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步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破:专题五 第3讲 圆锥曲线中的热点问题


第3讲

圆锥曲线中的热点问题

【高考考情解读】 纵观近几年高考,解析几何是重要内容之一,所占分值在 30 分以上,大 题小题同时有,除了本身知识的综合,还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综 合题,多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质,三种圆锥曲线 都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的

综合问题,难度较高,还有可能涉及 简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题,重点关注定点、定值及最值、范 围问题.

1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若 Δ>0,则直 线与椭圆相交;若 Δ=0,则直线与椭圆相切;若 Δ<0,则直线与椭圆相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法: 将直线方程与双曲线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2 +by+c=0). ①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线相交;当 Δ=0 时,直线与双曲线相切;当 Δ<0 时, 直线与双曲线相离. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点. (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法: 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2 +by+c=0). ①当 a≠0 时,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点. 2. 有关弦长问题 有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长 问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算. (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2), 则所得弦长 P1P2= 1+k2 |x2-x1|或 P1P2= 即作如下变形: 1 1+ 2|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系, k

|x2-x1|= ?x1+x2?2-4x1x2, |y2-y1|= ?y1+y2?2-4y1y2. (2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式). 3. 弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算.

考点一 圆锥曲线的弦长及中点问题 例1 x2 y2 6 已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点(2 2,0),斜率为 1 的直线 l a b 3

与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. 解 c 6 (1)由已知得 c=2 2, = . a 3

解得 a=2 3,又 b2=a2-c2=4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m. y=x+m, ? ? 2 2 由? x y 得 4x2+6mx+3m2-12=0. ? ?12+ 4 =1. 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= =- ,y0=x0+m= ; 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB. m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2. 所以 AB=3 2.



|-3-2+2| 3 2 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= AB· d= . 2 2 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题, 其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点 的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. 1 1? x2 椭圆 +y2=1 的弦被点? 则这条弦所在的直线方程是________. ?2,2?平分, 2 答案 2x+4y-3=0 解析 设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=1,y1+y2=1. x2 x2 1 2 2 ∵A,B 在椭圆上,∴ +y2 = 1 , +y2 =1. 1 2 2 ?x1+x2??x1-x2? +(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 即 y1-y2 x1+x2 1 =- =- , 2 x1-x2 2?y1+y2?

1 即直线 AB 的斜率为- . 2 1 1 1 x- ?, ∴直线 AB 的方程为 y- =- ? 2 2? 2? 即 2x+4y-3=0. 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 例2 x2 y2 1 已知椭圆 C: 2+ 2=1 经过点(0, 3),离心率为 ,直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F a b 2

交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次为 D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且MA=λAF,MB=μBF,当直线 l 的倾斜角变化时,探求 λ +μ 的值是否为定值?若是,求出 λ+μ 的值;否则,说明理由; (3)连结 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若 是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由. (1)待定系数法;(2)用直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消 y 后 → → → → 可得点 A,B 的横坐标的关系式,然后根据向量关系式MA=λAF,MB=μBF把 λ,μ 用点 A,B 的横坐标表示出来,只要证明 λ+μ 的值与直线的斜率 k 无关即证明了其为定值, 否则就不是定值;(3)先根据直线 l 的斜率不存在时的特殊情况,看两条直线 AE,BD 的 交点坐标,如果直线 AE,BD 相交于定点的话,这个特殊位置时的交点就是这个定点,

这样只要证明直线 AE,BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点,否则两直线就 不相交于定点. 解 c 1 (1)依题意得 b= 3,e= = ,a2=b2+c2, a 2

x2 y2 ∴a=2,c=1,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)因直线 l 与 y 轴相交,故斜率存在,设直线 l 方程为 y=k(x-1),求得 l 与 y 轴交于 M(0,-k), 又 F 坐标为(1,0),设 l 交椭圆于 A(x1,y1),B(x2,y2), y=k?x-1?, ? ?2 2 由?x y ? ? 4 + 3 =1, 消去 y 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, ∴x1+x2= 4k2-12 8k2 , x x = , 3+4k2 1 2 3+4k2

→ → 又由MA=λAF,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1), x1 x2 ∴λ= ,同理 μ= , 1-x1 1-x2 x1+x2-2x1x2 x1 x2 ∴λ+μ= + = 1-x1 1-x2 1-?x1+x2?+x1x2 2?4k2-12? 8k2 2- 3+4k 3+4k2 8 = =- . 3 4k2-12 8k2 1- + 3+4k2 3+4k2 8 所以当直线 l 的倾斜角变化时,直线 λ+μ 的值为定值- . 3 (3)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥x 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相 5 ? 交于 FK 的中点 N? ?2,0?, 猜想,当直线 l 的倾斜角变化时, 5 ? AE 与 BD 相交于定点 N? ?2,0?, 证明:由(2)知 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴D(4,y1),E(4,y2),当直线 l 的倾斜角变化时,首先证直线 5 ? AE 过定点? ?2,0?, y2-y1 ∵lAE:y-y2= (x-4), 4-x1

y2-y1 ? 3? 5 当 x= 时,y=y2+ ·- 2 4-x1 ? 2? = = = = 2?4-x1?· y2-3?y2-y1? 2?4-x1? 2?4-x1?· k?x2-1?-3k?x2-x1? 2?4-x1? -8k-2kx1x2+5k?x1+x2? 2?4-x1? -8k?3+4k2?-2k?4k2-12?+5k· 8k 2 =0. 2 2?4-x1?· ?3+4k ?

5 ? ∴点 N? ?2,0?在直线 lAE 上. 5 ? 同理可证,点 N? ?2,0?也在直线 lBD 上. 5 ? ∴当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点? ?2,0?. (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题, 基本思想是使用参数表示要 解决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键 的. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定 点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). (2013· 陕西)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴是 ∠PBQ 的角平分线,证明:直线 l 过定点. (1)解 如图,设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,得 O1A=O1M,

当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中 点, ∴O1M= x2+42, 又 O1A= ?x-4?2+y2, ∴ ?x-4?2+y2= x2+42, 化简得 y2=8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x. (2)证明 由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2),

将 y=kx+b 代入 y2=8x 中, 得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0. 其中 Δ=-32kb+64>0. 8-2bk 由根与系数的关系得,x1+x2= , k2 b2 x1x2= 2, k y1 y2 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线,所以 =- , x1+1 x2+1 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0 将①,②代入③得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题 例3 x2 y2 (2013· 浙江)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭 圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. 解
?b=1, ? (1)由题意得? ?a=2. ?

① ②



x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4, 故点 O 到直线 l1 的距离 d= 1 , k +1
2

所以 AB=2 4-d2=2

4k2+3 . k2+1

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.
? ?x+ky+k=0, 由? 2 2 ?x +4y =4. ?

消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 8k 故 x0=- . 4+k2 8 k2+1 所以 PD= . 4+k2 1 设△ABD 的面积为 S,则 S= · AB· PD 2 8 4k2+3 = , 4+k2 所以 S= ≤ 13 4k2+3+ 2 4k2+3 32 32 4k2+3· 13 4k2+3



16 13 , 13 10 时取等号. 2 10 x-1. 2

当且仅当 k=±

所以所求直线 l1 的方程为 y=±

求最值及参数范围的方法有两种: ①根据题目给出的已知条件列出一个关于参 数的函数关系式,将其代入由题目列出的不等式(即为消元),然后求解不等式;②由题 目条件和结论建立目标函数,进而转化为求函数的值域. 已知椭圆 C1 与抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上且 C1 的中心和 C2 的顶点均为坐 标原点 O,从每条曲线上的各取两个点,其坐标如下表所示: x y (1)求 C1,C2 的标准方程; π (2)过点 A(m,0)作倾斜角为 的直线 l 交椭圆 C1 于 C,D 两点,且椭圆 C1 的左焦点 F 在以 6 线段 CD 为直径的圆的外部,求 m 的取值范围. 解 (1)先判断出(- 6,0)在椭圆上,进而断定点(1,-3)和(4,-6)在抛物线上,故( 3, 1 -3 - 6 0 4 -6 3 1

x2 y2 1)在椭圆上,所以椭圆 C1 的方程为 + =1,抛物线 C2 的方程为 y2=9x. 6 2 (2)设 C(x1,y1),D(x2,y2),直线 l 的方程为 y= 3 (x-m), 3

?y= 33?x-m? 由? x y ? 6 + 2 =1,
2 2

消去 y 整理得 2x2-2mx+m2-6=0, 由 Δ>0 得 Δ=4m2-8(m2-6)>0, 即-2 3<m<2 3, m2-6 而 x1x2= ,x1+x2=m, 2 故 y1y2= 3 3 (x1-m)· (x2-m) 3 3 ①

1 = [x1x2-m(x1+x2)+m2] 3 m2-6 = . 6 欲使左焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆的外部, → → 则FC· FD>0, → → 又 F(-2,0),即FC· FD=(x1+2,y1)· (x2+2,y2) =x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4>0. 整理得 m(m+3)>0, 即 m<-3 或 m>0.② 由①②可得 m 的取值范围是(-2 3,-3)∪(0,2 3).

1. 求轨迹与轨迹方程的注意事项 (1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中, 发现动点 P 的运动规律, 即 P 点满足 的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变. (2)求出轨迹方程后, 应注意检验其是否符合题意, 既要检验是否增解(即以该方程的某些 解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表 示).检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形. 2. 定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题,处理时可以直接推理求出定值,也可以先 通过特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题,通过特殊值法探求定点、定值 能达到事半功倍的效果. 3. 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法

(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解 决; (2)代数法: 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可首先建立起目标函数, 再求这个函数的最值,在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等 量关系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.

设直线 l:y=k(x+1)与椭圆 x2+3y2=a2(a>0)相交于 A、B 两个不同的点,与 x 轴相交于 点 C,记 O 为坐标原点. 3k2 (1)证明:a2> ; 1+3k2 → → (2)若AC=2CB,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程. 1 (1)证明 依题意,直线 l 显然不平行于坐标轴,故 y=k(x+1)可化为 x= y-1. k 1 ? 2 2y 1 2 将 x= y-1 代入 x2+3y2=a2,消去 x,得? ?3+k2?y - k +1-a =0, k 由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点,得 1 4 2 ? ?1 ? 2 Δ= 2-4? ?k2+3?(1-a )>0,整理得?k2+3?a >3, k 即 a2> 3k2 . 1+3k2 2k , 1+3k2 ①

(2)解 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由①,得 y1+y2=

-2k → → 因为AC=2CB,得 y1=-2y2,代入上式,得 y2= . 1+3k2 1 3 于是,△OAB 的面积 S= OC· |y1-y2|= |y2| 2 2 = 3|k| 3|k| 3 < = . 1+3k2 2 3|k| 2

3 其中,上式取等号的条件是 3k2=1,即 k=± . 3

-2k 3 由 y2= 2,可得 y2=± . 3 1+3k 将 k= y2= 3 3 3 ,y2=- 及 k=- , 3 3 3

3 这两组值分别代入①, 3

均可解出 a2=5. 所以,△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程是 x2+3y2=5.

(推荐时间:70 分钟) 一、填空题 x2 y2 1. 已知方程 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是________. k+1 3-k 答案 1<k<3 k+1>0 ? ? 解析 若椭圆焦点在 x 轴上,则?3-k>0 , ? ?k+1>3-k 解得 1<k<3. 2. 设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心,FM 为半 径的圆和抛物线的准线相交,则 y0 的取值范围是________. 答案 (2,+∞)

解析 依题意得:F(0,2),准线方程为 y=-2, 又∵以 F 为圆心,FM 为半径的圆和抛物线的准线相交,且 FM=|y0+2|, ∴FM>4,即|y0+2|>4, 又 y0≥0,∴y0>2. x2 y2 → → 3.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则OP· FP 4 3 的最大值为________. 答案 6 解析 设 P(x0,y0),则
2 x2 y0 3x2 0 0 2 + =1,即 y0 =3- , 4 3 4

又因为 F(-1,0),

1 2 → → 所以OP· FP=x0· (x0+1)+y2 0= x0+x0+3 4 1 = (x0+2)2+2, 4 → → 又 x0∈[-2,2],即OP· FP∈[2,6], → → 所以(OP· FP)max=6. x2 y2 4. 直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围是________. 5 m 答案 m≥1 且 m≠5 x2 y2 解析 ∵方程 + =1 表示椭圆, 5 m ∴m>0 且 m≠5. ∵直线 y=kx+1 恒过(0,1)点, ∴要使直线与椭圆总有公共点,应有: 02 12 + ≤1,m≥1, 5 m ∴m 的取值范围是 m≥1 且 m≠5. x2 5. 设 F1、F2 为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P,Q 两点, 4 → → 当四边形 PF1QF2 面积最大时,PF1· PF2 的值等于________. 答案 -2 解析 易知当 P,Q 分别在椭圆短轴端点时,四边形 PF1QF2 面积最大. 此时,F1(- 3,0),F2( 3,0),不妨设 P(0,1), → → ∴PF1=(- 3,-1),PF2=( 3,-1), → → ∴PF1· PF2=-2. 6. 直线 3x-4y+4=0 与抛物线 x2=4y 和圆 x2+(y-1)2=1 从左到右的交点依次为 A, B, C, AB D,则 的值为________. CD 答案 1 16

?3x-4y+4=0, ? 解析 由? 2 得 x2-3x-4=0, ?x =4y ?

1 ∴xA=-1,yA= ,xD=4,yD=4, 4 直线 3x-4y+4=0 恰过抛物线的焦点 F(0,1), 且该圆圆心为 F(0,1),

5 ∴AF=yA+1= ,DF=yD+1=5, 4 ∴ AB AF-1 1 = = . CD DF-1 16

y2 7. 已知双曲线 x2- =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛物 3 线 y2=18x 上,则实数 m 的值为________. 答案 0 或-8 解析 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x0,y0),

? ? y 则?x - 3 =1, ② x +x =2x , ③ ? ?y +y =2y , ④
2 2 1 2 2 2 0 1 2 0

2 2 y1 x1 - =1, 3



1 由②-①得(x2-x1)(x2+x1)= (y2-y1)(y2+y1),显然 x1≠x2. 3 ∴ y2-y1 y2+y1 y0 · =3,即 kMN· =3, x0 x2-x1 x2+x1

∵M,N 关于直线 y=x+m 对称, ∴kMN=-1,∴y0=-3x0, m 3m - , ?, 又∵y0=x0+m,∴P? ? 4 4? 9 ?-m?, 代入抛物线方程得 m2=18· ? 4? 16 解得 m=0 或-8,经检验都符合. 8. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2,且两条曲线在 第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若 PF1=10,椭圆与双曲 线的离心率分别为 e1,e2,则 e1· e2 的取值范围是________. 答案 1 ( ,+∞) 3

解析 设椭圆与双曲线的半焦距为 c, PF1=r1,PF2=r2. 由题意知 r1=10,r2=2c, 且 r1>r2,2r2>r1, ∴2c<10,2c+2c>10, 5 25 ∴ <c<5?1< 2 <4, 2 c

2c 2c 2c c ∴e2= = = = ; 2a双 r1-r2 10-2c 5-c e1= 2c 2c 2c c = = = . 2a椭 r1+r2 10+2c 5+c

c2 1 1 ∴e1· e2= > . 2= 3 25-c 25 -1 c2 9. 已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴 的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为________. 答案 5 2 -1 2

解析 过点 P 作抛物线的准线的垂线,垂足为 A,交 y 轴于 B,由抛物线方程为 y2=4x 得焦点 F 的坐标为(1,0),准线为 x=-1,则由抛物线的定义可得 d1+d2=PA-AB+d2=PF-1+d2, PF+d2 大于或等于焦点 F 点 P 到直线 l, |1-0+4| 5 2 即 PF+d2 的最小值为 = , 2 2 5 2 所以 d1+d2 的最小值为 -1. 2 二、解答题 x2 y2 10.已知直线 x-2y+2=0 经过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C a b 10 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线 l:x= 分 3 别交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值. 解 (1)如图,由题意得椭圆 C 的左顶点为 A(-2,0),上顶点为

D(0,1),即 a=2,b=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)直线 AS 的斜率显然存在且不为 0, 10 16k 设直线 AS 的方程为 y=k(x+2)(k>0),解得 M( , ),且将直线方程代入椭圆 C 的方 3 3 程, 得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0. 16k2-4 设 S(x1,y1),由根与系数的关系得(-2)· x1= . 1+4k2

2-8k2 2-8k2 4k 4k 由此得 x1= ). 2,y1= 2,即 S( 2, 1+4k 1+4k 1+4k 1+4k2 1 又 B(2,0),则直线 BS 的方程为 y=- (x-2), 4k 10 1 联立直线 BS 与 l 的方程解得 N( ,- ). 3 3k 16k 1 ? 16k 1 ∴MN=? ? 3 +3k?= 3 +3k≥2 16k 1 8 ·= . 3 3k 3

16k 1 1 1 8 当且仅当 = ,即 k= 时等号成立,故当 k= 时,线段 MN 的长度的最小值为 . 3 3k 4 4 3 11.在平面直角坐标系中,点 P(x,y)为动点,已知点 A( 2,0),B(- 2,0),直线 PA 与 1 PB 的斜率之积为- . 2 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)过点 F(1,0)的直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点,设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q(M、Q 不 重合),求证:直线 MQ 过 x 轴上一定点. (1)解 由题意知: y y 1 · =- . 2 x+ 2 x- 2

x2 化简得 +y2=1(y≠0). 2 (2)证明 方法一 设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2), x2 l:x=my+1,代入 +y2=1(y≠0)整理得 2 (m2+2)y2+2my-1=0. -2m -1 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +2 m +2 y1+y2 MQ 的方程为 y-y1= (x-x1), x1-x2 令 y=0, y1?x2-x1? my1?y2-y1? 得 x=x1+ =my1+1+ y1+y2 y1+y2 = 2my1y2 +1=2. y1+y2

∴直线 MQ 过定点(2,0). 方法二 设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2), x2 l:y=k(x-1),代入 +y2=1(y≠0)整理得 2 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,

2k2-2 4k 2 x1+x2= , 2,x1x2= 1+2k 1+2k2 y1+y2 MQ 的方程为 y-y1= (x-x1), x1-x2 y1?x2-x1? k?x1-1??x2-x1? 2x1x2-?x1+x2? 令 y=0,得 x=x1+ =x1+ = =2. y1+y2 k?x1+x2-2? x1+x2-2 ∴直线 MQ 过定点(2,0). x2 y2 3 x y 4 5 12.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,左顶点 M 到直线 + =1 的距离 d= , a b 2 a b 5 O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆经过坐标原点,证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值; (3)在(2)的条件下,试求△AOB 的面积 S 的最小值. (1)解 由 e= 3 3 ,得 c= a,又 b2=a2-c2, 2 2

1 所以 b= a,即 a=2b. 2 x y 由左顶点 M(-a,0)到直线 + =1, a b 即 bx+ay-ab=0 的距离 d= 得 4 5 , 5

|b?-a?-ab| 4 5 2ab 4 5 = ,即 2 = , 5 5 a2+b2 a +b2 4b2 4 5 = ,解得 b=1. 5 5b

把 a=2b 代入上式,得 所以 a=2b=2,c= 3.

x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ①当直线 AB 的斜率不存在时,则由椭圆的对称性,可知 x1=x2,y1=-y2. → → 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点,故OA· OB=0,
2 即 x1x2+y1y2=0,也就是 x2 1-y1=0,

x2 1 又点 A 在椭圆 C 上,所以 -y2 1=1, 4 解得|x1|=|y1|= 2 5 . 5

此时点 O 到直线 AB 的距离 d1=|x1|= ②当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+m, y=kx+m, ? ?2 与椭圆方程联立有?x 2 ? ? 4 +y =1,

2 5 . 5

消去 y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 4m2-4 8km 所以 x1+x2=- , x x = . 1+4k2 1 2 1+4k2 因为以 AB 为直径的圆过坐标原点 O,所以 OA⊥OB. → → 所以OA· OB=x1x2+y1y2=0. 所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. 4m2-4 8k2m2 所以(1+k2)· - +m2=0. 1+4k2 1+4k2 整理得 5m2=4(k2+1), 所以点 O 到直线 AB 的距离 d1= |m| 2 5 = . 2 5 k +1

2 5 综上所述,点 O 到直线 AB 的距离为定值 . 5 (3)解 设直线 OA 的斜率为 k0.

当 k0≠0 时, 1 则 OA 的方程为 y=k0x,OB 的方程为 y=- x, k0 y=k x, ?x1=1+4k20, ? ?2 0 联立?x 得? 4k2 +y2=1, 0 ? ?4 y2 2. 1= ?
2

4

1+4k0

同理可求得

? ? 4 ?y =k +4.
2 x2 = 2 2 2 0

4k2 0 , 2 k0+4

1 1 故△AOB 的面积为 S= 1+k2 |x1|· 1+ 2· |x |=2 0· 2 k0 2
2 令 1+k0 =t(t>1),

2 ?1+k2 0? . 2 ?1+4k2 0??k0+4?

则 S=2

t2 =2 4t2+9t-9

1 , 9 9 - 2+ +4 t t

9 9 1 1 25 令 g(t)=- 2+ +4=-9( - )2+ (t>1), t t t 2 4 25 4 所以 4<g(t)≤ .所以 ≤S<1. 4 5 当 k0=0 时,可求得 S=1, 4 4 故 ≤S≤1,故 S 的最小值为 . 5 5


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