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柯西不等式

时间:2015-04-27


编号(学号): 201008140822

本科学生毕业论文(设计)手册
题 目: 柯西不等式在高中数学中的应用及价值分析 数学与信息学院 数学与应用数学 2010 级 13 班 学院名称: 专业名称: 年 级:

学生姓名: 学 号: 职称/学历:

指导教师:

成 绩 评 定

评价方式 及比例 成 绩

指导教师 评阅人 答辩小组 评价(60%) 评价(20%) 评价(20%)

最终 成绩

评定 等级

折算后成绩

●评定等级标准: “优” (90 分以上) ; “良” (80~89) ; “中” (70~79) ; “及格” (60~69) ; “不及格” (60 以下) 。

教务处 制

目录
摘要................................................................................................................................ 1 ABSTRACT. ...................................................................................................................... 1 绪论................................................................................................................................ 3 一、柯西不等式的简介 ............................................................................................... 4 1、柯西简介 .........................................................................................................................4 2、柯西不等式及其推论...................................................................................................4 2.1 一般形式的柯西不等式 .....................................................................................4 2.2 常用柯西不等式推论..........................................................................................6 3、柯西不等式的证明 .......................................................................................................7 二、柯西不等式的应用 ............................................................................................. 14 1、在证明不等式中的应用 ........................................................................................... 15 2、在证明恒等式中的应用 ........................................................................................... 17 3、在解决最值问题中的应用 ...................................................................................... 18 4、在三角函数中的应用................................................................................................ 19 5、在数列与不等式中的应用 ...................................................................................... 20 6、在解析几何中的应用................................................................................................ 21 三、柯西不等式在中学数学中的价值体现 ............................................................. 22 1、在高中教材中的作用................................................................................................ 22 1.1 与新课标的要求一致 ..................................................................................... 23 1.2 展现数学文化 ................................................................................................. 23 2、感受数学美 .................................................................................................................. 24 2.1 简单美 .................................................................................................................. 25 2.2 对称、和谐美 .................................................................................................... 25 3、数学思想的体现 ......................................................................................................... 26 3.1 换元思想 ............................................................................................................ 26 3.2 联想思想 ............................................................................................................. 26 3.3 构造思想 ............................................................................................................. 27 3.4 分类讨论思想 .................................................................................................... 27 3.5 转化思想 ............................................................................................................. 28
1

结论.............................................................................................................................. 29 参考文献 ..................................................................................................................... 30 致谢.............................................................................................................................. 31

柯西不等式在高中数学中的应用及价值分析
孟莎莎 数学与信息学院 数学与应用数学专业 2010 级 指导教师:唐春明 摘要:本文主要是对柯西不等式的各种表现形式及其推论进行了分析,详细地介 绍了柯西不等式的证明方法,如数学归纳法、构造二次函数法、向量法等,本文 选择的这些方法都是中学数学中常用的方法。 并通过列举了几种类型的例子来对 柯西不等式进行应用,如在证明不等式、恒等式方面的应用以及在三角函数、解 析几何和数列等方面的应用。 通过这些例子来说明柯西不等式在中学数学中的广 泛应用, 同时也说明了在新课标的要求下, 柯西不等式会频繁出现在高考试题中。 本文在最后提炼出了柯西不等式中所运用的数学思想方法, 只要掌握了这些数学 思想方法,那么在解题时会非常轻松自如。 关键词:柯西不等式;证明;应用;数学思想方法;

Proof of Cauchy inequality, application and value analysis
Mengshasha Department of Mathematics and Information, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Grade 2010, Instructor:tangchunming Abstract: This article is for all its manifestations and its corollary Cauchy inequality analyzes, detailed description of the Cauchy Inequality methods, such as mathematical induction, construct a quadratic function method, vector method, we choose these methods that are commonly used in high school mathematics methods. And by enumerating several types of examples to be applied to the Cauchy inequality, Such as in the proof of inequality, identity aspects of the application and the application in terms of trigonometric functions, analytic geometry and several other columns. Cauchy inequality through these examples, it is widely used in high school mathematics, but also explained that under the new curriculum requirements, Cauchy inequality will frequently appear in the Entrance Examination. In this paper final extract of the Cauchy inequality in the use of mathematical thinking, as long as the
1

master these mathematical thinking, problem-solving when it will be very easy. Key words: Cauchy inequality; prove; application; mathematical thinking.

2

绪论
在这个世界中,等量关系和不等量关系式普遍存在的。描述等量关系时可 以用等式来表示,描述不等量关系时也可以用不等式表示。与等量关系一样,不 等量关系也是数学研究中最基本的关系之一,同时也是我们认识世界的重要途 径。因此有必要研究不等关系和不等式。 在数学中,存在很多不等式,如均值不等式、排序不等式、Holder不等式等, 而柯西不等式是基本并且重要的不等式之一,也是推证其他许多不等式的基础。 同时柯西不等式在中学数学中也有着广泛的应用, 特别是在数学竞赛中有着不可 忽视的作用。很多问题都可以通过柯西不等式轻松的解决。同时,柯西不等式也 是新课改后出现在高中教材的新增内容。 柯西不等式也称Cauehy—Schwarz不等式,结构对称和谐、应用灵活广泛。 它从诞生到现在已经有一百多年的历史, 是经典不等式中的一个。 柯西不等式是 基本而重要的不等式, 是推证其他许多不等式的基础。 它不但在高等数学中有着 重要的作用,在数学分析、概率论和泛函分析等中都有涉及。而且在中学数学中 有着广泛的应用。 随着新课标的提出, 高考中也常常会应用到柯西不等式解决一 些实际问题或推导一些数学结论。 如果能够灵活巧妙地运用它, 可以使一些较为 困难的问题迎刃而解,从而节省解题时间,提高解题效率,甚至可以收到出奇制 胜、事半功倍的效果。作为教材新增内容,柯西不等式在以后的高考中将会表现 地很活跃,同时也将会是高考中的一个亮点,倍受命题专家的青睐。 本文将从柯西不等式的简介、柯西不等式的应用以及柯西不等式的价值体 现来讨论。在柯西不等式的简介中,主要讨论了柯西不等式的各种表现形式以 及它们的结构特点,然后对柯西不等式的证明方法进行诠释,对中学数学有何 意义。在柯西不等式的应用中,主要是介绍了它在证明不等式、恒等式时的应 用,同时也涉及到了柯西不等式在高考试题中也屡次出现,主要活跃在三角函 数、解析几何和数列与不等式这几个地方。对于柯西不等式在中学中的价值, 体现在其中所蕴含的数学思想方法以及在新课标下的理念要求, 我根据自己的 理解结合文献进行了分析。

3

一、柯西不等式的简介
1、柯西简介[1] 柯西(Cauchy),法国数学家、力学家。是第一个认识到无穷级数论并非多项式 理论的平凡推广而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家。柯西在大学期间, 就开始研读拉格朗日和拉普拉斯的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变 函数和微分方程等方面。他提出的关于极限论 ? - 方法,把整个极限过程用不等式 描述,后来经过改进形成的 ? - ? 方法一直沿用至今。此外,他还给出了如今通用 的函数连续性概念,给出定积分的第一个确切性定义等。同时,柯西对力学和天 文学,著作也非常丰富。共出版了 7 部著作和 800 多篇论文,以《分析教程》和 《关于定积分理论的报告》最为著名。 柯西具有极其崇高的学术价值。他是世界著名数学家.是数学分析严格化的开 拓者,复变函数论的奠基者,也是弹性力学理论基础的建立者。他是仅次于欧拉的 多产数学家。他的全集,包括 789 篇论著,多达 24 卷,其中有大量的开创性工作。 举世公认的事实是,即使过了将近两个世纪后,柯西的工作和现代数学的中心位置 仍然非常接近。他引进的方法,以及独一无二的创造力,开创了近代数学严密性的 新纪元。 本文所要研究的柯西不等式就是柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问 题时得到的一个重要不等式。柯西不等式的形式多种多样,证明方法很多,并且应 用广泛,值得研究。 2、柯西不等式及其推论 2.1 一般形式的柯西不等式 柯西不等式是数学中基本而且重要的不等式。在推广新课标理念下,人教版 选修 4-5《不等式选讲》将柯西不等式纳入了选修课程系统中。其表达形式为: 定理: 设 a1 , a2 , ???, an ; b1 , b2 , ???, bn 是实数,则

?a

2

1

? a2 ? ... ? an b1 ? b2 ? ... ? bn ? ?a1b1 ? a2b2 ? ... ? an bn ? ,
2 2 2 2 2 2

??

?

当 且 仅 当 bi ? 0?或a i ? 0或a i ? bi ? 0??i ? 1,2,3...,n? 或 存 在 一 个 数 k 使 得

ai ? kbi ?i ? 1,2,3...,n? 时等号成立。
以上不等式称为一般形式的柯西(Cauchy)不等式。

4

分析:1.在柯西不等式中,为了书写比较方便一般写为 ? ai

2

?b

2

i

? (? ai bi ) 2 。

2. 在 柯 西 不 等 式 中 , 因 为 当 b i ? 0?i ? 1,2,3...,n? 时 显 然 等 号 成 立 , 当

bi ? 0?i ? 1,2,3...,n? 时 , 我 们 也 可 将 条 件 ai ? kbi ?i ? 1,2,3...,n? 写 成 分 式 的 形 式
a1 a2 a ? ? ... ? i ?i ? 1,2,3...,n? 。等号成立是柯西不等式中一个非常重要的部分, b1 b2 bi
因此对等式成立的条件要分析透彻。 3.柯西不等式形式优美并且具有非常重要的应用价值,在不等式证明及数学 竞赛解题中应用广泛。 这个不等式限制条件少,a i , bi ?i ? 1,2,3...n? 可以为任意实数, 并且其低维形式(二维形式、三维形式)在高中数学中应用较多。 此外,还有几种比较常用的柯西不等式形式。
2 二维形式:若 a, b, c, d 都是实数,则 a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ? 当且仅当 ad ? cb

?

??

?

时,等号成立。 三维形式:若 a1 , a2 , ???, an ; b1 , b2 , ???, bn 是实数,其中 i ? 1,2,3 ,则

(a1 ? a2 ? a3 ) b1 ? b2 ? b3 ? ?a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ?
2 2 2 2 2 2

?

?

2

当且仅当 bi ? 0(i ? 1,2,3) 或 向量形式:设 ?,? 是两个向量,

a 1 a 2 a3 ?bi ? 0其中i ? 1,2,3? 时等号成立。 ? ? b1 b2 b3

则 ? ?? ? ? ?。

当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k 使得 ? ? k? 时等号成立。 二维形式的三角不等式:设 x1 , x2 , y1 , y2 ? R ,那么
2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2) 成立。 2 2 2 2

在高中教材中,先是给出我们二维形式的柯西不等式,然后才归纳出一般形 式的柯西不等式的。教材要求我们不仅要掌握柯西不等式,而且还有领略这些不 等式(尤其是二(三)维形式的柯西不等式)的数学意义、几何背景、证明方法 及其应用,感受数学的美妙,提高数学素养,培养数学兴趣。下面在证明了一般 形式的柯西不等式后,还会进一步对二维形式的柯西不等式作进一步分析。二维 形式的三角不等式是根据两点间的距离公式以及三角形三边的关系得到的。是从
5

几何角度解释了柯西不等式,同时也能够用柯西不等式进行证明。 2.2 常用柯西不等式推论[2] 柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式,它的结构对称和谐,具有极 强的应用性,证明简洁,深受人们的喜爱。因此,本文将此定理作进一步剖析, 参考大量的资料总结出高中常用的几种推论, 不管是解题上还是在数学思想上对 我们都会有所裨益。 推论一:对任意的两组实数 ai 、 bi ? i ? 1, 2,.., n ? ,有

? ai ?
2 i ?1

n

? bi ?
2 i ?1

n

?a b
i ?1

n

i i



当 且 仅 当 bi ? 0?或a i ? 0或a i ? bi ? 0??i ? 1,2,3...,n? 或 存 在 一 个 数 k 使 得

ai ? kbi ?i ? 1,2,3...,n? 时等号成立。
2

n),则 推 论 二 : 设 ai ? R,bi ? 0(i ? 1,2,3.......

ai ? ? i ?1 bi
n

(? a i ) 2
i ?1 n

n

?b
i ?1

, 当 且 仅 当 b i ? ?ai

i

( 1 ? i ? n )等号成立。
n

推 论 三 : 设 ai , bi 同 号 且 不 为 0 ( i=1,2,3…..n ) , 则

?b
i ?1

ai
i

?

(? a i ) 2

n

?a b
i ?1

i ?1 n

,当且仅当

i i

b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn 。
推论四:

1 1 1 1 n2 ? ? ? ... ? ? (ai ? R ? , i ? 1,2,3...,n). a 1 a 2 a3 an a1 ? a2 ? ... ? an

推论五: 设ai ? R, 有 n a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an

?

2

2

2

2

? ? ?a ? a
1

2

? a3 ? ... ? an ? .
2

注:1、在上面此种形式也可以写成 ?
i ?1

n

n ai n a b ? ( ai ) 2 。在解题时可以根据情 ? ? i i bi i ?1 i ?1

况选择不同的形式。 2、为方便书写,推论四也可写成 ?

1 n2 ? ai ? R ? , i ? 1,2,3,...,n , a i ? ai

?

?

6

推论四也可写成 n ? a i ? ?? ai ? ?ai ? R ? , i ? 1,2,3,...,n ?.
2 2

因为这 5 个推论,均可通过柯西不等式证明,下面我们只做简单分析。 对于推论一,只是柯西不等式的一个变形,不等式两边开方得到的一个比较 常用的不等式。 对于推论二和推论三类似,现以推论三为例。作这样一个变形:
n

? b ?b
i ?1 i i ?1

ai

n

i

,而 n) ) ? (? ai ) 2 (因为 bi ? 0(i ? 1,2,3....... (? ai ) 2 ? (?
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

ai 2 ,因此可 ? bi) bi

得到推论二(推论三) 。 对于推论四:由柯西不等式得:
n 1 n 1 a ? ( ? ai ) 2 , (ai ? R ? , i ? 1,2,3...,n). ? ? ? i a ai i ?1 i i ?1 i ?1 n

而 (?
i ?1

n

1 ai

? ai ) 2 ? n 2 ,由此得证。

对于推论五:可将式子看成
(12 ? 12 ? 12 ? ... ? 12 ) a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? . ???? ???? ?
2 2 2 2 2
n

?

?

很明显,可以直接用柯西不等式证明。 3、柯西不等式的证明 证明柯西不等式的方法有很多种,为符合高中数学知识体系以及新课标的要 求,提高学生的解题能力和思维方式,本文将给出以下几种证明方法。当 bi ? 0 均不考虑这种情况。 1) 、用直接法证明: 用直接法就是直接从表达式入手,观察有何特点。一般可以通过移项变形, 让不等式恒与一个常数比较(如与“1 或 0”比较) 。在这我们采用将右边的式子 除到左边(即与“1”比较) ,此时就比较好证了。 不妨设 A ? ? ai ,
2 2 B ? ? bi ,

?或a i ? 0或a i ? bi ? 0??i ? 1,2,3...,n?时,显然柯西不等式是成立的。因此下面的证明

C ? ? ai ? bi ,其中 ?i ? 1,2,3...,n? ,

即证明此式 A ? B ? C 2 成立。

7

AB ?1 ? C2

?ai B
2 i ?1

n

C2
n 2

?

?b
i ?1

n

i

B
2

(此时将 B,C 看成常数即可变成下式)

a B n b ?? i 2 ?? i i ?1 C i ?1 B a B b ? ?( i 2 ? i ) B C i ?1
n 2 2

(利用均值不等式可变成下式)

a B b ? ?2 i 2 ? i B C i ?1
n

2

2

? ?2
i ?1

n

ai bi ?2 C

因此有 即 ? ai

AB AB ? 1 ? 2 ,即 2 ? 1 。 2 C C
2

?b

2

i

? (? ai bi ) 2 其中 ?i ? 1,2,3...,n? 成立。柯西不等式得以证明。
2 2

2) 、用数学归纳法证明[3]: 当 n ? 1 时,不等式左边= a1 ? b1 ,不等式右边= (a1 ? b1 ) 2 ,显然有
2 2 a ? b1 = (a1 ? b1 ) 2 ,故不等式成立。

当 n ? 2 时,不等式左边= (a1 ? a2 ) b1 ? b2 ,

2

2

?

2

2

?

? a1 b1 ? a1 b2 ? a2 b1 ? a2 b2
? (a1b1 ) 2 ? 2a1b1a2b2 ? (a2b2 ) 2

2

2

2

2

2

2

2

2

= (a1b1 ? a2 b2 ) 2 =不等式右边。 故不等式成立。 当且仅当 a 2 b1 ? a1b2 ,即

a1 a 2 时等号成立。 ? b1 b2
2 2

假设当 n ? k 时不等式成立。即:

?a

2

1

? a2 ? ... ? ak b1 ? b2 ? ... ? bk ? ?a1b1 ? a2b2 ? ... ? ak bk ?
2 2 2

??

?

2

8

或 ? ai

2

?b
2

2

i

? (? ai bi ) 2 (i ? 1,2,3...,k ) 。

当且仅当 ai ? kbi ?i ? 1,2,3...,k ? 时等号成立。 不妨设 A ? ? ai

B ? ? bi

2

C ? ? ai ? bi
2 2

那么当 n ? k ? 1 时,

不等式右边 ? a1 ? a2 ? ... ? ak ? a k ?1 b1 ? b2 ? ... ? bk ? bk ?1

?

2

2

??

2

2

2

2

?

? A ? ak?1 B ? bk ?1 ? AB ? Ab k ?1 ? Bak ?1 ? ak ?1 bk ?1 ? C 2 ? Abk ?1 ? Bak ?1 ? ak ?1 bk ?1
2 2 2 2

?

2

??

2

?

2

2

2

2

? C 2 ? 2 AB ak ?1bk ?1 ? ak ?1 bk ?1 ? C 2 ? 2 Ca k ?1bk ?1 ? ak ?1 bk ?1
2 2

2

2

(应用推论一)

? (C ? a k ?1bk ?1 ) 2 ? (a1b1 ? a2b2 ? a 3b3 ? ... ? ak ?1bk ?1 ) 2
故当 n ? k ? 1 时,不等式成立。 综上所述,得知柯西不等式成立。 数学归纳法在高中数学是必须掌握的一种方法,在证明题中,其他方法都比 较难想到的话,一般都可以用数学归纳法来解决。应该说是一种比较受用的一种 方法。因此选择数学归纳法来证明柯西不等式,让学生在明白如何证明的同时又 重温了数学归纳法这种数学方法。 3) 、用向量法证明[18]: 设 ? ? ?a1 , a2 , a3 ,..,an ?, ? ? ?b1 , b2 , b3 ,..,bn ? ? R n ,其中 a 1 , a2 ,...,an ; b1 , b2 ,...bn 为任意
两组实数。由向量的长度定义得 ? ? a 1 ? a2 ? ... ? an , ? ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,
2 2 2 2 2 2

根据向量内积的定义,可得 ? ? ? ? ? ? cos? ,其中 ?是?与?的夹角, 其中 ? ? ? ? a 1b1 ? a2 b2 ? ... ? an bn . 因为 cos ? ? 1 ,所以 ? ? ? ? ? ? , 因此 a1 ? a2 ? ... ? an b1 ? b2 ? ... ? bn ? ?a1b1 ? a2b2 ? ... ? an bn ? 成立。
2 2 2 2 2 2 2

?

??

?

体会:这种方法比较容易理解,主要根据数量积的定义及余弦函数的取值范围 来证明的。可见,柯西不等式涉及范围及其广,也可以说明柯西不等式的应用范 围非常广,很多问题都可应用到柯西不等式。 4) 、用二维随机变量的数学期望证明[4]:

9

设二维离散随机变量 ?,? 的分布律分别为

?
p

a1

a2

… …

an
1n

?
p

b1 1n

b2
1n

… …

bn
1n

1n 1n

则由随机变量的数学期望公式得

1 n n n E ??? ? ? ? ai bi , E ?? 2 ? ? 1 ? ai 2 , E ?? 2 ? ? 1 ? bi 2 。 n n i ?1 n i ?1
又因为 E ??? ? ? E? 2 ? E? 2 , 所以 (
2

1 n 1 n 2 1 n 2 2 a b ) ? ( ( ? bi ) , ? ii ? ai ) n i ?1 n i ?1 n i ?1

2 即 (? ai bi) ? (? ai ) (? bi ) ,柯西不等式得以证明 ?4? 。 2 2 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

体会:用数学期望来证明柯西不等式是一种比较新颖的做法,既能证明不等式, 还加强了我们对随机变量数学期望之间的运算。将高中概率联系在一起,是新课 改的一个重要方向,又是高考中的一新热点。 我们要想证明柯西不等式,可以考。虑作差,即证明:
? n 2 ?? n 2 ? ? n ? ? ? ? ai ?? ? ? b j ? ? ? ? ai bi ? ? 0 ? i ?1 ?? j ?1 ? ? ? i ?1 ? n 2 ?? n 2 ? ? n ? ? ? ? ai ?? ? ? b j ? ? ? ? ai bi ? ? i ?1 ?? j ?1 ? ? ? i ?1
2 2

? ? n 2 ?? n 2 ? ? n ?? n ? ?? a jbj ? ? ? ? ai ?? b ? a b ? ? ? ? j i i ? ? ? ? ? i ?1 ?? j ?1 ?? j ?1 ? ? i ?1 ?
? ?? ai b j ??? ai bi a j b j
2 2 i ?1 j ?1 i ?1 j ?1 n n n n

?

n n 1 n n 2 2 n n 2 2 (?? ai b j ??? a j bi ? 2?? ai b j a j bi ) 2 i ?1 j ?1 i ?1 j ?1 i ?1 j ?1

?

1 n n 2 2 2 2 ai b j ? 2ai b j a j bi ? a j bi ?? 2 i ?1 j ?1

?

?

?

1 n n ?? ?ai b j ? a j bi ? ? 0 2 i ?1 j ?1
10

2

? n 2 ?? n 2 ? ? n ? 2 2 2 ? 因此得证: ? ? ai ?? ? ? b j ? ? ? ? ai bi ? ? 0 。即 ? ai ? bi ? (? ai bi ) ? i ?1 ?? j ?1 ? ? ? i ?1

2

当且仅当 a i b j ? a j bi ? 0(i,j ? 1,2,3, ...,n) 时,即

ai a j ? (i, j ? 1,2,3,...,n) 时等号成立。 bi b j

体会:用作差法证明比较简单,就是两式作差变形,作差后,通过配方、变 形等手段进行化简,最终利用平方式的非负性来证明作式子与 0 的大小关系。作 差法证明不等式是一种非常有效的方法,目标明确。此种方法容易理解,较为常 用。也可以用作商法来证明柯西不等式,在这里就不作证明了,判断时只需与“1” 进行比较。这里可以参考文献[3]。 5) 、用构造二次函数法(判别式法)证明:
构造函数 f ( x) ? ?a1 x ? b1 ? ? ?a2 x ? b2 ? ? ? ? ?an x ? bn ?
2 2
2 2 = a1 ? a2 ?

2
n ? bn ?

?

n ? an ? x 2 ? 2 ? a1b1 ? a2b2 ?

2 ? anbn ? x ? ? b12 ? b2 ?

由于

a1 ? a2 ? a3 ? . . ? . an ? 0
2

2

2

2

2

因此 f ?x ? ? 0 恒成立,需 ? ? 0 ,即: ? ? 4?a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ... ? an bn ?

? 4 a1 ? a2 ? a 3 ? ....? an ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn ? 0.
即是 a1 ? a2 ? ... ? an

?

2

2

2

2

??

2

2

2

2

?

?

2

2

2

??b

2

1

? b2 ? ... ? bn ? ?a1b1 ? a2b2 ? ... ? an bn ?
2 2

?

2

当且仅当 ai x ? bi ? 0(i ? 1,2,3...,n) ,



a1 a2 a ? ? ... ? n 时等号成立。 b1 b 2 bn

体会: ,这种方法是通过判别式 ? ? 0 来解决的。先根据平方式具有非负性,然后 利用二次函数恒小于零。这种在高中数学解题中是经常用到的,归纳这种的原因 有两个。第一,熟悉解题方法;第二,一些著名数学定理也是通过我们熟悉的方 法来证明的,因此我们要大胆的用简单的方法去研究一些复杂的数学问题。 6) 、用线性相关证明: 设 R n 为向量空间(n 维空间) 。 若设 ? ? ?a1 , a2 , a3 ,..,an ?, ? ? ?b1 , b2 , b3 ,..,bn ? ? R n ,在 n 为欧式空间里,对于任意的 向量 ?、? ,有不等式 ?,? 号成立, 根据向量内积的定义可知:
2

? ?, , ? ? ?,? ,当且仅当 ?与? 线性相关时,等

11

?a

2

1

2 2 2 2 2 2 ? a2 ? ... ? an b1 ? b2 ? ... ? bn ? ?a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn ? 成立。

??

?

当等号成立时, ?与? 线性相关,即存在实数 k ,1 ,使得 k? ? ? ? 0 。

a a a 1 有 ? ? ?? 或? ? ??,(其中 ? ? -k, ? ? - ) ,即有 1 ? 2 ? ... ? n 成立。 k b1 b 2 bn
故柯西不等式得以证明。 7) 、用构造数列来证明 [14]: 证明:构造这样的数列 ?s n ?

sn ? ?a1b1 ? a2b2 ? ... ? an bn ? ? a1 ? a2 ? ... ? an b1 ? b2 ? ... ? bn
2 2 2 2 2 2

?

??

2

?
2

则有 sn?1 ? sn

? ?a1b1 ? a2b2 ? ... ? an bn ? an?1bn?1 ? ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 b1 ? b2 ? ... ? bn?1
2 2 2 2 2 2

?

??

?
2

? ?a1b1 ? a2b2 ? ... ? an bn ? ? a1 ? a2 ? ... ? an b1 ? b2 ? ... ? bn
2 2 2 2 2 2

?

??

2

?
2

? 2a n?1bn?1 ?a1b1 ? a2b2 ? ... ? an bn ? ? a1 ? a2 ? ... ? an bn?1 ? b1 ? b2 ? ... ? bn an?1
2 2 2 2 2 2

?

?

?

? ? ?a1bn?1 ? ? 2a1b1an?1bn?1 ? ?b1an?1 ? ? ... ? ?an bn?1 ? ? 2an bn an?1bn?1 ? ?bn an?1
2 2 2

??

?

?

? ? ??
2

变形整理可得:

sn?1 ? sn ? ? ?a1bn?1 ? b1an?1 ? ? ?a2bn?1 ? b2 an?1 ? ? ... ? ?an bn?1 ? bn an?1 ?
2 2

?

2

?

因此

sn?1 ? sn ?? 0

?n ? N ? 。

所以数列 ?s n ? 单调减小,从而有对一切 n ? 1, 有 sn ? sn?1 ? ... ? s1 ? 0 。即 s n ? 0. 故不等式成立。 分析:这是结合数列来证明不等式的,关键是构造了一个每项逐渐减小的数列, 然后当 n 趋于无穷小的时候,肯定存在一项 s1 ? 0 。即是有 s n ? 0. 因此就可以证明 柯西不等式。 以上七种证明柯西不等式的方法是我查阅资料并加上自己的理解整理得到的, 此外,还有很多证明柯西不等式的方法,在这里就不一一作介绍了。这充分体现 了柯西不等式的重要性和证法的多样性。因为高中教材中给出了二维形式的柯西 不等式,并且应用的也比较多,下面我们分析二维形式的柯西不等式的数学意义、 几何背景及其证明方法。

12

二维形式:若 a, b, c, d 都是实数,则 a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ? 当且仅当 ad ? cb 时,等号成立。 证明: a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? a 2 c 2 ? b 2 d 2 ? a 2 d 2 ? b 2 c 2 ,

?

??

?

2

?

??

?

? a 2 c 2 ? b 2 d 2 ? a 2 d 2 ? b 2 c 2 ? (ac ? bd) 2 ? (ad ? bc) 2 , ? ?a 2 ? b 2 ??c 2 ? d 2 ? ? (ac ? bd) 2 ? (ad ? bc) 2 ,
又 ? (ad ? bc) 2 ? 0,因此 a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ? 成立。
2

?

??

?

a c ? 取等。 b d 首先,从形式上来看,不仅在排列形式上律明显,具有简洁。对称的美感;而 且在数学和物理中也有重要作用。从数字上看,它反映了 4 个实数之间特定的数 量关系。它是一般柯西不等式的最简单的形式,因此证明一般柯西不等式的证明 方法二维的同样能够证明。上面是高中教材中的证明方法,比较简单。 根据二维形式的不等式,我们还可以继续变形得到下面的两个式子。

等号成立的条件,显而易见当 ad ? bc ? 0 时,即

对于 a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ?
a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ?

?

??

?

2

,可以得出

?a

2

? b2 c2 ? d 2

??

?
a c ? )时,取得等号。 b d

?

?ac ? bd ?2

? ac ? bd ;当且仅当 ac ? bd (或

a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ?

a ?b

2

2

c ?d

2

2

(应用两次柯西不等式)

? ac ? bd ;当且仅当 a ? b , c ? d 时,取得等号。
因此,对于任意实数 a , b, c, d , 都以下不等式成立:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd , a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd 。

对于上面得到的两个不等式结论,应该掌握,在高中解题中经常会用到。 对于一个代数结果进行最简单的诠释,往往要借助直观的几何图形,下面我 们来看一下这个不等式的几何意义。
(a, b) 如图 1,设在平面直角坐标系中有向量 OA ? ? ? , OA ? ? ? (c, d ) ,两个向


13

的夹角为 ? ,0 ? ? ? ? 。 根据向量的数量积的定义,我们有

? ? ? ? ? ? cos? .
所以

? ? ? ? ? ? cos? .

因为 cos? ? 1, 所以 ? ? ? ? ? ? , 用平面向量的坐标表示不等式。可以得到
ac ? bd ? a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 .

两边平方可得: (ac ? bd) 2 ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) 。 即可得到二维形式的柯西不等式,由此可知,二维形式的柯西不等式是向量 形式的不等式的坐标表示。若向量 ?,? 中有零向量,则 ac ? bd ? 0, 即可等号 成立。若向量 ?,? 都不是零向量,则当 cos? ? 1, 也即是向量 ?,? 共线时 ( ? ? k? , k ? 0 ) ,等号成立。 因此这就是二维形式的几何意义,且我们也从中得到了它的向量形式,即

? ? ? ? ? ? 当且仅当 ?(或?)是零向量,或? ? k? , k ? 0 时,等号成立。
以上就是柯西不等式的二维形式的几何意义及其简单的理解。 一个重要且基础的不等式都会有很多推论和推广的。因此,我们不仅要知 道定理的内容、证明方法,而且还要知道它的推论、推广。更重要的是要 知道如何运用这些不等式。柯西不等式的运用非常广泛,下面就探讨柯西 不等式的几类应用。

二、柯西不等式的应用
柯西不等式作为基础而重要的不等式,其价值是不可估量的,它在解决一些 实际问题或推导一些数学结论上非常的有用如果能灵活巧妙地运用它, 就可以使 一些较为困难的问题迎刃而解,亦可使一些复杂繁琐的题目简单化,从而可以拓 宽解题思路,节省解题时间,提高效率,尤其是在国际数学竞赛上但是,柯西不 等式的运用非常灵活并且技巧性强,很多时候都找不到突破口,无法直接入手。 因此,在应用柯西不等式解题时,首先要分析其结构,其次能创造条件灵活运用 柯西不等式。创造条件就是如何构造柯西不等式中出现的两个数组

a i 和bi (i ? 1,2,3, . . n .) , 。下面通过具体的例子介绍柯西不等式在以下几类问题中的
14

应用,希望能对大家有所帮助。 1、在证明不等式中的应用 在证明不等式时,联系经典不等式,既可以启发证明思路,又可以简化运算, 所以经典不等式是数学研究的有力工具。作为经典不等式的柯西不等式,在证明 不等式成立时,方法简洁,思路清晰。运用柯西不等式证明某些不等式可以将看 似无头绪的难题不攻自破,清楚明了。下面针对例题进行仔细分析。 1 1 1 ? ? ? 0. 例 1 [5]已知 a ? b ? c.,求证: a -b b ?c c ? a 证明:?

1 1 1 1 n2 ? ? ? ... ? ? (ai ? R ? , i ? 1,2,3...,n). a 1 a 2 a3 an a1 ? a2 ? ... ? an
又? a ? b ? c.

? a - b ? 0 , b - c ? 0, c ? a ? 0 满足推论四中条件,
?
1 1 22 4 ? ? ? , a -b b ?c a ?b ?b ?c a ?c

当且仅当

?a ? b?

1

2

?

?b ? c ?2

1

,而 a ? b ? c. 因此等号不成立,

1 1 1 4 1 3 ? ? ? ? ? ? 0。 a -b b ?c c ? a a ?c c ? a a ?c 1 1 1 ? ? ? 0 成立。 故不等式 a -b b ?c c ? a 分析:证明这一个问题比较简单,只需用推论四即可。在选择应用柯西不等 式还是其推论时,一定要看清不等式的结构,适合应用哪个结论。在这个题里面 我们一定要注意根据题的要求来使用柯西不等式及其推论。 题中不等式有三个式 子,而我们只对两个式子用柯西不等式推论来放缩,原因很简单,如果全部放缩 了的话,分母为 0,是无意义的,因此在应用过程中一定要注意式子是否有意义。

?

例 2 [7] 设 a, b, c ? R ? , 且 a ? b ? c ? 1, 求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 9abc. 证明:因为因 a ? b ? c ? 1, 此由柯西不等式可得:
3 3 3 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? (a a ? b b ? c c) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2

3

3

3

又因为

a2 ? b2 ? c2 ? 3 a2 ?b2 ?c2

3

3

3

3



15

3 3 2 ? 3 3 3 3 ? 3 ? ?3 a 2 ? b 2 ? c 2 2 2 2 ? a ? b ? c ? 所以 ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? 9abc 成立。 ? ?

2

1 当且仅当 a ? b ? c ? 时取得等号。 3 分析 :巧添因式就是在待证不等式的一边或者在待求最值得代数式乘上 或加上一个因式(数) ,使得它的结构转化为柯西不等式(或它的推论)的结 构形式。从而实现应用柯西不等式来解决问题。在应用柯西不等式时我们经常 采用这种方法。这道证明题是在 a ? b ? c ? 1 为条件下来证明不等式成立的。在 做这样的题时,我们可以巧妙的运用“1”来解决此问题。这道题的妙处就是 利用了这一点,在不等式左侧乘上了一个“1” ,不改变式子的值,从而实现应

用柯西不等式来证明。 (1984 列宁格勒数学竞赛题)设 a, b.c ? R ? , 且 a ? b ? c ? 1, 求证: a 3b ? b 3 c ? c 3 a ? abc. ?9? 这道题与例 2 类似,读者可根据例 2 自行证明。 例 3 [10]如果 x, y, z ? 1 且
1 1 1 ? ? ? 2 ,证明: x y z

x ? y ? z ? x ? 1 ? y ? 1 ? z ? 1.
证明:考虑柯西不等式的推论一

? ai ?
2 i ?1

n

? bi ?
2 i ?1

n

?a b
i ?1

n

i i

得:

x? y?z?

x ?1 y ?1 z ?1 ? ? ? x ? 1 ? y ? 1 ? z ? 1. x y z

因为

?1 1 1? x ?1 y ?1 z ?1 ? ? ? 3?? ?x ? y ? z? ? ?1 x y z ? ?

所以 x ? y ? z ? x ? 1 ? y ? 1 ? z ? 1 成立。 分析:在做这道题之前首先要分析这个不等式有什么特点。首先注意到
1 1 1 ? ? ? 2, x y z

因此其中肯定能化简成这种形式。此时,我们可以猜想,如果用柯西不等式的 话,那么应用它的推论 1,因此考虑柯西不等式的推论一,

?a
i ?1

n

2 i

?

?b
i ?1

n

2

i

?

?a b
i ?1

n

i i

16

根据柯西不等式的结构形式得: a 1 ? x, b1 ?
a3 ? z , b3 ?

x ?1 y ?1 , a 2 ? y, b2 ? , x y

z ?1 . 这样, 我们就可以应用柯西不等式了。 但是我们添加的这一项 z

1 1 1 x ?1 y ?1 z ?1 是不是与 ? ? ?2 有关呢?当然是有关的 ? ? x y z x y z

?1 1 1? x ?1 y ?1 z ?1 ? ? ? 3?? ?x ? y ? z? ? ? 1 ,因此我们巧妙的应用柯西不等式的推 x y z ? ?
论 1 证明了这个看似复杂的难题。 2、在证明恒等式中的应用 例1 [10] 已知 a 1 ? b 2 ? b 1 ? a 2 ? 1 求证: a 2 ? b 2 ? 1 。 ,

证明:由柯西不等式,得
2 (a 1 ? b 2 ? b 1 ? a 2) ? a2 ? 1 ? a2 b2 ? 1 ? b2

?

?

???

?

??

当且仅当

b 1? a2

?

1? b2 时 ,上式取等号。 a

? ab ? 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 , a 2 b 2 ? ?1 ? a 2 ??1 ? b 2 ?, ? a 2 ? b 2 ? 1 。
分析:利用柯西不等式来证明恒等式,主要是利用其取的等号时充分必 要条件来达到目的的,或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获的证明。我 们根据式子的特征来选择所要增添的项,在给出的式子中肯定涉及了柯西不 等式中的 a i 和bi ,只要选择合适,构造出来的就可以是个常数。此题中的

a 1 ? a, b1 ? 1 ? b 2 , a2 ? 1 ? a 2 , b2 ? b 。
例2 已知 A, B 为锐角,且

? cos4 A sin 4 A ? ? 1, 求证: A ? B ? . 2 2 2 sin B cos B

证明:构造两组实数

cos2 A sin 2 A , ; sin A, cos B. 由柯西不等式,得: sin B cos B

? cos4 A sin 4 A ? ? cos2 A ? sin 2 A 2 2 ? ? ? ? ? sin B ? cos B ? ? sin B ? ? cos B ? sin 2 B cos2 B ? ? sin B ? cos B ? ? ? ?

?

?

2

17

因为

cos4 A sin 4 A ? ? 1, 所以有 1=1 是恒成立的。从而等号成立的条件为: sin 2 B cos2 B

cos2 A sin 2 A ? cosB ? ? sin B 即 cos2 A ? cos2 B ? sin 2 A ? sin 2 B sin B cos B

又因为 A, B 为锐角,所以得到 cos A ? cos B ? sin A ? sin B , cos(A ? B) ? 0
. 2 分析:这是一道关于证明三角函数的恒等式,同样也是利用了等号成立的 条件来证明的。 证明过程中最重要的就是找出柯西不等式中的两个实数组, 然后再适当的选取他们的顺序,就很容易解决这道题了。

所以 A ? B ?

?

3、在解决最值问题中的应用 例 1 [15]已知 a, b, c ? R ? 且a ? b ? c ? 1, 求 4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 的最大值。 解:由柯西不等式得 4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1

?
?

?

4a ? 1 ?1 ? 4b ? 1 ?1 ? 4c ? 1 ?1

?
21

??4a ? 1? ? ?4b ? 1? ? ?4c ? 1???12 ? 12 ? 12 ? ?

1 时,取得最大值 21 。 3 分析:这是在已知一次形式的条件下,去求根式的最大值问题。在这个问题

当且仅当 a ? b ? c ?

中我们巧妙地运用了 “1” , 联想柯西不等式我们构造这样两组数组: 4a ? 1 ,

4b ? 1 , 4c ? 1 , 1,1,1,因此,我们可以将式子变形为:

?

4a ? 1 ?1 ? 4b ? 1 ?1 ? 4c ? 1 ?1 。

?

然后应用柯西不等式,求得最大值,且等号成立的条件: 1 4a ? 1 = 4b ? 1 = 4c ? 1 ,即 a ? b ? c ? 时,取得最大值。 3 例 2 [16] 已知:设 x ? y ? z ? 1, w ? 2x 2 ? 3 y 2 ? z 2的最小值。 解:由目标函数可构造向量 ? ?

?

2x,3y, z , 由条件可得 ? ? ? ? x ? y ? z ,

?

18

? 1 1 ? 可设 ? ? , ,1? ? ?, ? 2 3 ?

由柯西不等式可得:

? ? ? ? x ? y ? z ? ? ? ? 2x 2 ? 3y 2 ? z 2
2x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ?

1 1 ? ?1 2 3

6 6 即: 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 。 11 11 6 . 11

等号成立的条件是: ? ? ?? ,代入 x ? y ? z ? 1 即可得到 ? ? 所以 x ?

3 2 6 6 , y ? , z ? . 取得最小值 。 11 11 11 11 分析: 这是一类求最值的题型, 在已知一次形式的条件下, 求二次形式的最小值。 同样,我们巧妙地运用了“1” ,构造出了柯西不等式中的两个数组。 与上一题 类似。 那么我们还可以用柯西不等式的向量形式来求解, 上面详细介绍了求解过 程。在我查阅大量文献后,了解到了在求最值问题中,有几个类型,在本文就不 一一展开说明,有兴趣的可参考文献[16]。

4、在三角函数中的应用 例 1 [12](2008 年浙江卷(理) )若 cos? ? 2 sin ? ? - 5, 则 tan ? ? ( A、 ) 。

1 1 B、 2 C、 D、 - 2 2 2 分析:这是一道高考题,选择题我们可以用排除法,也可以用直接法。

利用 cos? ? 2 sin ? ? - 5 和 sin 2? ? cos2 ? ? 1 求解得到 sin ?和cos ? ,就可以 解决这个问题了,但是这种解法比较繁琐。下面我们将用柯西不等式来证明。

(cos? ? 2 sin ? ) 2 ? (12 ? 2 2 )(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 5 ,又因为 cos? ? 2 sin ? ? - 5 ,
2 所以有 (- 5) ? 5 ? 5 恒成立,等式成立的条件是

tan ? ? 2。故选 B。

1 2 ? ,因此可得到 cos ? sin ?

例1

已知 ? 为锐角, a, b ? R ,求证: ?a ? b ? ?
2

a2 b2 ? . cos2 ? sin 2 ?
2 2

b ? ? a ? ? b ? ? a 证明:设 m ? ? , ? ?? ? ?, n ? ?cos? , sin ? ? ,则 m ? ? ? cos? ? ? sin ? ? ? cos? sin ? ?
n ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 , m ? n ?
19



a b ? sin ? ? ? sin ? ? a ? b, cos ? sin ?

? a ? ? b ? ? a ? ? b ? 因为 a ? b ? m ? n ? m n ? ? ? ?? ? ?1 ? ? ? ?? ? , ? cos? ? ? sin ? ? ? cos? ? ? sin ? ?

2

2

2

2

所以 ?a ? b ? ?
2

a2 b2 ? , 当且仅当 tan? ? a ? cot? ? b, 等号成立。 cos2 ? sin 2 ?

分析:待证的不等式右边是平方和的形式,且分母满足 sin 2? ? cos2 ? ? 1,

b ? ? a 因此可构造向量 m ? ? , ?, n ? ?cos? , sin ? ? ,应用柯西不等式的向 ? cos? sin ? ?
量形式来证明。这一证明充分应用了 sin 2? ? cos2 ? ? 1 这一隐含条件,我 们应当认真分析,广泛联想才能发现的条件,许多题目中只有恰当地利用 隐含条件,才能顺利、简洁地求解。 5、在数列与不等式中的应用

3an 3 例 1 [12] 已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? , an?1 ? , n ? 1,2,3... 。 5 2an ? 1
(1)求 ?a n ?的通项公式; (2)证明:对任意的 x ? 0, an ?

1 1 ? 1 ? x ?1 ? x ?2

? 2 ? ? n ? x ?, n ? 1,2,3..., ?3 ?

(3)证明: a1 ? a 2 ? ... ? a n ?

n2 . n ?1

分析:本题是 2008 年陕西(理的)一道递推数列与不等式综合的压轴题。 第(1) 、 (2)题比较简单,我们在这只看第(3)题的解法。在第(3)题中 要应用第(2)题中的结论来证明,是容易想到的,但是在过程中有些地方 是不容易想到的,因此,如果能联想到柯西不等式的推论即可巧妙的解决这 个问题,现用推论四:

1 1 1 1 n2 ? ? ? ... ? ? (ai ? R ? , i ? 1,2,3...,n). 来证明。 a 1 a 2 a3 an a1 ? a2 ? ... ? an
解:由(1)可知, a n ?
3n 1 2 ? 0, 且 ? 1 ? n , 由柯西不等式得: n an 3 ?2 3

20

(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? (

1 1 1 ? ? ... ? ) ? n 2 ,所以 a1 a2 an

n2 a1 ? a2 ? ... ? an ? ? 1 1 1 2? 2? ? 2? ? ? ? ? ... ? ?1 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? .. ? ?1 ? n ? a1 a 2 an ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ?
n2 ? ? . 1 n ?1 n ?1? n 3 n2

n2

故不等式得以证明。 由此可见,柯西不等式虽然只是来自新课程教材的选修内容,但是从上面 的例题中可以看出,以柯西不等式为背景的题,已经慢慢的进入到高考试题中 来,涉及到的技巧也很巧妙,经常出没在高考压轴题中,从这方面可以反映出 一个学生的思维能力和对数学的掌握能力。因此,灵活的运用柯西不等式求解 是越来越重要了,学生掌握柯西不等式的应用技巧也成为了必然趋势。作为教 师,对柯西不等式的应用要引起高度重视。 6、在解析几何中的应用 例 1 [17]已知椭圆 C: 的坐标。 解:设切点 p( x0 , y0 ) ,则有 点 p( x0 , y0 ) 在椭圆上:
x2 y2 ? ? 1与直线 l :6x ? 8 3 y ? 48 ? 0 相切,求点 p 16 9

x0 y ? 0 ? 1, 16 9

2

2

点 p( x0 , y0 ) 还在直线 l 上: 6x0 ? 8 3 y0 ? 48 ? 0 由柯西不等式得: 48 ? 6x 0 ? 8 3 y 0 ? 24 ?
x0 y ? 24 3 ? 0 4 3
2 2

x y ? 24 ? 24 3 ? 0 ? 0 ? 48. 16 9
2 2

?

?

21

y0 x0 3 3 当且仅当 4 ? 3 等号成立,即 y 0 ? x0 , 代入直线方程得 24 24 3 4

x0 ? 2, y 0 ?

? 3 3? 3 3 ? . 故切点 p 的坐标为 ? ? 2, 2 ?. 2 ? ?

分析:在高考数学试题中,圆锥曲线的题是必不可少的,而柯西不等式常 常在这其中出没。解决这样的问题。因此,能够灵活的运用柯西不等式及其推 论是非常重要的。本题中在构造柯西不等式时利用了恒等式等号成立的条件。 按照常规思路,相切就要求切点,即联立方程组解出切点坐标,但是工作量非 常的大,因此如果能够联想到运用柯西不等式,那么问题就会变得简单了。 此外,柯西不等式还在很多方面有应用,如在解方程组,在平面几何中都 有着重要的应用。在这里,本文就不在一一介绍了,如果有兴趣,可查阅相关 文献。在上述柯西不等式的应用中主要是围绕高考试题中来举例的。我认为, 在高考试题中, 已经有很多题尤其是压轴题中涉及不等式的基本都会用到柯西 不等式。因此,我查阅相关文献,根据自己的理解,整理出来,供大家参考。

三、柯西不等式在中学数学中的价值体现
1、在高中教材中的作用 柯西不等式选自选修4—5 不等式选讲中的第三讲 柯西不等式与排序不 等式。不等式选讲是对以前所学的不等式内容的拓宽、深化,通过不等式的 证明、不等式的几何意义、不等式的文化背景,从不等式的数学本质上加以 剖析,从而提高学生的逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。这本教 材主要内容包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的 基本方法。主要考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明及其应用。要求 学生了解证明不等式的基本方法如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩 法、数学归纳法等,会用这些方法证明一些简单的不等式。考查学生的推理 论证能力和分析问题解决问题的能力。那么对于柯西不等式的学习,就符合 本教材的目标。 因为在柯西不等式中蕴藏着很多的证明方法和数学思想方法。 还有柯西不等式的作用不仅仅是在这本教材中,在整个高中教材中都有着非 常重要的作用。

22

1.1 与新课标的要求一致 在数学教学目标上,新课程标准提出了知识与技能、过程与方法、情感态 度与价值观的三位一体的目标,把过程性目标、情感体验目标摆在与知识技能 目标同等重要的地位。把知识性目标与发展性目标有机结合,体现在“知识与 技能、数学思考、解决问题、情感与态度”四个方面。注重在素质教育目标下 关注学生的发展,关注学生的“学”,淡化了某些非数学本质的术语和概念, 打破了“以学科为中心”的传统观点,更体现了以人为本的人性味道。但在实 际的教学过程中应如何把握好发展性目标, 处理好 3 者的关系却是数学教师面 临的又一现实性挑战。而柯西不等式就更好地体现了三基的要求。在知识与技 能这一方面,要现在不仅要求学生掌握重要公式的结构形式,而且还理解其证 明方法和几何意义。柯西不等式就体现的非常充分。因为柯西不等式 的推论、 变形、 推广有很多, 证明方法也有很多种。 在过程与方法中也发挥的淋漓尽致。 因为其中蕴含了很多数学中重要的数学思想方法如转化法、换元法、构造法、 数形结合法等等。还有就是充分体现了“再创造”过程,因为数学的“再创造” 过程是一种创新性的活动,也是新课标的要求,要求教师在教学中应该培养学 生的创新精神。柯西不等式的推导过程就显示了一种“再创造”的过程。柯西 不等式的推导是从它最简单的形式:二维形式进行推导的。顺应学生思维展开 的,然后再通过它的几何意义得到柯西不等式的向量形式,这样使学生更容易 理解,并且也沟通了代数与几何的联系。那么创新就体现在柯西不等式的证明 方法可谓是多种多样。若能够让学生自己独立尝试证明,这样可以培养学生的 创新思维,还能使学生的知识结构成为体系,能更好的运用、融合知识。 1.2 展现数学文化 普通高中数学课程标准在“课程基本理念”中指出“数学是人类文化的重要 组成部分” 。 数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势,数学对推动 社会发展的作用,数学的社会需求,社会发展对数学发展的推动作用,数学科 学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了 解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观。为此,高中数学课 程提倡体现数学的文化价值,并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要 求,设立“数学史选讲”等专题。而柯西不等式作为一个基础而重要的不等式, 也有着它的历史、应用和发展趋势。在教学过程中,作为教师,应当介绍柯西 的一生,他是如何学习数学的,在数学方面是如何奋斗的。不仅让同学们了解 他,掌握柯西不等式在解题方面的应用,还能了解数学文化。这样才能更好地
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理解柯西不等式,提高学生学习数学的兴趣。所以说在教学上,重视柯西不等 式的历史价值,是培养学生学习数学兴趣不可缺少的重要课程。 2、感受数学美 数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的显现,是一种人的本质力量 通过宜人的数学思维结构的呈现。它是自然美的客观反映,是科学美的核心。 柯西不等式就具有数学美的多种特征。 古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学有很深的造诣,他认为万 物最基本的元素是数,数的和谐---这就是美。 克莱因也曾说过数学是人类最高超的智力成就,也是人类灵魂最独特的创 造。音乐能激发或挠慰情怀,绘画能使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使 人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切。 庞加莱也曾有对数学美的独特见解:数学家们十分重视他们的方法和理论 是否十分优美,这并非华而不实的作风,那么到底是什么使我们感到一个解答、 一个证明优美呢?那就是各个部分之间的和谐、对称、恰到好处的平稳。 数学美来源于实践,是反映自然界在数量关系与空间形式上目的性和规律 性的和谐统一。人们从实践中去寻找数学规律,去发现数学美。教师在给同学 们上课时也应该展示出数学的美,给同学们以愉悦、兴奋的感觉,让学生对数 学产生兴趣,喜欢数学。 但是,在现在的学生中有很多的学生很讨厌数学,我在大学期间有做一些 家教,他们就是觉得数学没意思,很枯燥,数学太难,上课时也想听就是听不 懂,然后没办法,听着听着就睡着了。那么这一现象是怎么产生的呢?我认为 可能是他们没有从本质上发现数学的美,缺少发现的眼睛。那么这双眼睛就需 要教师去充当,带领学生发现数学的美,对数学产生兴趣。 那么我们如何在数学教学过程中展现数学美呢?作为一名教师,我认为现 在教学中太重视应试教育了,都是为了高考而学习,好像失去了学习的本质。 因此我认为在我们教学时,应该让学生在数学学习中能感受和欣赏数学美,因 为只有发现数学的美,才会提升学生学习数学的兴趣,才会喜欢上数学,这样 成绩才能有所提高。 还有就是在教学时不仅要让同学感受数学外在的美,而且还 要欣赏它内在的美。因为数学上的许多东西,只有认识到它的正确性,才能感 觉到它的美好。 “美观”的数学对象,也必须进入到“美好”的层次。美妙的感 觉是需要培养的。因此,教师要给学生一些创新、探究、以至发现的机会,体
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验发现真理的快乐。例如:三角形的 3 条高线、3 条中线、3 条内角平分线都会 交于一点, 这是十分美丽,十分美好的,同时也是令人惊奇的结论。发现它会 人让觉得数学非常的奇妙。那么在我们教学时,先不告诉学生结果, 要让学生 自己亲自作图,也可以让同学们自己通过多媒体构造他们的图形,让学生自己 发现这些一下子看不出来的“真理”。可以想象,学生自己发现一个数学真理 该会是多么的惊喜。一旦体会到了数学的“美妙”, 就会对数学产生由衷的兴 趣,那么学好数学也就不是什么难事了。 以下是柯西不等式体现出的数学美。 2.1 简单美 艺术家们追求的美中,形式美是其中特别重要的内容,他们在渲染美时,常 常运用不同形式,如泰山的雄伟,华山的险峻,黄山的奇特,峨眉的秀丽,青海 的幽深,滇池的开阔等。数学家们也十分注重数学的形式美,美国数学家柏克曾 提出过一个关于审美度的公式审美度=秩序/复杂度, 即人们对数学的审美感受程 度,与数学表现出的秩序成正比,与数学表现出的复杂性成反比。 因此,按审 美度要求,数学的表现形式越简单就越美。而柯西不等式不仅符号简单、形式简 单,而且语言表达、证明方法也简单。表达形式: ? ai
i ?1 n 2

? bi ? (? ai bi ) 2 。
2 i ?1 i ?1

n

n

还有证明方法非常简单,非常美妙。如用构造二次函数法证明时, 又如用向量法证明只需用向量的数量积的定义 f ?x ? ? 0,只需? ? 0. 证法简单巧妙。 来证明,再根据 cos? ? 1 来证明,结合图像就更容易理解。 2.2 对称、和谐美 柯西不等式具有优美的对称形式: 如柯西不等式 ? ai
2

?b
2

2

i

? (? ai bi ) 2 、

?a
2

2 i

?

?b
2

2

i

?

?a b

i i

( i ? 1,2,...,n )、

? ? ? ? ? ? 等 。虽然表达形式,问题涉及的角度不同,但是它们都非常对称,
和谐, 统一。 将 a1 ? a2 ? ... ? an b1 ? b2 ? ... ? bn ? ?a1b1 ? a2b2 ? ... ? an bn ? 改写
2 2 2 2

?

??

?

成这种形式 ? ai

2

?b

2

i

? (? ai bi ) 2 ( i ? 1,2,...,n ), 看起来来就不那么繁杂了。 因此,

有时我们可以根据研究问题中解析式结构的对称性,由一个结论迅速地得出相似 结论,这不仅能缩减冗长繁琐的计算或证明过程,而且给人以对称美的享受。 柯西不等式具有和谐统一的形式, 数学中的和谐美是指数学内容与内容之间、内容与形式之间、部分与整体之间存 在着内在的联系或共同规律,从而形成本质上的严谨与统一。柯西不等式具有二
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维、三维等形式,它们都可以统一用一种统一形式来表示;而且还可以用向量的 形式表达出来。 3、数学思想的体现[8] 高中数学课程标准中要求获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的 数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所 蕴含的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用。因此在教学过程中,教 师的任务不仅仅是将数学中的定理,结论等表层的知识传递给学生。而应该让学 生在掌握和理解了一定的外在知识后,进一步去发现数学中的精髓即数学思想方 法。只有这样,学生的数学素养才能有所提升。因此,在讲解例题时,我们要将 这道题的本质,用的什么方法,什么数学思想阐述清楚。新课标中柯西不等式的 引入,将课标的要求体现的淋漓尽致。因此柯西不等式在中学中的应用中渗透了 很多数学思想方法,这些数学思想方法对学习具有重要的指导意义。 3.1 换元思想 在证明柯西不等式的时候,用直接法证明时有过这样的变形:
2 2 ,即证明此式 A ? B ? C 2 成立。 A ? ? ai ,B ? ? bi ,C ? ? ai ? bi ( i ? 1,2,...,n )

在我们之前的式子包含了很多的项,直接展开并比较左右两边大小是非常麻烦 的,因此我们采取了上述换元的方法,这样就就比较方便简洁了。还有在用构造 二次函数时,我们同样也应用了换元的思想。 换元这一数学数学方法,具有丰富的内涵,在中学数学解题中经常会用到这 种方法。仔细体会这些内容,挖掘这些思想方法,对我们以后的学习有重要的指 导意义。 那么在解题过程中,当一个问题的叙述比较繁琐,式子的结构特征比较复杂 时,我们如果能够通过分解变形,进行适当的换元,就可以将复杂的 问题变成 几个简单的问题了。从而将复问题的结构特征变得简洁、直观、形象,这样解决 起问题效率就会提高。 3.2 联想思想 联想思想:联想是由当前感知的事物特征回忆起有关事物特征的相似、相 近或相同的特征的心理现象。 联想可以沟通数学中的已知和未知、 新知与就知的 联系,它不仅对掌握数学知识、发展思维能力有着积极的意义,而且也有利于提 高解题能力和解题速度。由此及彼的联想,能够拓宽我们的思路,开阔我们的视 野,启发我们的思维。纵向横向的联想,往往能迸发出创造性思维的火花。
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在学习过程中, 我们理解基础知识以后, 在实际的应用中, 对于具体的问题, 特别是较为复杂的问题,更多的是通过联想,将问题进行转化,将其变为简单的 问题,变为熟悉的问题,从而与所学的基础知识结合起来,将问题解决。例如在 证明柯西不等式我们会联想到二次函数,根据构造二次函数,在利用 ? 来证明。 通过柯西不等式我们可以联想很多, 例如, 我们可以联想假如把柯西不等式的条 件变成 a ? b ? c ? 1(又或 a ? b ? c ? k ) ,又该如何解题。因此,我们要善于联想, 因为联想, 可以使一个人睿智; 因为联想, 可以使一个人的思维缜密; 因为联想, 可以使一个人的方法奇思异想;因为联想。可以使一个人的方法惟妙惟肖。 因此,我们要善于联想,让联想成为我们学习的有力工具。 3.3 构造思想 在证明柯西不等式时构造二次函数再通过判别式 ? 来证明, 还有可以通过构 造二维随机变量,利用期望之间的关系证明。这里正是用了构造的思想。这种方 法是中学数学中常用的一种方法,巧妙地构造可以获得新颖、简洁的解法。使得 原本很复杂的数学问题变得通俗易懂。 构造法作为数学解题的一种重要的思想方法,它最大的特点就是创造性地使 用已知条件,实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征,用已 知条件中的元素为“元件” ,用已知的数学关系为“支架” ,在思维中构造出一种 相关的数学对象,一种新的数学形式。构造法的内涵十分丰富并且没有完全固定 的模式可以套用,它是以广泛的普遍性和特殊性的实际问题为基础,针对具体问 题所呈现的特点来采取相应的解决问题的方法。 因此,应用好构造法解题需要注意几点。一要有明确的方向,即为什么而去 构造;二 要抓住已知条件,弄清条件的本质特点,从而能够重新组合构造出相关 的数学形式。在构造的时候,经常用到的有构造表达式(构造方程、构造数列、 构造对偶式等) 、构造几何图形、构造命题等多种 。 3.4 分类讨论思想 在柯西不等式的证明过程中,等号成立的条件是 b i ? 0?或a i ? 0或a i ? bi ? 0?

?i ? 1,2,3...,n? 或存在一个数 k 使得 ai ? kbi ?i ? 1,2,3...,n? 时等号成立。那么我们就应 该分情况讨论等号成立的条件。因为当 b i ? 0 或者 ?a i ? 0或a i ? bi ? 0??i ? 1,2,3...,n?
的情况非常简单,因此我们避免了对参数的讨论。但是在此之前我们是做了讨论 的工作的,只是比较容易理解,因此没有列出来。可见,分类讨论的思想在数学 解题中是非常重要的。 分类讨论思想是指把所要研究的数学对象划分为若干个不同的情形,然后再
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分类解决各个情形的一种思想方法,其实质是把整体问题划分为部分问题来求解 的。很多数学问题不仅在涉及的范围上具有综合性,而且数学问题本身而言也会 受到很多条件的制约,形成错综复杂的局面,很难从整体上入手,在这种情况下, 我们就可以采取分类讨论的方法来解决这一难题。在应用这一方法时,一定要弄 清分类讨论的具体因素是什么,然后再寻找正确的分类方法和步骤,做到不遗漏, 不重复。例如,在概率问题和函数问题(求参数范围、值域等)中,就会经常用 到分类讨论的思想方法。 3.5 转化思想 在我们应用转化思想时,一定要弄清什么是转化思想。所谓转化也称化归,是 指把待解决的问题,通过转化,归结到一类已经解决或者相对比较容易解决的问 题中,最终获得原问题解答的一种方法。实现化归的关键是实现问题的规范化、 模式化,化未知为已知是化归的方向。 当我们遇到复杂的问题时,不能直接解决,我们就要把它转化为我们已知的 知识来解决,最终解决原问题。常见的转化方法有直接转化法、换元法、数形结 合法、等价转化法、特殊转化法、构造法、坐标法、类比法、参数法、补集法等。 柯西不等式在培养学生转化思想方面就发挥着重要的作用。在柯西不等式证 明过程中,我们换元、分类讨论、联想、构造等这些实质上就是转化思想的一种 体现。学习柯西不等式是顺应课标的要求,也是顺应时代的发展。在教材中,有 很多著名公式,并且也越来越注重公式的应用。作为教师,应着重培养学生的数 学思想如转化思想,因为有很多数学问题都会用到转化的思想解决。 在转化时,转化思想需要注意三点:第一点:我们的转化对象是什么,即把 什么东西进行转化;第二点:我们的转化目标,即转化到何处去;第三点:转化 途径即我们应当如何进行转化。只要掌握这三点那么转化就非常容易了。 在学习柯西不等式这一节课中,蕴涵着很多数学思想,应当引起我们的重视。 在学习中要注意知识间的联系与演变,不断开阔思路,不断收集和积累联想转化 的实例;逐步掌握数学中的基本思想方法,由简单到复杂,由低级到高级,由模 仿到创新。这样才符合现代发展中的人。

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结论
近年来,作为基础而重要的柯西不等式,出现在高中数学及数学竞赛中的频 率越来越高。以柯西不等式为背景的试题也已慢慢出现在高考试卷中(尤其是压 轴题) 。在解题过程中,灵活巧妙地应用柯西不等式,从不同角度考虑问题,有助 于拓宽解题思路,提升解题技巧,节省做题时间。因此,研究并且更好地掌握柯 西不等式也显得越来越重要。 如何应用柯西不等式,难点在于构造,既要考虑柯西不等式两端的形式,又 要考虑问题所给出的条件和结论之间的内在关系,以及等号成立的条件。这也是 在教师教学中的一大难点:怎样让学生感觉这种方法巧妙又不突兀。此外,还要 掌握其中蕴含的数学思想方法,掌握了数学的灵魂,那数学学起来就非常容易了。 作为教师,我们知道高中数学课程标准中要求获得必要的数学基础知识和基 本技能,体会其中所蕴含的数学思想和方法,并在解题时合理的运用。柯西不等 式中蕴含了很多数学思想方法, 这就要求教师把这些数学思想方法进行归纳总结, 传授给学生,学生根据自己的理解进行消化与应用。 因此,对于柯西不等式的掌握已成为必然,对柯西不等式还需进一步研究。

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参考文献
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致谢
在我毕业论文开题、调查、研究和撰写中,指导老师给予我耐心、细致和全面 的帮助,教会了我做学问要认真严谨,不能马马虎虎。在此,谨向关心帮助我的 老师致以崇高的谢意! 首先我要感谢我的指导老师,他倾注了大量的心血和汗水,每周都会召集我 们开会指导,无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面,还是在论文的研究 方法以及成文定稿方面,我都得到了指导老师悉心细致的教诲和无私的帮助。特 别是他广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使 我终生受益。 其次还要感谢我们小组同学们对我的帮助,在完成论文期间,同学们帮助我 找相关的资料, 得到指导老师的消息后及时通知我, 让我能够顺利完成毕业论文。 最后,请允许我,再次对指导老师和同组的小伙伴们表示真诚地感谢。

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