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湖北省部分重点中学2015届高三数学第一次联考试题 文


湖北省部分重点中学 2015 届高三数学第一次联考试题 文(扫描版) 新人教 A 版

湖北省部分重点中学 2015 届高三第一次联考

高三数学试卷(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.

三、

解答题:本大题共 5 小题,18、19 题每题 12 分,20 题 13 分,21、22 题 14 分,共 65 分.

19. (Ⅰ) 证明:因为几何体是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 截取三棱锥 B1 ? A1 BC1 后所得,
? DA1 ? DC1 ? ? ? DM ? A1C1 ? A1M ? C1M ? ? ? BA1 ? BC1 ? ? ? ? BM ? A1C1 ? ? A1C1 ? 平面MBD ; A1M ? C1M ? ? ? ???????????????????? ? ????????????????????DM BM ? M ? ?

…………………………6 分

(Ⅱ) V ? V立方体 ? VB1 ? A1BC1 ? ( 3 ) ?
3

1 1 5 ? 3 ? ? ( 3) 2 ? 3 …………………12 分 3 2 2

20.(Ⅰ)∵ an?1 ? an ? c, a ? 1, c 为常数,∴ {an } 是以 1 为首项, c 为公差的等差数列,∴

an ? 1 ? (n ? 1)c .
∴ a2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c .又 a1 , a2 , a5 成等比数列,∴ (1 ? c) ? 1 ? 4c ,
2

解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a n ?1 ? a n 不合题意,舍去.∴ c ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ? 1 . …………………6 分

∴ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

∴ Rn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 1 (1 ? ) ? ,而 2 k ? 2 . 2 2n ? 1 2
…………………13 分

所以不存在正整数 k ,使得 Rk ? 2 k 成立.

21.(Ⅰ) f ?( x) ? 3ax2 ? 3bx 由图象在 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行, 知 f ?(2) ? 0 ,∴ b ? ?2a . …………………4 分

② 当 a ? 3 时, f ( x) max ? f (a) ? a 4 ? 3a 3 , ∴ a ? 3a ? a ? b .
4 3 2

由?

?a 4 ? 3a 3 ? a ? b 2 ?b ? ?2a

得 a ? 3a ? 4a ? 1 ? 0 .
3 2

记 g (a) ? a 3 ? 3a 2 ? 4a ? 1 , ∵ g ?(a) ? 3a 2 ? 6a ? 4 ? 3(a ? 1) 2 ? 1 ? 0 , ∴ g (a ) 在 R 上是增函数,又 a ? 3 ,∴ g (a) ? g (3) ? 11 ? 0 , ∴ g (a) ? 0 在 3, ?? 上无实数根. 综上, a 的值为

?

?

1 . 4

…………………14 分

22.(Ⅰ)抛物线 x 2 ? 2 y 的顶点为 (0,
2 2

1 0) ,准线方程为 y ? ? ,圆的半径等于 1,圆 C 2
2

的方程为 x ? y ? 1 .弦长 2 1 ? ( ) ? 2 ?

1 2

3 ? 3 2

…………………4 分

(Ⅱ)设圆心 C ( a,

1 1 2 a ) ,则圆 C 的半径 r ? a 2 ? ( a 2 ? 1) 2 , 2 2
1 2 2 1 a ) ? a 2 ? ( a 2 ? 1) 2 2 2
…………………8 分

2 圆 C 的方程是为: ( x ? a ) ? ( y ?

2 2 令 y ? 0 ,得 x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,得 x1 ? a ? 1 , x2 ? a ? 1 ,

? MN ? x2 ? x1 ? 2 是定值.


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