n

a ik , c j ( A ) ?

k ?1

?a
k ?1

m

kj



且 k ( A ) ? m in ?| r1 ( A ) |, | r2 ( A ) |, ? , | rm ( A ) |, | c1 ( A ) |, | c 2 ( A ) |, ? , | c n ( A ) |? 。 (1)对于矩阵 A ? ?
? 1 ? 0 .1 1 ? 0 .3 ?1 ?a ? 0 .8 ? ? ,求 k ( A ) ; ?1 ? 1 b c ? ? ,求 k ( A ) 的最大值; ?1?

(2)设 a , b , c ? R ,对于 A ? ?

(3)设 t 是给定的正整数,对于所有的 2 行, 2 t ? 1 列的矩阵 A ,求 k ( A ) 的最大值。
? a 0 ? 0, a 1 ? 1, ? a n ? 2 a n ?1 ? a n ? 2 , n ? 2 .
j

四、已知数列 ?

(1)求证:对任意正整数 m 和 j ? {0,1, 2, ? , m } , 2 a m 整除 a m ? j ? ( ? 1) a m ? j ; (2)给定正整数 n , k ,已知 2 整除 n ,求证: 2 整除 a n 。
k k

模拟试题(10)参考答案 一、填空题 1. 令 A (1,1), B (1, ? 2 ?
3 ), C ( ? 4 ? 2 3 , 2 ), P ( x , y ) ,则 f ( x , y ) ? | P A |? | P B |? | P C, |

注意到 ? A O B ? ? B O C ? ? C O A ? 120 ? , 所以原点 O 是 ? A B C 的费玛点, 所以 f ( x , y ) 的 最小值在 P 即原点时取到,最小值为 | O A | ? | O B | ? | O C |? 3 6 ? 4 2 。 2. 由已知, x ? y ? 5 ? 2 z , xy ? 3 ? z ( x ? y ) ? 3 ? z (5 ? 2 z ) ,由 ( x ? y ) ? 4 xy 得,
2

? 2 (5 ? 2 z ) ? 1 2 ? 4 z (5 ? 2 z ) ,得 z ? ? ? ?

13 2

,

13 ? ?。 2 ?
3 2

3.

作出曲线的图像,如图,最大角为 ? ? arctan

4.
V ?

作 B E ? A D , E F ? B C , E , F 分别为垂足,连接 C E ,可以证明, F 是 B C 中点,故
1 3 S ?BEC ? A D ? 2c 3 EF ? 2c 3
2 2

B E ? 1 , B 在以 A , D 为焦点的椭圆上移动, 点 所以 B E
2

即 B 到 A D 距离的最大值为 a ? c ,所求最大值为

2c 3

a ? c ?1
2 2

5.

①错误,若 a ? 8 ,则前 5 项为 8,4,3,2,3,从第三项开始,周期为 2;②正确,

由 x n ? N * 得 , x n ?1 ?

? a ? xn ? ? ? ? xn ? 2

或 x n ?1 ?

? a ? xn ? ? ? ?1 ? xn ? 2

; 若 x n ?1 ?

? a ? xn ? ? ? ? xn ? 2

,则

xn ? x n ?1 ?

a xn 2

?1 ? a ? 1 2

;若 x n ? 1 ?
?1 ?

? a ? xn ? ? ? ?1 ? xn ? 2

xn ?

a xn 2

?2 ? a ? 1 ;③

,则 x n ? 1 ?

正确,由 x k ? 1 ? x k 得, x k ? ? ? x k ? ? ? ?2 ? ? xk ? 故 xk ? 6.
*

? a ? ? a ? ?? 1 ? ? a ?? a , ?? ? ? ? ? ? xk ? ? ? ? ,从而, x k ? ? ? ? ? xk ? xk ? ? ?? 2 ? ? xk ? ? ?

a ,由②和 x n ? N 得, x k ? [ a ] 。
i

第一个空格填 6; Pi 的元素可按下标分为 2 段,每一段中元素的下标,可看作是一个等
i i

i 差数列,公差为 2 ,且各段首项的下标模 2 各不相同。令 k ? 2 , Pi 的各段首项依次为

a11 , a 21 , ? , a k 1 ,则 Pi ? 1 的各段首项依次为 a1 1 , a1 1 ? 2 , a 2 1 , a 2 1 ? 2 , ? , a k 1 , a k 1 ? 2
i i

i

a 1 7 3 所在段的首项的下标为 13,且 a 1 7 3 是该段中的第 11 项。

在 P3 中, a 1 3 的前项为 a 5 ,且是该段中的第二项,这一段为 P3 中的第二段。 由于 P4 共有 2 段,每段中有 7.
4

N 2
4

? 2

n?4

个元素,故 a 1 7 3 是第 3 ? 2

n?4

? 1 1 个元素。

四边形 A1 A2 A3 A4 是菱形,B1 , B 2 , B 3 , B 4 是相应边的中点,S 表示四边形 B1 B 2 B 3 B 4 及其

内部,面积为 4。

8.

向量 O 1 A ? O 1C 过 A C 边中点 D , 由已知,B , O 1 , D 共线, 所以 ? A B C 是等腰三角形,
f (1) ? f (3) 2 ) ,所以, B D ? x 轴,即 f (1) ? f (3) ? f (2 ) ,这

????

???? ?

B A ? B C 。 A C 中点为 ( 2,
2 样的函数有 P5 ? 2 0 个。

二、解答题 9. 由已知,经过点 P 且与圆 C 1 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0,切线的方程为

y ? y 0 ? k ( x ? 4 ) ,于是
y0 4

| 9k ? y 0 | k ?1
2

? 3 ,即 7 2 k ? 1 8 y 0 k ? y 0 ? 9 ? 0 ,两切线的斜率为
2 2

k 1 , k 2 ,则 k 1 ? k 2 ? ?



由?

? y ? y0 ? k ( x ? 4) ? y ? 20 x
2

得 ky 2 ? 2 0 y ? 2 0 ( y 0 ? 4 k ) ? 0 , k 1 , k 2 对应的交点的纵坐标分别为
2 0 ( y 0 ? 4 k1 ) k1 20( y0 ? 4 k2 ) k2

y 1 , y 2 和 y 3 , y 4 ,所以 y1 y 2 y 3 y 4 ?

?

? 6400 。

10. (1)集合 B 不是“好集”. 理由是:假设集合 B 是“好集”. 因为 - 1
B , 1 ? B ,所以 - 1 - 1 = - 2 B . 这与 - 2
B 矛盾.

1 有理数集 Q 是“好集”. 因为 0 ? Q , ? Q ,对任意的 x , y ? Q , x - y 有
1 x ? Q 。所以有理数集 Q 是“好集”.

且 Q , x ? 0 时,

(2)因为集合 A 是“好集”,所以 0 ? A .若 x , y ? A ,则 0 ? y ? A ,即 ? y ? A . 所以 x ? ( ? y ) ? A ,即 x ? y ? A . 对任意一个“好集” A ,任取 x , y ? A , 若 x , y 中有 0 或 1 时,显然 xy ? A . 下设 x , y 均不为 0,1. 由定义可知: x ? 1,
1 x- 1 1 x 1 , 1 ? A.

x ?1 x

所以

-

A ,即

1 x ( x - 1)

? A ., x ( x - 1)

A.

所以 x ( x - 1) + x

A ,即 x ? A . 同理可得 y ? A .
2

2

若 x + y = 0 或 x + y = 1 , 则 显 然 (x + y)
(x + y)
2

2

A ,若 x+ y

0 且 x+ y

1 ,则

A.
1 1 xy 1 2 xy 1 2 xy

所以 2 xy ? ( x ? y ) ? x ? y ? A ,
2 2 2

? A, 故

?

?

? A, 所以 xy ? A 。

2 xy

11. ( 1 ) a n ? 1 ? a n ?

3 ? an 2

?

3 ? a n ?1 2

?

a n ? a n ?1 ? 2? ? 3 ? an 2 ? 3 ? a n ?1 ? ? 2 ?
3 2

, 故 a n ?1 ? a n 和

a n ? a n ? 1 同号,要使得 a n ? 1 ? a n 恒成立,只需 a 2 ? a1 ,得 0 ? a1 ?



( 2 ) 由 ( 1 ) 得 , a n ?1 ? a n , 故 ? | a i ?1 ? a i | ?
i ?1

n

? (a
i ?1

n

i

? a i ? 1) ? a 1 ? a n ? 1? 4 ? a n ? 1, 由

a n ? 2 ? a n ?1 得

3 ? a n ?1 2

? a n ? 1 ,得 a n ? 1 ?

3 2

,故 ? | a i ? 1 ? a i | ? 4 ? a n ? 1 ?
i ?1

n

5 2



一 、 由 三 点 共 线 得 , O A? ? 1

????

??? ? ???? ???? ???? ??? ? O ? ( 1 ? ) O , O B1 ? ? O C ? (1 ? ? ) O A , 且 B ? C

???? ? ??? ? ??? ? O C ? ? O? ( 1 ? ) O B A ? ,其中 ? , ? , ? ? (0,1) , 1

故OG ?

? ? 1 ??? ??? ???? (O A ? O B ? O C ) , 3 ???? ? 1 ???? ???? ???? ? ??? ? ??? ? ???? 1 O G 1 ? ( O A1 ? O B1 ? O C 1 ) ? [(1 ? ? ? ? ) O A ? (1 ? ? ? ? ) O B ? (1 ? ? ? ? ) O C ] , 3 3 ????? 1 ??? ???? ???? ? ? ??? ? ??? ? ???? 1 O G a ? ( O A ? O B1 ? O C 1 ) ? [( 2 ? ? ? ? ) O A ? (1 ? ? ) O B ? ? O C ] , 3 3 ????? 1 ??? ???? ???? ? ? ? ??? ? ???? 1 ??? O G b ? ( O B ? O A1 ? O C 1 ) ? [ ? O A ? ( 2 ? ? ? ? ) O B ? (1 ? ? ) O C ] , 3 3 ????? 1 ???? ???? ???? ??? ? ??? ? ???? 1 O G c ? ( O C ? O B1 ? O A1 ) ? [(1 ? ? ) O A ? ? O B ? ( 2 ? ? ? ? ) O C ] , 3 3 ????? 1 ????? ????? ????? ??? ? ??? ? ???? 1 O G 2 ? ( O G a ? O G b ? O G c ) ? [(3 ? 2 ? ? 2 ? ) O A ? (3 ? 2 ? ? 2 ? ) O B ? (3 ? 2 ? ? 2 ? ) O C ] 3 9

????

所以,
???? ? 1 ??? ? ??? ? ???? G G 1 ? [( ? ? ? ? ) O A ? (? ? ? ) O B ? ( ? ? ? ? ) O C ] , 3 ???? ? ????? ? ????? ? ??? ? ??? ? ???? 1 G G 1 G 2 ? ? [( ? ? ? ? ) O A ? (? ? ? ) O B ? ( ? ? ? ? ) O C ] , 所以 G G 1 / / G 1G 2 , , G 1 , G 2 共线; 9

(2)设 B G b , C G c , A G a 分别交边 C A , A B , B C 于点 A 2 , B 2 , C 2 , 且 C A2 ? p C A , A B 2 ? q A B , B C 2 ? tB C ,其中 p , q , t ? (0,1) , 由(1)得,
????? ????? ???? 1 ??? ? ??? ? ???? C G b ? O G b ? O C ? [? O A ? ( 2 ? ? ? ? )O B ? ( ? 2 ? ? )O C ] 3 ??? ? ??? ? ???? ???? 1 ? [? O A ? ( 2 ? ? ? ? ) O B ? ( 2 ? ? ? ? ) O C ? ? O C ] 3 ??? ? ??? ? 1 ? [( 2 ? ? ? ? ) C B ? ? C A ] 3 ???? ? ??? 1 C A ? 1 2 ? ( 2 ? ? ? ? )C B ? ? 3 3 p

由 B , G b , A 2 共线得, ( 2 ? ? ? ? ) ?
3

1

1 ? 3 p

? 1 ,得 p ?

?
1?? ? ?

,故

C A2 A2 A

?

p 1? p

?

?
1??



轮换得,

A B2 B2 B

?

?
1? ?

,

BC2 C 2C

?

?
1? ?



又 由 O A1 ? ? O B? ( 1 ? ? ) O C得 , ? B A1 ? (1 ? ? ) A1C , 故
?
1? ?

????

??? ?

????

????

????

A1 C B A1

?

?
1??

,由轮换得,

B1 A C B1

?



C1B A C1

?

?
1? ?

,且

?
1??

?

?
1? ?

?

?
1? ?

?

?
1??

?

?
1? ?

?

?
1? ?



故由塞瓦定理,直线 A G a , B G b , C G c 共点的充要条件是直线 A A1 , B B1 , C C 1 共点。 二、当 m , n 中之一为 1 时,结论显然,下设 m ? 1, n ? 1 令左边为 f ( x ) ,显然 f (0) ? f (1) ? 1 ,下设 x ? (0,1) ,则
f '( x ) ? m (1 ? x )
n m m ?1

(? n) x

n ?1

? n [1 ? (1 ? x ) ]
m

n ?1

( ? m )(1 ? x )

m ?1

( ? 1)

? m n ?[1 ? (1 ? x ) ] ? mn?x
n ?1

n ?1

(1 ? x )

m ?1

? (1 ? x )
n

m ?1

x

n ?1

?
(1 ? x )
m ?1

[1 ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? ? ? (1 ? x )
2 n ?1

m ?1 n ?1

]

?x ? m nx
n ?1

(1 ? x )
m ?1

m ?1

(1 ? x ? x ? ? ? x
2 2

n ?1

)

m ?1

?
m ?1 n ?1

(1 ? x )

?[1 ? (1 ? x ) ? (1 ? x )
2

? ? ? (1 ? x )
m ?1 n ?1

]

? (1 ? x ? x ? ? ? x
2
2 n ?1 m ?1

n ?1

)

m ?1

?

令 h ( x ) ? [1 ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? ? ? (1 ? x )

]

? (1 ? x ? x ? ? ? x

)

显然, h ( x ) 递减,且 h (0 ) h (1) ? 0 ,故存在 x 0 ? (0,1) ,使得 h ( x 0 ) ? 0 , 从而当 x ? (0, x 0 ) 时, f '( x ) ? 0 ,即 f ( x ) 在 [0 , x 0 ] 上递增,在 [ x 0 ,1] 上递减, 故 f ( x ) ? m in{ f (0), f (1))} ? 1 。 三、 (1)0.7; (2)由已知, a ? b ? c ? ? 1 ;
?k ( A) ? k ( A) ? ? 故 ?k ( A) ?k ( A) ? ?k ( A) ? ? | 1 ? a |? 1 ? a ? | 1 ? b |? 1 ? b ? | c ? 1 |? 1 ? c ? | 2 ? c |? 2 ? c ? | a ? b ? 1 |? | ? 1 ? c ? 1 |? 2 ? c (1) (2) (3) , (4) (5)

(3)即 k ( A ) ? 2 ? a ? b ,可由(1)(2)得到; 、 (4)即 k ( A ) ? 1 ? a ? b ,

?k ( A) ? 1 ? a ? (1)到(5)可化为 ? k ( A ) ? 1 ? b ?k ( A) ? 1 ? a ? b ?

(1) ( 2 ) ,所以 3 k ( A ) ? 3 ,故 k ( A) ?1 , (3)

当 a ? b ? 0, c ? ? 1 时,等号成立,故最大值为 1; ( 3 ) 显 然 , k ( A ) 的 最 大 值 大 于 0 , 不 妨 假 设 A1 ? a11 ? a12 ? a13 ? ? ? a1 n ? 0 , 故
A2 ? a 2 1 ? a 2 2 ? a
23

? ? ? an

2

?; 0

考虑同一列的两个元素之和 a1 j ? a 2 j ; 若 a1 j ? a 2 j ? 0 ,令 a '1 j ? 1, a ' 2 j ? a1 j ? a 2 j ? 1 ? ( ? 1,1] ,则
A1 ' ? A1 ? 1 ? a1 j ? A1 , A2 ' ? A2 ? 1 ? a1 j ? A2 , k ( A ) ? k ( A ') ;

若 a1 j ? a 2 j ? 0 ,令 a '1 j ? 1, a ' 2 j ? ? 1 ,则 A1 ' ? A1 ? 1 ? A1 , A2 ' ? A2 ? 1 ? A2 ,
k ( A ) ? k ( A ') ;

若 a1 j ? a 2 j ? 0 ,令 a '1 j ? a1 j ? a 2 j ? 1 ? [ ? 1,1), a ' 2 j ? ? 1 ? ( ? 1,1] ,则
A1 ' ? A1 ? 1 ? a 2 j ? A1 , A2 ' ? A2 ? a 2 j ? 1 ? A2 , k ( A ) ? k ( A ') ;

所以,当 k ( A ) 取得最大值时,每一列中的两个元素至少有一个是 1 或-1。 将 A 的列重新换位,使得第一行中前面连续的项都是 1,根据上面的讨论,此时的矩阵 A 形
?k ( A) ? ?k ( A) ,故 ? k ( A) ? ?k ( A) ? ? | 1 ? bi |? 1 ? bi ? | a j ? 1 |? 1 ? a j ? q ? a1 ? a 2 ? ? ? a p ? p ? b1 ? b 2 ? ? ? b q (1) (2) (3) (4)

如?

?1 ? b1

1 b2

? ?

1 bq

a1 ?1

a2 ?1

? ?1

ap ? ? ?1?



其中 i ? 1, 2, ? , q , j ? 1, 2, ? , p , 由(1)和(4)得, ( q ? 1) k ( A ) ? p ? q ? 2 t ? 1 ,即 k ( A ) ?
2t ? 1 q ?1 2t ? 1 p ?1



由(2)和(3)得, ( p ? 1) k ( A ) ? p ? q ? 2 t ? 1 ,即 k ( A ) ?
2t ? 1 2t ? 1 2t ? 1 2t ? 1 , }? ? , p ?1 q ?1 1 ? m ax { p , q } t?2
2t ? 1 t?2 ? ? t ?1 t?2



所以, k ( A ) ? m in {

令 p ? t ? 1, a1 ? a 2 ? ? ? a p ? 1 ?
1? aj ? 2t ? 1 t?2

, b1 ? b 2 ? ? ? b q ?

t ? t ?1
2

t (t ? 2 )
t ?1 t?2

,此时,
2t ? 1 t?2

1 , ? bi ?

( 2 t ? 1)( t ? 1) t (t ? 2 )

,q ? a1 ? a 2 ? ? ? a p ? t ? ( t ? 1)

?



故所求最大值为

2t ? 1 t?2



四、 (1)由已知, 2 a m ? a m ? 1 ? a m ?1 ,结论成立; 假设对 j ? 0,1, 2, ? , k ,命题成立;
2am | 2 m ? a? k 2 ( ?
k

所以

1a )?m k a ? 1m ? k? a ?

? m? k 1

?

? (
k

1a ) 1 ?

m? k

?

?1 k

?(

1 )1 a

m? k ,? 右 边 为

a m ? k ? 1 ? ( ? 1)

k ?1

k ?1 k ?1 ? ? a m ? ( k ? 1) ? ? a m ? k ? 1 ? ( ? 1) a m ? k ? 1 ? , ? ? 由假设,2 a m | ? a m ? k ? 1 ? ( ? 1) a m ? ( k ? 1) ?

(2)考查下标 n 和 a n 的整除关系。 数列中的前几项为 0,1,2,5,12,
a n ? 3 ? 2 a n ? 2 ? a n ? 1 ? 2(2 a n ? 1 ? a n ) ? a n ? 1 ? 5 a n ? 1 ? 2 a n a n ? 4 ? 2 a n ? 3 ? a n ? 2 ? 2(2 a n ? 2 ? a n ? 1 ) ? a n ? 2 ? 5 a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? 5(2 a n ? 1 ? a n ) ? 2 a n ? 1 ? 12 a n ? 1 ? 5 a n

下证: a n ? m ? a m a n ? 1 ? a m ? 1 a n 。 (数归)
a n ? m ?1 ? 2 a n ? m ? a n ? m ?1 ? 2 ( a m a n ?1 ? a m ?1 a n ) ? a m ?1 a n ?1 ? a m ? 2 a n ? a n ?1 ( 2 a m ? a m ?1 ) ? a n ( 2 a m ?1 ? a m ? 2 ) ? a m ?1 a n ?1 ? a m a n

从而当 n | m 时, a n | a m 。 在 a n ? m ? a m a n ? 1 ? a m ? 1 a n 中,令 n ? m ,则 a 2 n ? a n ( a n ? 1 ? a n ?1 ) ? 2 a n ( a n ? a n ?1 ) , 故 2 an | a2n , a2 ? 2a2 M 1 ? 2 a2 M 2 ? ? ? 2
2
k k ?1 k ?2

k ?1

a2 M

k ?1

?2 M
k

k ?1

,即 2 | a 2

k

k

由已知, a 2 | a n ,故 2 k | a n 。
k


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