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2013届高考数学一轮复习讲义:8.5 空间向量及其运算


一轮复习讲义

空间向量及其运算

要点梳理

忆一忆知识要点

1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有 大小 和 方向 的量叫做空间 向量. (2)相等向量:方向 相同 且模 相等 的向量. (3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相

平行或重合 的

向量.
(4)共面向量:平行于同一个平面的向量.

要点梳理
(1)共线向量定理

忆一忆知识要点

2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),b 与 a 的充要条件是存在
实数 λ,使得 b=λa .

推论 如图所示,点 P 在 l 上的充要条件是: → → OP=OA+ta ① 其中 a 叫直线 l 的方向向量,t∈R,在 l 上取 → → → → → AB=a,则①可化为OP= OA+tAB 或OP= → → (1-t)OA+tOB.

要点梳理

忆一忆知识要点

(2)共面向量定理的向量表达式:p= xa+yb ,其中 x,y∈R, → → → a,b 为不共线向量,推论的表达式为MP=xMA+yMB或对空间 → → → → → → → 任意一点 O,有OP= OM+xMA+yMB 或OP=xOM+yOA+ → zOB,其中 x+y+z= 1 . (3)空间向量基本定理 如果三个向量 e1,e2,e3 不共面,那么对空间任一向量 p,存在 惟一的有序实数组(x,y,z),使得 p= xe1+ye2+ze3 .

要点梳理

忆一忆知识要点

3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a, b, 在空间任取一点 O, 作OA=a, OB

〈a,b〉 =b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 ,其范 π 围是0≤〈a,b〉≤π, 若 〈a, b〉 = , 则称 a 与 b 互相垂直 , 2
记作 a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b,则 |a||b|cos〈a,b〉叫做向量 b=|a||b|cos〈a,b〉 b ,即 a· a,b 的数量积,记作 a· .

要点梳理

忆一忆知识要点

(2)空间向量数量积的运算律
b) ; ①结合律:(λa)· b= λ(a·
a ; ②交换律:a· b= b·

③分配律:a· (b+c)= a· b+a· c . 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a· b= a1b1+a2b2+a3b3 .

要点梳理

忆一忆知识要点

(2)共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
a3=λb3 (λ∈R), 则 a∥b? a=λb? a1=λb1 , a2=λb2 ,

a⊥b?a· b=0? a1b1+a2b2+a3b3=0 (a,b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|= a· a=
2 2 a2 1+a2+a3 ,

a· b cos〈a,b〉=|a||b|=

a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a2 1+a2+a3· b1+b2+b3

.

设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), → (a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c1)2 则 dAB=|AB|=

.

[难点正本

疑点清源]

1.空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和 性质与平面向量的概念和性质相同或相似,故在学习空间向 量时,如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习,将 收到事半功倍的效果.比如: a· b (1)定义式:a· b=|a||b|cos〈a,b〉 ,或 cos〈a,b〉= , |a||b| 用于求两个向量的数量积或夹角; (2)非零向量 a,b,a⊥b?a· b=0,用于证明两个向量的垂 直关系; (3)|a|2=a· a,用于求距离等.

2.要理解空间向量、空间点的坐标的意义,掌握向量加法、减 法、 数乘、 点乘的坐标表示以及两点间的距离、 夹角公式. 利 用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行、垂直、夹 角、距离等问题转化为向量的坐标运算,如(1)判断线线平行 或诸点共线,可以转化为证 a∥b (b≠0)?a=λb;(2)证明线 线垂直,转化为证 a⊥b?a· b=0, 若 a=(x1,y1,z1),b=(x2, y2,z2),则转化为计算 x1x2+y1y2+z1z2=0;(3)在立体几何中 求线段的长度问题时,转化为 a· a=|a|2,或利用空间两点间 的距离公式;(4)在计算异面直线所成的角 (或线面角、二面 a· b 角)时,转化为求向量的夹角,即利用公式 cos θ= 即可. |a||b|

空间向量的线性运算
例 1 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 → → → 中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P 分 别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表 示以下各向量: → → → → (1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1.

根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可.



(1)∵P 是 C1D1 的中点, → → → → → 1 → ∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+ D1C1 2 1→ 1 =a+c+ AB=a+c+ b. 2 2
(2)∵N 是 BC 的中点, 1→ → → → → ∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+ BC 2 1→ 1 =-a+b+ AD=-a+b+ c. 2 2 (3)∵M 是 AA1 的中点, → → → 1→ → ∴MP=MA+AP= A1A+AP 2 1 ? 1 1 1 ? =- a+?a+c+2b?= a+ b+c, 2 ? 2 ? 2

→ → → 1→ → 又NC1=NC+CC1= BC+AA1 2 1→ → 1 = AD+AA1= c+a, 2 2 ? ? 1 1 1 ? → → ? ∴MP+NC1=?2a+2b+c?+?a+2c? ? ? ? ? 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2

探究提高
用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是 解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾 向量的终点的向量, 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法 则.在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边 形法则在空间仍然成立.

变式训练 1
→ 1→ → → 在例 1 的条件下,若AE= EC,A1F=2FD, 2 → 试用 a,b,c 表示EF. → → → 解 如图,连结 AF,则EF=EA+AF.
由已知 ABCD 是平行四边形, → → → 故AC=AB+AD=b+c, → → → A1D=A1A+AD=-a+c. → → → → → 由已知,A1F=2FD,∴AF=AD+DF → → → 1→ =AD-FD=AD- A1D 3 1 1 =c- (c-a)= (a+2c), 3 3

1→ 1 → 又EA=- AC=- (b+c), 3 3 1 → → → ∴EF=EA+AF=- (b+c) 3 1 1 + (a+2c)= (a-b+c). 3 3

共线、共面向量定理的应用
例 2 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点, (1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任 → 1 → → → → 一点 O,有OM= (OA+OB+OC+OD). 4

→ → → 对于(1)只要证出向量BD与EH共线即可;对于 (2)只要证出EG= → → EF+EH即可;对于(3),易知四边形 EFGH 为平行四边形,则点 → → → M 为线段 EG 与 FH 的中点, 于是向量OM可由向量OG和OE表示, → → → → → → 再将OG与OE分别用向量OC,OD和向量OA,OB表示.
证明 (1)连结 BG, → → → 则EG=EB+BG → 1 → → =EB+ (BC+BD) 2 → → → → → =EB+BF+EH=EF+EH,

由共面向量定理的推论知: E、F、G、H 四点共面. → → → (2)因为EH=AH-AE 1→ 1→ 1 → → 1→ = AD- AB= (AD-AB)= BD, 2 2 2 2
所以 EH∥BD.
又 EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH.
(3)找一点 O,并连结 OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG. → 1→ → 1→ 由(2)知EH= BD,同理FG= BD, 2 2 → → 所以EH=FG,即 EH 綊 FG,

所以四边形 EFGH 是平行四边形.
所以 EG,FH 交于一点 M 且被 M 平分.
1→ 1→ → 1 → → 故OM= (OE+OG)= OE+ OG 2 2 2 1?1 → → ? 1?1 → → ? = ?2(OA+OB)?+ ?2(OC+OD)? 2? ? 2? ? 1 → → → → = (OA+OB+OC+OD). 4

探究提高
在求一个向量由其他向量来表示的时候,通常是利用向量的三 角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点,把要求的向量 逐步分解, 向已知向量靠近, 进行求解, 若要证明两直线平行, 只需判定两直线所在的向量满足线性 a=λb 关系,即可判定两 直线平行.

变式训练 2
已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,若点 M → 1 → → → 满足OM= (OA+OB+OC). 3 → → → (1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内. → → → → 解 (1)由已知OA+OB+OC=3OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC),
→ → → → → 即MA=BM+CM=-MB-MC, → → → ∴MA,MB,MC共面. → → → (2)由(1)知,MA,MB,MC共面且基线过同一点 M,

∴四点 M,A,B,C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内.

空间向量性质的应用
例 3 已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 → → a=AB,b=AC, → (1)若|c|=3,且 c∥BC,求向量 c; (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (3)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值; (4)若 λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直,求 λ,μ 应满足的关系.
本题考查空间向量坐标运算法则的应用,根据 a=(x1,y1,z1),b =(x2,y2,z2),则 a± b=(x1± x2,y1± y2,z1± z2),a· b=x1x2+y1y2+
2 2 z1z2, |a|= x1 +y1 +z2 这是需要熟练掌握的知识点, 1等来求解该题,

因为这是利用向量解决立体几何的基础.

→ → (1)∵c∥BC,BC=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2), → ∴c=mBC=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m), 解 所以|c|= (-2m)2+(-m)2+(2m)2=3|m|=3, ∴m=± 1.∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2).

(2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴a· b=(1,1,0)· (-1,0,2)=-1, 又|a|= 12+12+02= 2,|b|= (-1)2+02+22= 5, a· b -1 10 ∴cos〈a,b〉= = =- , |a||b| 10 10 10 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- . 10

(3)方法一 ∵ka+b=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4), 且 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,
∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0, 5 ∴k=2 或 k=- ,∴当 ka+b 与 ka-2b 互相垂直时, 2 5 实数 k 的值为 2 或- . 2
方法二 由(2)知|a|= 2,|b|= 5,a· b=-1, ∴(ka+b)· (ka-2b)=k2a2-ka· b-2b2 5 2 =2k +k-10=0,得 k=2 或 k=- . 2 (4)∵a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),
∴λ(a+b)+μ(a-b)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ),

∵λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直, ∴(2μ,λ+μ,2λ-2μ)· (0,0,1)=2λ-2μ=0,即当 λ,μ 满足关系 λ-μ=0 时,可使 λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直.

探究提高
证明两条直线垂直, 一般是用两条直线的方向向量的数量积等于 0 来加以证明的.

变式训练 3
已知 a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b, b⊥c,求: (1)a,b,c; (2)(a+c)与(b+c)夹角的余弦值. x 4 1 解 (1)因为 a∥b,所以 = = ,解得 x=2,y=-4, -2 y -1
这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又因为 b⊥c,所以 b· c=0,即-6+8-z=0,
解得 z=2,于是 c=(3,-2,2).

(2)由(1)得 a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 设(a+c)与(b+c)夹角为 θ, 5-12+3 2 因此 cos θ= =- . 19 38· 38

易错警示
“两向量平行”和“两向量同向”不清致 误
(5 分)已知向量 a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且 a、b 同向, 则 x,y 的值分别为__________.
学生答案展示 -2,-6 或 1,3

审题视角
(1)a 与 b 同向,则 a∥b,利用向量平行的性质列方程求 x,y. (2)a 与 b 平行,并不能保证同向,所以还要注意验证.

2 x x +y-2 y 由题意知 a∥b,所以 = = , 1 2 3 ? ① ?y=3x, 即? 2 ? ② ?x +y-2=2x,

把①代入②得 x2+x-2=0,(x+2)(x-1)=0, 解得 x=-2,或 x=1.
当 x=-2 时,y=-6;当 x=1 时,y=3.
? ?x=-2 当? ? ?y=-6

时,b=(-2,-4,-6)=-2a,两向量 a,b 反

向,不符合题意,所以舍去.
? ?x=1 当? ? ?y=3

时,b=(1,2,3)=a,a 与 b
1,3

? ?x=1, 同向,所以? ? ?y=3.

正确答案

批阅笔记

(1)a 与 b 同向是 a∥b 的充分而不必要条件. a∥b 是 a 与 b 同向 的必要而不充分条件. (2)错因分析: 两向量平行和两向量同向不是等价的, 同向是平行 的一种情况.两向量同向能推出两向量平行,但反过来不成立, 也就是说,“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条 件.错解就忽略了这一点.

方法与技巧
1.熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量 问题的基础,特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向 量基本定理、数量积的性质等. 2.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为向 量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或 证明去解决问题,在这里,恰当地选取基底可使向量运算简 捷,或者是建立空间直角坐标系,使立体几何问题成为代数 问题,在这里,熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决 问题的基础.

失误与防范
1.利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理难度,可以避 开一些较复杂的线面关系,但较复杂的代数运算也容易导致 出错.因此,在解决问题时,可以灵活的选用解题方法,不 要生搬硬套. 2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共 线定理;求两点间距离或某一线段的长度,一般用向量的模 来解决;解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零;求 异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注 意两种角的范围不同,最后应进行转化. 3.空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的分解. 4.几何体中向量问题的解决,选好基底是关键.

要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法 定义 向量
具有大小和方向的量 向量的大小 长度为零的向量 模为 1 的向量

表示法

a, AB
| a |,| AB |

向量的模 零向量
单位向量

记作 0

常用 e 表示
记作 a ? b 记作 a ? ?b 记作 a ∥b
0 与任一向量共线.

相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量
平行向量 (共线向量)
方向相同或相反的非零向量

要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法
平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算
具有大小和方向的量 加法:三角形法则或 平行四边形法则
a?b
a

空间向量
具有大小和方向的量
b
b a?b
a

减法:三角形法则 数乘:ka, k为正数,负数,零
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 数乘分配律

b

a ?b

a
ka ( k ? 0)
ka ( k ? 0)

a

运 算 律

(a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

k(a ? b ) ? ka ? kb

数乘分配律

( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

k(a ? b ) ? ka ? kb

要点梳理
2. 空间向量的有关定理及推论 共线向量
定 义

共面向量
p, a , b 共面 ? p ? xa ? yb (a , b不共线) P, A, B, ? AP ? xAB ? yAC
C四点 共面

向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,叫 行或重合 做共面向量.

定 a / / b ? ?? ? R, a ? ?b (b ? 0) 理 A, P, B ? AP ? ? AB 推 三点 ? OP ? OA ? ? AB 共线 ? OP ? mOA ? nOB 论
( m ? n ? 1)

? OP ? OA ? xAB ? yAC
? OP ? xOA ? yOB ? zOC

( x ? y ? z ? 1)

(A, B, C三点不共线)

运 用

判断三点共线,或两直线平行 判断四点共面,或直线平行于平面

要点梳理
1.数量积的定义: ? ? 2.向量的夹角定义:OA ? a , OB ? b , 则?AOB ? ? ? ? a与b 共起点 3.向量的垂直: ? ? 90? ? a ? b ? ? ? 4.投影: | b | cos ? 叫做b 在a方向上的投影 . 5.数量积的几何意义: 数量积 a ? b 等于 a 的长度 | a | 与b 在 a 的方向上的投影 | b | cos? 的乘积.

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?

要点梳理
6.数量积的运算律:(1) a ? b ? b ? a

(2) (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (? b ) (3) (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c
7.数量积的主要性质: (设a , b是两个非零向量)
(1) a ? b ? a ? b ? 0;
(2) | a |2 ? a 2 ? a ? a
(判断两个向量是否垂直)

| a |? a ? a ? a
2

(求向量的长度(模)的依据)
(求两个向量的夹角) (向量不等式)

a?b ; |a |?|b| (4) | a ? b |≤| a | ? | b | (3) cos ? ?

8.向量的直角坐标运算.

设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ),则 (1)a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 );

(6)a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.
(7) | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 ;
2 2 2

(2)a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ); (3)? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R); (4)a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; (5)a / / b ? a1 ? ? b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R);

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ? b (8)cos? a , b ? ? ? ; | a || b | a12 ? a22 ? a32 b12 ? b22 ? b32

8.向量的直角坐标运算.

设 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), 则
AB ? OB ? OA ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ( x1 , y1 , z1 ) (9) AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ).
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

(10) | AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 ) .
2 2 2

M=(x,y,z),若M是线段AB的中点, x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 (11) x ? ,y? ,z ? . 2 2 2

9. 空间向量的坐标计算 平面向量
平面向量的坐标运算: a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ); ? a ? (? x1 , ? y1 ), ? ? R; a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

空间向量
空间向量的坐标运算: a ? ( x1 , y1 , z1 ), b ? ( x2 , y2 , z2 )

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ); ? a ? (? x1 , ? y1 , ? z1 ), ? ? R; a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 .
若A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ); | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 x1 ? x2 ? x ? ? 2 ? y ? y2 ? C ( x , y )是AB的中点,则 ? y ? 1 2 ? ? z ? z1 ? z2 ? 2 ?

若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ); | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 , C ( x , y )是AB的中点,则 x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? 2

例1.正四面体O ? ABC,E、F 分别是AB、OC的中点, 求异面 O 直线OE、BF 所成角的余弦值. 解:设棱长为1, OA ? a , OB ? b , OC ? c,
则OE ? 1 (a ? b ), 2 BF ? BO ? 1 OC ? 1 (c ? 2b ). 2 2

a

F

b
A
E B

c
C

? OE ? BF ? 1 (a ? b ) ? 1 (c ? 2b ) 2 2 ? 1 (a ? c ? 2a ? b ? b ? c ? 2b 2 ) 4
?

? cos ? OE , BF ?? OE ? BF ? 2 ? ? 2 . 3 3 | OE || BF | 4

? 1 ( 1 ? 1 ? 1 ? 2) ? ? 1 . 又 | OE |? 3 ,| BF |? 3 . 4 2 2 2 2 2 1

所以,所求异面直线所成的角的余弦值为 2 . 3

例 2.已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M,N 分别在对角线 BD,AE 上,且 BM ? 1 BD, AN ? 1 AE .

3

3

求证:MN//平面 CDE.
证明: MN ? MD ? DE ? EN ? 2 BD ? DE ? 2 AE
3 3 ? 2 ( BC ? CD) ? DE ? 2 ( AD ? DE ) 3 3 F ? 2 CD ? 1 DE . 3 3

E N

又 CD与DE 不共线, CD, DE 共面, 可知 MN ,

A B M C

D

又MN ? 平面CDE ,
所以MN//平面CDE.

例3.在平行六面体AC1中,AB=AD, ∠ A1AD=∠A1AB= ∠DAB=60? . (1)求证:AA1 ⊥BD; AB (2)当 AA 的值为多少时,才能使AC1⊥平面A1BD.请证明.
1

证明: 设AB ? a , AD ? b , AA1 ? c,
设 | a |?| b |? m,| c |? n,
2 m ?a ? b ? , a ? c ? b ? c ? mn . 2 2

D1 A1 D A B B1 C

C1

BD ? BA ? AD ? b ? a .

AA1 ? BD ? c ? (b ? a ) ? c ? b ? c ? a ? 0,
所以 AA1 ? BD.

解:根据题意,要使AC1 ? 面A1 BD, 只要AC1 ? A1 B, AC1 ? A1 D. 而 A1 B ? a ? c , AC1 ? a ? b ? c .

?(a ? c )(a ? b ? c ) ? 0.

D1 A1 D B1 C B

C1

?a ? a ? b ? a ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? 0
m ? 1 m 2 ? 1 mn ? n2 ? 0 2 2
2

2

2

(3m ? 2n)(m ? n) ? 0

A

?m ? n. 同理由 AC1 ? A1 D,得m ? n.
所以当 AB ? 1时,AC1 ? 平面A1BD. AA1

P
【1】三角形 PAB 中, O 为 AB 的中点

PO ? 1 (PA ? PB ) 2
P

A

O

B

【2 】三棱锥 P ? ABC 中, 向量 PA ? a , PB ? b , PC ? c , O 为 △ ABC 的重心, 试用 a 、 b 、 c 表示下列向量 PO .

PO ? PC ? CO ? PC ? 2 CD
3 ? PC ? 2 ? 1 (CA ? CB ) 3 2

C D O

A 1 PO ? ( a ? b ? c) 3

B

【3】正四棱锥 P ? ABCD 中, O 为底面中心.

P

A
B
O C

D

PO ? 1 (PA ? PB ? PC ? PD) 4

【6】三棱锥 D-ABC 中, ?BAC ? 90?, ?DAB ? 45?, ?DAC ? 60?,

3 ? AC=4,AB=3,则二面角 B-AD-C 的余弦值是____ 3.

D

BC ? 5, BE ? 3 2 , CF ? 2 3, 2 EF = 3 2 ? 2, 2 CB ? CF ? FE ? EB B

E F A
C

? FC , EB ?

52 ? (2 3)2 ? ( 3 2 ? 2)2 ? ( 3 2 )2 ? 2 ? 2 3 ? 3 2 cos ? CF , EB ? 2 2 2 ? cos ? CF , EB ?? 3 ? cos ? EB, FC ?? ? 3 . 3 3

解题是一种实践性技能 , 就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚


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