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高一数学 课堂训练5-4

时间:


第5章

第4节

时间:45 分钟 满分:100 分 一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1. 数列{an}、{bn}满足 anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前 10 项之和为( A. C. 1 3 1 2 B. D. 5 12 7 12 )

答案:B 1 1 1 1 解析:bn= = = - , an ?n+1??n+2? n+1 n+2 S10=b1+b2+b3+?+b10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 = - + - + - +?+ - = - = . 2 3 3 4 4 5 11 12 2 12 12 1 1 1 2.数列 1, , ,?, ,?的前 n 项和为( 1+2 1+2+3 1+2+?+n 2n A. 2n+1 n+2 C. n+1 答案:B 1 2 2 2 解析:an= = = - , n n+1 1+2+?+n n?n+1? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ∴Sn=( - )+( - )+( - )+?+( - )=2(1- )= . 1 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1 3. [原创题]已知数列{an}的前 n 项的乘积为 Tn=3n2(n∈N*), 则数列{an}的前 n 项的和为 ( ) 3 A. (3n-1) 2 3 C. (9n-1) 8 答案:C Tn 3n2 - 解析:当 n=1 时,a1=T1=3,当 n≥2 时,an= = =32n 1,当 n=1 时也适 Tn-1 3?n-1?2 3?1-9n? 3 n - 合上式,所以当 n∈N*时,an=32n 1,于是前 n 项的和 Sn= = (9 -1),故选 C. 8 1-9 2n-1 321 4. 已知数列{an}的通项公式是 an= n ,其前 n 项和 Sn= ,则项数 n 等于( 2 64 ) 9 B. (3n-1) 2 9 D. (9n-1) 8 2n B. n+1 n D. 2n+1 )

A. 13 C. 9 答案:D

B. 10 D. 6

2n-1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析:∵an= n =1- n,∴Sn=(1- )+(1- )+(1- )+?+(1- n)=n-( + + 2 2 2 4 8 2 2 4 8 1 1 [1-? ?n] 2 2 1 1 1 321 +?+ n)=n- =n-1+ n,令 n-1+ n= ,可得 n=6. 2 1 2 2 64 1- 2 5.[2012· 皖南联考]今年“十一”迎来祖国 62 周年华诞,北京十家重点公园将举行免费 游园活动,北海公园免费开放一天,早晨 6 时 30 分有 2 人进入公园,接下来的第一个 30 分钟内有 4 人进去 1 人出来,第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人出来,第三个 30 分钟内有 16 人进去 3 人出来,第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来??按照这种规律进行下去, 到上午 11 时 30 分公园内的人数是( A.211-47 C.213-68 答案:B 解析:由题意可知,从早晨 6 时 30 分开始,接下来的每个 30 分钟内进入的人数构成以 4 为首项,2 为公比的等比数列,出来的人数构成以 1 为首项,1 为公差的等差数列,记第 n 个 30 分钟内进入公园的人数为 an,第 n 个 30 分钟内出来的人数为 bn,则 an=4×2n 1,bn 4?1-210? 10?1+10? 12 =n,则上午 11 时 30 分公园内的人数为 S=2+ - =2 -57,所以答案为 2 1-2 B. 6. 设 f(x)是定义在 R 上恒不为 0 的函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x)· f(y)=f(x+y),若 1 a1= ,an=f(n)(n 为常数),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是( 2 1 A. [ ,2) 2 1 C. [ ,1] 2 答案:D 解析:f(2)=f2(1),f(3)=f(1)f(2)=f3(1), 1 f(4)=f(1)f(3)=f4(1),a1=f(1)= , 2 1 1 ?1- n? 2 2 1 1 1 ∴f(n)=( )n,Sn= =1- n∈[ ,1). 2 1 2 2 1- 2 二、填空题(每小题 7 分,共 21 分) 1 B. [ ,2] 2 1 D. [ ,1) 2 )


) B.212-57 D.214-80

a1 a2 an 7. 若数列{an}是正项数列, a1+ a2+?+ an=n2+3n(n∈N*), + +?+ 且 则 2 3 n+1 =__________. 答案:2n2+6n 解析:令 n=1 得 a1=4,即 a1=16,当 n≥2 时, an=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)] an =2n+2,所以 an=4(n+1)2,当 n=1 时,也适合,所以 an=4(n+1)2(n∈N*).于是 = n+1 a1 a2 an 4(n+1),故 + +?+ =2n2+6n. 2 3 n+1 8. 对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=__________. 答案:2n 1-2 解析:由题意知 an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2n 1+2n 2+?+22+2+2= +2=2n-2+2=2n. 2-2n 1 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 9.等差数列{an}的公差不为零,a4=7,a1,a2,a5 成等比数列,数列{Tn}满足条件 Tn =a2+a4+a8+?+a2n,则 Tn=________. 答案:2n 2-n-4 解析:设{an}的公差为 d≠0,由 a1,a2,a5 成等比数列, 得 a2=a1a5, 2 即(7-2d)2=(7-3d)(7+d) ∴d=2 或 d=0(舍去). ∴an=7+(n-4)×2=2n-1. 又 a2n=2·n-1=2n 1-1, 2 ∴Tn=(22-1)+(23-1)+(24-1)+?+(2n 1-1) =(22+23+?+2n 1)-n =2n 2-n-4. 三、解答题(10、11 题 12 分、12 题 13 分) 10.[2012· 福建质检一]在等差数列{an}中,a1=1,Sn 为前 n 项和,且满足 S2n-2Sn=n2, n∈N*. (1)求 a2 及{an}的通项公式; (2)记 bn=n+qan(q>0),求{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)令 n=1,由 S2n-2Sn=n2 得 S2-2S1=12,即 a1+a2-2a1=1.
+ + + + + + - - +

2-2n 1-2

又∵a1=1,∴a2=2,∴公差 d=1. ∴an=1+(n-1)· 1=n. (2)由(1)得 bn=n+qn, 若 q≠1,则 Tn=(1+2+3+?+n)+(q1+q2+?+qn)= 若 q=1,则 bn=n+1,Tn= n· 1+bn? n?n+3? ?b = . 2 2 n?n+1? q?1-qn? + . 2 1-q

11. 等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求 + +?+ . S1 S2 Sn 解:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数, an=3+(n-1)d,bn=qn 1.
?S2b2=?6+d?q=64, ? 依题意有? 2 ? ?S3b3=?9+3d?q =960,


? ?d=2 解得? 或 ?q=8 ?

?d=-5, ? 40 ?q= 3 .
6

(舍去)

故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1. (2)Sn=3+5+?+(2n+1)=n(n+2), 1 1 1 所以 + +?+ S1 S2 Sn = 1 1 1 1 + + +?+ 1×3 2×4 3×5 n?n+2?



1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - + - +?+ - ) 2 3 2 4 3 5 n n+2 1 1 1 1 = (1+ - - ) 2 2 n+1 n+2 2n+3 3 = - . 4 2?n+1??n+2? 1 12. 已知函数 f(x)对任意实数 p,q 都满足:f(p+q)=f(p)· f(q),且 f(1)= . 3 (1)当 n∈N*时,求 f(n)的表达式; 3 (2)设 an=nf(n)(n∈N*),Sn 是数列{an}的前 n 项的和,求证:Sn< ; 4 nf?n+1? 1 1 1 1 (3)设 bn= (n∈N*),数列{bn}的前 n 项和为 Tn,试比较 + + +?+ 与 6 T1 T2 T3 Tn f?n?

的大小. 1 解:(1)由题意知,f(n+1)=f(n)· f(1),f(1)= , 3 1 ∴f(n+1)= f(n)(n∈N*), 3 1 1 ∴数列{f(n)}(n∈N*)是以 f(1)= 为首项, 为公比的等比数列, 3 3 1 1 - 1 ∴f(n)= ×( )n 1,即 f(n)=( )n(n∈N*). 3 3 3 1 1 1 1 1 - 1 (2)由(1)知,an=n( )n,则 Sn=1× +2×( )2+3×( )3+?+(n-1)( )n 1+n( )n,① 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 + S =1×( )2+2×( )3+3×( )4+?+(n-1)( )n+n( )n 1,② 3 n 3 3 3 3 3 ①-②得: 2 1 1 1 1 1 + S = +( )2+( )3+?+( )n-n( )n 1 3 n 3 3 3 3 3 1 1 [1-? ?n] 3 3 1 + 1 1 = -n( )n 1= [1-( )n]- 1 3 2 3 1- 3 1 + n( )n 1, 3 3 31 n1 ∴Sn= - ( )n- ( )n. 4 43 23 3 ∵n∈N*,∴Sn< . 4 nf?n+1? 1 (3)由题意知,bn= = n, 3 f?n? 1 n?n+1? n?n+1? 1 1 1 则 T n= × = ,∴ =6( - ). 3 2 6 Tn n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + + +?+ =6(1- + - + - +?+ - )=6(1- ). T1 T2 T3 Tn 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 ∵n∈N*, 1 1 1 1 ∴ + + +?+ <6. T1 T2 T3 Tn


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