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2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:第十章 计数原理 第五节 几何概型 Word版含解析

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第五节

几何概型

A 组 基础题组
1.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,向转盘上投掷一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖, 小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )

2.(2016 课标全国Ⅰ,4,5 分)某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发 车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( A. B. C. D. )

3.(2016 广东广州综合测试)在平面区域{(x,y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机取一点 P,则点 P 的坐标(x,y) 满足 y≤2x 的概率为( A. B. C. D. ) )

4.已知 f(x)= +cosx,在区间(0,π)内任取一数 x0,使得 f'(x0)>0 的概率为( A. B. C. D.

5.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩 形面积小于 32cm2 的概率为( A. B. C. D. )

6.已知集合 A={y|y=x2+2x,-2≤x≤2},B={x|x2+2x-3≤0},在集合 A 中任意取一个元素 a,则 a∈B 的概 率是 . 点 P 是圆

7.(2016 宁夏银川一模)已知在圆(x-2)2+(y-2)2=8 内有一平面区域 E:

内的任意一点,而且点 P 出现在任何一点处是等可能的.若使点 P 落在平面区域 E 内的概率最大, 则 m= .

8.如图,正四棱锥 S-ABCD 的顶点都在球面上,球心 O 在平面 ABCD 上,在球 O 内任取一点,则这 点取自正四棱锥的概率为 .

9.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体内随机取一点 M. (1)求四棱锥 M-ABCD 的体积小于 的概率; (2)求 M 落在三棱柱 ABC-A1B1C1 内的概率.

10.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个, 标号为 2 的小球 n 个.若从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的概率是 . (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的小球标号 为 b. ①记“2≤a+b≤3”为事件 A,求事件 A 的概率; ②在区间 0,2]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2 恒成立”的概率.

B 组 提升题组
11.已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时 刻该蚂蚁到三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是( A.2C.2B.1D.1表示的点集记为 M,不等式组 ) 表示 )

12.(2016 赣中南五校联考)不等式组

的点集记为 N,在 M 中任取一点 P,则 P∈N 的概率为( A. B. C. D.

13.设有一个等边三角形网格(无限大),其中各个最小等边三角形的边长都是 4 2cm 的硬币投掷到此网格上,则硬币落下后与格线没有公共点的概率为 14.如图,四边形 ABCD 为矩形,AB= 公共点的概率为 .

cm,现将直径为 .

,BC=1,在∠DAB 内任作射线 AP,则射线 AP 与线段 BC 有

15.已知关于 x 的二次函数 f(x)=b2x2-(a+1)x+1. (1)若 a,b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两 次时第一次、第二次向上一面出现的点数,求 y=f(x)恰有一个零点的概率; (2)若 a,b∈1,6],求满足 y=f(x)有零点的概率.

答案全解全析 A 组 基础题组
1.A A、B、C、D 中阴影部分分别占整体的 、 、 、 ,由于 > = > ,故选 A. 2.B 解法一:7:30 的班车小明显然是坐不到了.当小明在 8:00 前到达,或者 8:20 之后到达,他等 车的时间将不超过 10 分钟,故所求概率为 = .故选 B.

解法二:当小明到达车站的时刻超过 8:00,但又不到 8:20 时,等车时间将超过 10 分钟,其他时刻到 达车站时,等车时间将不超过 10 分钟,故等车时间不超过 10 分钟的概率为 1- = . 3.A 画出平面区域,如图,阴影部分满足 y≤2x,其面积为 ,{(x,y)|0≤x≤1,1≤y≤2}表示边长为 1 的正

方形及其内部,正方形的面积为 1,故所求概率为 .故选 A.

4.C

f'(x)= -sinx,令 -sinx>0,即 sinx< ,当 x∈(0,π)时,0<x< 或 <x<π,故所求概率为

= .

5.C 设 AC=xcm,则 BC=(12-x)cm(0<x<12), ∴矩形的面积为 x(12-x)cm2, 由 x(12-x)<32,解得 x>8 或 x<4, ∴0<x<4 或 8<x<12. ∴所求概率为 6.答案 解析 A={y|y=x2+2x,-2≤x≤2}={y|-1≤y≤8}, B={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1}, 则 A∩B={x|-1≤x≤1}, = .

则所求的概率为 7.答案 0

= .

解析 如图所示,当 m=0 时,平面区域 E(阴影部分)的面积最大,此时点 P 落在平面区域 E 内的概 率最大.

8.答案 解析 设球的半径为 R,则所求的概率为 P= = = .

9.解析 (1)设四棱锥 M-ABCD 的高为 h,令 · S 四边形 ABCD· h= , ∵S 四边形 ABCD=1, ∴h= . 若四棱锥 M-ABCD 的体积小于 ,则 h< , 即点 M 在正方体的下半部分, ∴P= = .

(2)∵V 三棱柱= ×12×1= , ∴所求概率 P1= = .

10.解析 (1)依题意共有(n+2)个小球,则从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的概 率为 = ,∴n=2.

(2)①从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球共有 12 种结果,而满足 2≤a+b≤3 的结果有 8 种,故 P(A)= = . ②易知(a-b)2≤4,故待求概率的事件即为“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果 所构成的区域为 Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},由几何概型得概率 P= =1- .

B 组 提升题组

11.B

如图,当蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过 2 时,蚂蚁要在图中的空白区域内爬行,在

△ ABC 中,BC=6,作 AD⊥BC,易得 AD=4,则 S△ ABC= ×6×4=12.由于三角形三内角之和为 π,所以 图中三个扇形的面积之和为 S= ×π×22=2π,所以所求概率为 P=1- =1- .

12.B 画出相应的区域如图所示:

区域 M 是正方形区域,区域 N 是阴影区域,S 阴影= 故选 B. 13.答案

(x+2-x2)dx= ,所以 P∈N 的概率为

= .

解析 记事件 A 为“硬币落下后与格线没有公共点”,易知网格中最小等边三角形的中心到各边的 距离均为 2cm,由题意,在等边三角形(该等边三角形是网格中最小的等边三角形)内作小等边三 角形,使其三边与原等边三角形对应三边的距离都为 1cm,如图所示,则小等边三角形的边长为 2×1× =2 (cm),由几何概型的概率计算公式得 P(A)= = .

14.答案 解析 当射线 AP 与线段 BC 有公共点时,射线 AP 落在∠CAB 内,所以射线 AP 与线段 BC 有公 共点的概率为 15. 解 析 = = .

(1) 设 (a,b) 表 示 一 个 基 本 事 件 , 则 抛 掷 两 次 骰 子 的 所 有 基 本 事 件 有

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,5),(6,6),共 36 个.

用 A 表示事件“y=f(x)恰有一个零点”,令 Δ=-(a+1)]2-4b2=0,则 a+1=2b,则 A 包含的基本事件有 (1,1),(3,2),(5,3),共 3 个,所以 P(A)= = . 所以事件“y=f(x)恰有一个零点”发生的概率为 . (2)用 B 表示事件“y=f(x)有零点”,则 B 即为“a+1≥2b”. 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 为 {(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6}, 构 成 事 件 B 的 区 域 为 {(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,a-2b+1≥0},如图:

所以所求的概率为 P(B)=

= .

所以事件“y=f(x)有零点”发生的概率为 .


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